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8.小明从家里骑自行车到学校，在同一时间出发，每小时骑15 km可早到10 min，每小时骑12 km就会迟到5 min。他家到学校的路程是多少千米？设他家到学校的路程是$x$ km，则根据题意列出的方程是（
A.$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$
B.$\frac{x}{15}-\frac{10}{60}=\frac{x}{12}+\frac{5}{60}$
C.$\frac{x}{15}-\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$
D.$\frac{x}{15}+10=\frac{x}{12}-5$
A
）。A.$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$
B.$\frac{x}{15}-\frac{10}{60}=\frac{x}{12}+\frac{5}{60}$
C.$\frac{x}{15}-\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$
D.$\frac{x}{15}+10=\frac{x}{12}-5$
答案
8. A
解析
【分析】
解题的核心是找到题目中的不变量作为等量关系，本题中无论哪种骑行速度，规定的到校时间是固定的。首先回忆行程问题基本公式：时间=路程÷速度，还要注意题目中时间单位有小时和分钟，需要先统一单位为小时。接下来分别用两种骑行情况表示出规定到校时间：①速度15km/h时早到10分钟，说明骑行所用时间比规定时间少10分钟，因此规定时间=骑行时间+早到的时间；②速度12km/h时迟到5分钟，说明骑行所用时间比规定时间多5分钟，因此规定时间=骑行时间-迟到的时间。最后让两个表示规定时间的式子相等即可列出方程。
【解析】
首先统一时间单位：$10\ \mathrm{min}=\frac{10}{60}\ \mathrm{h}$，$5\ \mathrm{min}=\frac{5}{60}\ \mathrm{h}$。
根据行程公式，两种速度下的骑行时间分别为：
速度15km/h时，骑行时间为$\frac{x}{15}$小时，因为早到10分钟，所以规定到校时间为：$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}$；
速度12km/h时，骑行时间为$\frac{x}{12}$小时，因为迟到5分钟，所以规定到校时间为：$\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$。
由于规定到校时间是固定的，因此可列方程：$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题；单位换算
【点评】
本题是行程类方程应用的典型题型，解题关键是抓住“规定到校时间”这个不变量建立等量关系，做题时要特别注意时间单位的统一，避免直接用分钟和小时混合计算导致错误。
【难度系数】
0.7
解题的核心是找到题目中的不变量作为等量关系，本题中无论哪种骑行速度，规定的到校时间是固定的。首先回忆行程问题基本公式：时间=路程÷速度，还要注意题目中时间单位有小时和分钟，需要先统一单位为小时。接下来分别用两种骑行情况表示出规定到校时间：①速度15km/h时早到10分钟，说明骑行所用时间比规定时间少10分钟，因此规定时间=骑行时间+早到的时间；②速度12km/h时迟到5分钟，说明骑行所用时间比规定时间多5分钟，因此规定时间=骑行时间-迟到的时间。最后让两个表示规定时间的式子相等即可列出方程。
【解析】
首先统一时间单位：$10\ \mathrm{min}=\frac{10}{60}\ \mathrm{h}$，$5\ \mathrm{min}=\frac{5}{60}\ \mathrm{h}$。
根据行程公式，两种速度下的骑行时间分别为：
速度15km/h时，骑行时间为$\frac{x}{15}$小时，因为早到10分钟，所以规定到校时间为：$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}$；
速度12km/h时，骑行时间为$\frac{x}{12}$小时，因为迟到5分钟，所以规定到校时间为：$\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$。
由于规定到校时间是固定的，因此可列方程：$\frac{x}{15}+\frac{10}{60}=\frac{x}{12}-\frac{5}{60}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题；单位换算
【点评】
本题是行程类方程应用的典型题型，解题关键是抓住“规定到校时间”这个不变量建立等量关系，做题时要特别注意时间单位的统一，避免直接用分钟和小时混合计算导致错误。
【难度系数】
0.7
9.一列火车长 480 m,速度为 60 km/h,有一辆速度为 80 km/h 的小汽车,要超越正常行驶的火车,由火车尾追至火车头需要
1.44
min。(小汽车车身长不计)答案
9. 1.44
解析
【分析】
这是一道同向追及问题，解题思路如下：①首先确定追及的路程差：小汽车从火车尾追至火车头，需要比火车多行驶的路程等于火车的长度，即480m；②其次计算两者的相对速度：同向行驶时，相对速度等于快的速度减去慢的速度；③最后利用“追及时间=路程差÷相对速度”计算时间，注意计算前要统一单位，避免单位不匹配导致计算错误。
【解析】
第一步：计算小汽车与火车的速度差
$v = 80\mathrm{km/h} - 60\mathrm{km/h} = 20\mathrm{km/h}$
第二步：统一单位，将速度差换算为以$\mathrm{m/min}$为单位
因为$1\mathrm{km}=1000\mathrm{m}$，$1\mathrm{h}=60\mathrm{min}$，所以：
$20\mathrm{km/h} = \frac{20×1000\mathrm{m}}{60\mathrm{min}} = \frac{1000}{3}\mathrm{m/min}$
第三步：根据追及时间公式计算时间
已知路程差$s=480\mathrm{m}$，追及时间$t = s÷ v$，代入得：
$t = 480\mathrm{m} ÷ \frac{1000}{3}\mathrm{m/min} = 480×\frac{3}{1000}\mathrm{min} = 1.44\mathrm{min}$
【答案】
1.44
【知识点】
追及问题计算，单位换算，路程速度时间关系
【点评】
本题是行程追及问题的基础应用，解题的核心是准确判断追及路程差，同时要注意单位的统一，单位换算错误是本题的主要失分点。
【难度系数】
0.6
这是一道同向追及问题，解题思路如下：①首先确定追及的路程差：小汽车从火车尾追至火车头，需要比火车多行驶的路程等于火车的长度，即480m；②其次计算两者的相对速度：同向行驶时，相对速度等于快的速度减去慢的速度；③最后利用“追及时间=路程差÷相对速度”计算时间，注意计算前要统一单位，避免单位不匹配导致计算错误。
【解析】
第一步：计算小汽车与火车的速度差
$v = 80\mathrm{km/h} - 60\mathrm{km/h} = 20\mathrm{km/h}$
第二步：统一单位，将速度差换算为以$\mathrm{m/min}$为单位
因为$1\mathrm{km}=1000\mathrm{m}$，$1\mathrm{h}=60\mathrm{min}$，所以：
$20\mathrm{km/h} = \frac{20×1000\mathrm{m}}{60\mathrm{min}} = \frac{1000}{3}\mathrm{m/min}$
第三步：根据追及时间公式计算时间
已知路程差$s=480\mathrm{m}$，追及时间$t = s÷ v$，代入得：
$t = 480\mathrm{m} ÷ \frac{1000}{3}\mathrm{m/min} = 480×\frac{3}{1000}\mathrm{min} = 1.44\mathrm{min}$
【答案】
1.44
【知识点】
追及问题计算，单位换算，路程速度时间关系
【点评】
本题是行程追及问题的基础应用，解题的核心是准确判断追及路程差，同时要注意单位的统一，单位换算错误是本题的主要失分点。
【难度系数】
0.6
10.甲、乙两车分别从相距 360 km 的 A,B两地出发,甲车的速度为 65 km/h,乙车的速度为 55 km/h。两车同时出发,相向而行,求经过多少小时后两车相距60 km。
答案
10. 解:设经过 x h 后两车相距 60 km。
若相遇前相距 60 km,根据题意,得 65x+55x=360-60,解得 x=2.5;
若相遇后相距 60 km,根据题意,得 65x+55x=360+60,解得 x=3.5。
所以经过 2.5 h 或 3.5 h 后两车相距60 km。
若相遇前相距 60 km,根据题意,得 65x+55x=360-60,解得 x=2.5;
若相遇后相距 60 km,根据题意,得 65x+55x=360+60,解得 x=3.5。
所以经过 2.5 h 或 3.5 h 后两车相距60 km。
解析
【分析】
本题属于相向而行的行程问题，题目中“两车相距60km”存在两种未明确说明的情况，需要分类讨论：①两车尚未相遇，此时两车行驶的总路程等于A、B两地总距离减去60km；②两车相遇后继续行驶再次相距60km，此时两车行驶的总路程等于A、B两地总距离加上60km。再根据“两车行驶总路程=速度和×行驶时间”的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设经过$ x $ h后两车相距60 km。
情况1：相遇前两车相距60 km，此时两车行驶的总路程为$ 360-60 $km，根据路程和=速度和×时间列方程：
$ 65x + 55x = 360 - 60 $
合并同类项得$ 120x = 300 $，解得$ x=2.5 $。
情况2：相遇后两车相距60 km，此时两车行驶的总路程为$ 360+60 $km，列方程：
$ 65x + 55x = 360 + 60 $
合并同类项得$ 120x = 420 $，解得$ x=3.5 $。
【答案】
经过2.5 h 或 3.5 h 后两车相距60 km。
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题；分类讨论
【点评】
本题解题关键是明确“两车相距60km”包含相遇前、相遇后两种情况，若考虑不全面极易漏解，求解时要结合行程场景全面分析可能存在的情况。
【难度系数】
0.7
本题属于相向而行的行程问题，题目中“两车相距60km”存在两种未明确说明的情况，需要分类讨论：①两车尚未相遇，此时两车行驶的总路程等于A、B两地总距离减去60km；②两车相遇后继续行驶再次相距60km，此时两车行驶的总路程等于A、B两地总距离加上60km。再根据“两车行驶总路程=速度和×行驶时间”的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设经过$ x $ h后两车相距60 km。
情况1：相遇前两车相距60 km，此时两车行驶的总路程为$ 360-60 $km，根据路程和=速度和×时间列方程：
$ 65x + 55x = 360 - 60 $
合并同类项得$ 120x = 300 $，解得$ x=2.5 $。
情况2：相遇后两车相距60 km，此时两车行驶的总路程为$ 360+60 $km，列方程：
$ 65x + 55x = 360 + 60 $
合并同类项得$ 120x = 420 $，解得$ x=3.5 $。
【答案】
经过2.5 h 或 3.5 h 后两车相距60 km。
【知识点】
一元一次方程应用；行程问题；分类讨论
【点评】
本题解题关键是明确“两车相距60km”包含相遇前、相遇后两种情况，若考虑不全面极易漏解，求解时要结合行程场景全面分析可能存在的情况。
【难度系数】
0.7
11.【数学文化】阅读下列史料，并解决相应的问题：
元代数学家、教育家朱世杰（1249—1314），字汉卿，毕生从事数学教育。朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。
在《算学启蒙》（1299年）一书中，有一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何日追及之。”
大意是跑得快的马每天跑240里，跑得慢的马每天跑150里。慢马先跑12天，快马几天可以追上慢马？（1里＝500 m）
元代数学家、教育家朱世杰（1249—1314），字汉卿，毕生从事数学教育。朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。
在《算学启蒙》（1299年）一书中，有一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何日追及之。”
大意是跑得快的马每天跑240里，跑得慢的马每天跑150里。慢马先跑12天，快马几天可以追上慢马？（1里＝500 m）
答案
解:设快马x天可以追上慢马。根据题意,得 240x−150x=150×12,
解得x=20,
所以快马20天可以追上慢马。
解得x=20,
所以快马20天可以追上慢马。
解析
【分析】
这是典型的行程类追及问题，解题核心是找准等量关系：快马追上慢马时，两匹马跑的总路程相等。我们可以设快马x天追上慢马，此时快马跑的路程为240x里，慢马总共跑了(x+12)天，路程为150(x+12)里，两者相等即可列方程；也可以理解为快马x天比慢马x天多跑的路程，正好等于慢马提前12天跑的路程，以此为等量列方程求解即可。
【解析】
解：设快马x天可以追上慢马。
根据题意，快马x天比慢马x天多跑的路程等于慢马先行12天的路程，列方程得：
$240x - 150x = 150×12$
合并同类项，得：$90x = 1800$
系数化为1，得：$x = 20$
答：快马20天可以追上慢马。
【答案】
20天
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.行程追及问题
【点评】
本题以古代数学典籍中的问题为背景，既考查了运用一元一次方程解决实际问题的能力，也能让学生感受到中国传统数学文化的魅力，解题的关键是准确找到追及问题中的等量关系。
【难度系数】
0.7
这是典型的行程类追及问题，解题核心是找准等量关系：快马追上慢马时，两匹马跑的总路程相等。我们可以设快马x天追上慢马，此时快马跑的路程为240x里，慢马总共跑了(x+12)天，路程为150(x+12)里，两者相等即可列方程；也可以理解为快马x天比慢马x天多跑的路程，正好等于慢马提前12天跑的路程，以此为等量列方程求解即可。
【解析】
解：设快马x天可以追上慢马。
根据题意，快马x天比慢马x天多跑的路程等于慢马先行12天的路程，列方程得：
$240x - 150x = 150×12$
合并同类项，得：$90x = 1800$
系数化为1，得：$x = 20$
答：快马20天可以追上慢马。
【答案】
20天
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.行程追及问题
【点评】
本题以古代数学典籍中的问题为背景，既考查了运用一元一次方程解决实际问题的能力，也能让学生感受到中国传统数学文化的魅力，解题的关键是准确找到追及问题中的等量关系。
【难度系数】
0.7
