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行程问题中的主要类型：
（1）相遇问题：速度和×相遇时间＝
（2）追及问题：速度差×追及时间＝
（1）相遇问题：速度和×相遇时间＝
路程和
。（2）追及问题：速度差×追及时间＝
路程差
。答案
（1）. 路程和
（2）. 路程差
（2）. 路程差
解析
【分析】
解题时先回忆行程问题的基础公式：路程=速度×时间，再结合两类问题的运动场景推导：①相遇问题中，两个物体相向运动直到相遇，二者共同走过的总路程等于各自路程之和，结合乘法分配律即可推出对应等量关系；②追及问题中，快的物体追上慢的物体时，快的物体比慢的物体多走的路程等于二者初始的距离差，同样结合乘法分配律可推导对应等量关系。
【解析】
（1）相遇问题：设两个运动物体的速度分别为$v_1$、$v_2$，相遇时间为$t$，则相遇时两个物体各自的路程为$v_1t$、$v_2t$，二者的总路程（路程和）为$v_1t + v_2t = (v_1+v_2)t$，因此速度和×相遇时间=路程和。
（2）追及问题：设两个运动物体的速度分别为$v_快$、$v_慢$，追及时间为$t$，则追及时快的物体比慢的物体多走的路程（路程差）为$v_快t - v_慢t = (v_快 - v_慢)t$，因此速度差×追及时间=路程差。
【答案】
（1）路程和；（2）路程差
【知识点】
1.行程问题基本关系 2.相遇问题公式 3.追及问题公式
【点评】
这两个公式是行程问题的核心基础结论，是解决各类复杂行程应用题的重要前提，建议结合实际运动场景理解记忆，不要死记硬背。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆行程问题的基础公式：路程=速度×时间，再结合两类问题的运动场景推导：①相遇问题中，两个物体相向运动直到相遇，二者共同走过的总路程等于各自路程之和，结合乘法分配律即可推出对应等量关系；②追及问题中，快的物体追上慢的物体时，快的物体比慢的物体多走的路程等于二者初始的距离差，同样结合乘法分配律可推导对应等量关系。
【解析】
（1）相遇问题：设两个运动物体的速度分别为$v_1$、$v_2$，相遇时间为$t$，则相遇时两个物体各自的路程为$v_1t$、$v_2t$，二者的总路程（路程和）为$v_1t + v_2t = (v_1+v_2)t$，因此速度和×相遇时间=路程和。
（2）追及问题：设两个运动物体的速度分别为$v_快$、$v_慢$，追及时间为$t$，则追及时快的物体比慢的物体多走的路程（路程差）为$v_快t - v_慢t = (v_快 - v_慢)t$，因此速度差×追及时间=路程差。
【答案】
（1）路程和；（2）路程差
【知识点】
1.行程问题基本关系 2.相遇问题公式 3.追及问题公式
【点评】
这两个公式是行程问题的核心基础结论，是解决各类复杂行程应用题的重要前提，建议结合实际运动场景理解记忆，不要死记硬背。
【难度系数】
0.9
1.甲、乙两人百米赛跑，甲的速度是6.5 m/s，乙的速度是8 m/s，乙从起点出发，甲在乙的前面15 m，两人同时出发，则乙追上甲需要(
A.6.5 s
B.8 s
C.10 s
D.15 s
C
)。A.6.5 s
B.8 s
C.10 s
D.15 s
答案
1. C
解析
【分析】
这是行程中的追及问题，解题思路如下：首先明确两人同时出发，乙追上甲时两人的运动时间相等；其次找到路程的等量关系：乙行驶的总路程 = 甲行驶的总路程 + 初始时甲领先的15m；最后我们可以设未知时间为t，结合“路程=速度×时间”的公式列一元一次方程求解，求出结果后还要验证乙跑的路程是否在百米范围内，保证解符合题意。
【解析】
解：设乙追上甲需要的时间为$t\ \mathrm{s}$。
根据追及时的路程等量关系，可列方程：
$8t = 6.5t + 15$
移项得：$8t - 6.5t =15$
合并同类项得：$1.5t =15$
系数化为1得：$t=10$
验证：此时乙跑过的路程为$8×10=80\ \mathrm{m} ＜ 100\ \mathrm{m}$，符合百米赛跑的场景，结果有效。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用；追及问题；路程公式
【点评】
本题是追及问题的常规考法，解题核心是准确抓住追及场景下的路程等量关系，同时要注意结合题干的限制条件验证解的合理性，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.8
这是行程中的追及问题，解题思路如下：首先明确两人同时出发，乙追上甲时两人的运动时间相等；其次找到路程的等量关系：乙行驶的总路程 = 甲行驶的总路程 + 初始时甲领先的15m；最后我们可以设未知时间为t，结合“路程=速度×时间”的公式列一元一次方程求解，求出结果后还要验证乙跑的路程是否在百米范围内，保证解符合题意。
【解析】
解：设乙追上甲需要的时间为$t\ \mathrm{s}$。
根据追及时的路程等量关系，可列方程：
$8t = 6.5t + 15$
移项得：$8t - 6.5t =15$
合并同类项得：$1.5t =15$
系数化为1得：$t=10$
验证：此时乙跑过的路程为$8×10=80\ \mathrm{m} ＜ 100\ \mathrm{m}$，符合百米赛跑的场景，结果有效。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用；追及问题；路程公式
【点评】
本题是追及问题的常规考法，解题核心是准确抓住追及场景下的路程等量关系，同时要注意结合题干的限制条件验证解的合理性，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.8
2. A,B两站相距284 km,甲车从A站以48 km/h的速度开往B站。过1 h后,乙车从B站以70 km/h的速度开往A站。设乙车开出x h后两车相遇,则可列方程为(
A.$70x + 48x = 284$
B.$70x + 48(x - 1) = 284$
C.$70x + 48(x + 1) = 284$
D.$70(x + 1) + 48x = 284$
C
)。A.$70x + 48x = 284$
B.$70x + 48(x - 1) = 284$
C.$70x + 48(x + 1) = 284$
D.$70(x + 1) + 48x = 284$
答案
2. C
解析
【分析】
这是一道行程类的相遇问题，解题核心是抓住“两车行驶的路程之和等于A、B两站的总距离”这一等量关系。思考步骤如下：第一步先确定两车的行驶时间，题目中乙车开出x小时后相遇，甲车比乙车早出发1小时，因此甲车的行驶时间比乙车多1小时，即(x+1)小时；第二步根据“路程=速度×时间”分别计算两车行驶的路程；第三步将两车路程相加等于总路程，即可列出对应的方程。
【解析】
已知乙车开出x h后两车相遇：
1. 确定两车行驶时间：甲车比乙车早出发1h，因此甲车一共行驶了$(x+1)$h，乙车行驶了$x$h。
2. 计算两车行驶路程：
甲车行驶路程：$\mathrm{速度}×\mathrm{时间}=48(x+1)$ km
乙车行驶路程：$\mathrm{速度}×\mathrm{时间}=70x$ km
3. 相遇时两车行驶的路程和等于A、B两站的距离284km，因此列方程为：
$70x + 48(x + 1) = 284$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题基本公式
【点评】
本题属于行程问题中的基础相遇题型，解题的关键是准确梳理两车的行驶时间，抓住路程和等于总路程的核心等量关系列方程，是行程类应用题的常考题型。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类的相遇问题，解题核心是抓住“两车行驶的路程之和等于A、B两站的总距离”这一等量关系。思考步骤如下：第一步先确定两车的行驶时间，题目中乙车开出x小时后相遇，甲车比乙车早出发1小时，因此甲车的行驶时间比乙车多1小时，即(x+1)小时；第二步根据“路程=速度×时间”分别计算两车行驶的路程；第三步将两车路程相加等于总路程，即可列出对应的方程。
【解析】
已知乙车开出x h后两车相遇：
1. 确定两车行驶时间：甲车比乙车早出发1h，因此甲车一共行驶了$(x+1)$h，乙车行驶了$x$h。
2. 计算两车行驶路程：
甲车行驶路程：$\mathrm{速度}×\mathrm{时间}=48(x+1)$ km
乙车行驶路程：$\mathrm{速度}×\mathrm{时间}=70x$ km
3. 相遇时两车行驶的路程和等于A、B两站的距离284km，因此列方程为：
$70x + 48(x + 1) = 284$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题基本公式
【点评】
本题属于行程问题中的基础相遇题型，解题的关键是准确梳理两车的行驶时间，抓住路程和等于总路程的核心等量关系列方程，是行程类应用题的常考题型。
【难度系数】
0.8
3. 小明骑车从家到学校，骑行速度为400 m/min。有一天上学时，小明晚出发3 min，要想和原来到校时间一样，速度需提高到500 m/min。设小明原来从家到学校骑x min，则可列方程为(
A.$400x=500(x+3)$
B.$400x=500(x-3)$
C.$400(x+3)=500x$
D.$400(x-3)=500x$
B
)。A.$400x=500(x+3)$
B.$400x=500(x-3)$
C.$400(x+3)=500x$
D.$400(x-3)=500x$
答案
3. B
解析
【分析】
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住“家到学校的总路程不变”这个隐含等量关系。首先回忆行程问题基本公式：路程=速度×时间，我们分别表示出原计划行驶的路程和提速后行驶的路程，再根据路程相等列方程即可。原计划速度400m/min，用时x分钟，可直接表示出原路程；提速后小明晚出发3分钟，还需要和原来到校时间一致，说明实际骑行时间比原来少3分钟，即（x-3）分钟，结合提速后的速度500m/min可表示出提速后的路程，两个路程相等就能得到对应方程。
【解析】
解：本题的等量关系为：原速骑行的总路程 = 提速后骑行的总路程。
1. 计算原速骑行的路程：已知原速度为400m/min，用时为x min，根据路程=速度×时间，可得路程为$400x$；
2. 计算提速后骑行的路程：晚出发3min且和原来到校时间相同，所以实际骑行时间为$(x-3)min$，已知提速后速度为500m/min，可得路程为$500(x-3)$；
3. 根据路程相等列方程：$400x = 500(x-3)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
行程问题、一元一次方程应用、等量关系确定
【点评】
本题是行程类方程应用的基础常考题，解题关键是找准不变量（家到学校的总路程），同时准确梳理提速前后的时间差，避免出现时间加减混淆的错误。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题核心是抓住“家到学校的总路程不变”这个隐含等量关系。首先回忆行程问题基本公式：路程=速度×时间，我们分别表示出原计划行驶的路程和提速后行驶的路程，再根据路程相等列方程即可。原计划速度400m/min，用时x分钟，可直接表示出原路程；提速后小明晚出发3分钟，还需要和原来到校时间一致，说明实际骑行时间比原来少3分钟，即（x-3）分钟，结合提速后的速度500m/min可表示出提速后的路程，两个路程相等就能得到对应方程。
【解析】
解：本题的等量关系为：原速骑行的总路程 = 提速后骑行的总路程。
1. 计算原速骑行的路程：已知原速度为400m/min，用时为x min，根据路程=速度×时间，可得路程为$400x$；
2. 计算提速后骑行的路程：晚出发3min且和原来到校时间相同，所以实际骑行时间为$(x-3)min$，已知提速后速度为500m/min，可得路程为$500(x-3)$；
3. 根据路程相等列方程：$400x = 500(x-3)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
行程问题、一元一次方程应用、等量关系确定
【点评】
本题是行程类方程应用的基础常考题，解题关键是找准不变量（家到学校的总路程），同时准确梳理提速前后的时间差，避免出现时间加减混淆的错误。
【难度系数】
0.7
4.甲、乙两人在400 m环形跑道上练中长跑，甲每分钟跑300 m，乙每分钟跑260 m，两人同地、同时、同向起跑，x min后再一次相遇，x等于(
A.10
B.15
C.20
D.30
A
)。A.10
B.15
C.20
D.30
答案
4. A
解析
【分析】
这是环形跑道同向追及问题，解题核心是明确等量关系：两人同地、同时、同向出发，再次相遇时，速度快的人比速度慢的人正好多跑1圈，也就是400m。我们可以先分别表示出x分钟后甲、乙跑的路程，再根据路程差列一元一次方程，最后求解方程即可得到x的值。
【解析】
解：由题意得，两人再次相遇时，甲比乙多跑了400m。
x分钟甲跑的路程为300x m，乙跑的路程为260x m，可列方程：
$300x - 260x = 400$
合并同类项，得：$40x = 400$
系数化为1，得：$x = 10$
因此x的值为10，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用；追及问题
【点评】
本题是环形跑道行程问题的基础题型，解题关键是准确把握同向出发再次相遇时的路程差为跑道一圈的长度，找到对应等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.8
这是环形跑道同向追及问题，解题核心是明确等量关系：两人同地、同时、同向出发，再次相遇时，速度快的人比速度慢的人正好多跑1圈，也就是400m。我们可以先分别表示出x分钟后甲、乙跑的路程，再根据路程差列一元一次方程，最后求解方程即可得到x的值。
【解析】
解：由题意得，两人再次相遇时，甲比乙多跑了400m。
x分钟甲跑的路程为300x m，乙跑的路程为260x m，可列方程：
$300x - 260x = 400$
合并同类项，得：$40x = 400$
系数化为1，得：$x = 10$
因此x的值为10，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用；追及问题
【点评】
本题是环形跑道行程问题的基础题型，解题关键是准确把握同向出发再次相遇时的路程差为跑道一圈的长度，找到对应等量关系列方程求解即可。
【难度系数】
0.8
5.甲、乙两地相距$x$km，一列火车原来从甲地到乙地要用20 h，开通高速铁路后，车速平均每时比原来加快了100 km，因此从甲地到乙地只需要12 h即可到达，可列方程为$\frac{x}{20}+100=\frac{x}{12}$。
答案
$\frac{x}{12}-\frac{x}{20}=100$
解析
【分析】
这是一道行程类的列方程应用题，解题时首先要明确行程问题的核心关系：速度=路程÷时间。我们需要先找到题目中的等量关系：开通高铁后的速度 - 原来的行驶速度 = 每小时加快的100km。接下来分别用含x的式子表示两种情况下的速度，代入等量关系就能列出方程。
【解析】
第一步：表示原来的行驶速度
已知甲乙两地路程为x km，原来从甲到乙用时20 h，根据“速度=路程÷时间”，原来的速度为$\frac{x}{20}$ km/h。
第二步：表示开通高铁后的行驶速度
开通高铁后从甲到乙用时12 h，同理可得高铁的速度为$\frac{x}{12}$ km/h。
第三步：根据等量关系列方程
题目告知高铁车速比原来每小时快100 km，即高铁速度减去原来的速度等于100 km/h，代入上述两个速度表达式，可得方程：
$\frac{x}{12} - \frac{x}{20} = 100$
【答案】
$\frac{x}{12}-\frac{x}{20}=100$
【知识点】
1. 行程问题数量关系
2. 列一元一次方程
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，解题关键是准确提取题目中的速度差这一等量关系，再结合行程公式表示出提速前后的速度即可解题，是方程应用部分需要熟练掌握的典型题型。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类的列方程应用题，解题时首先要明确行程问题的核心关系：速度=路程÷时间。我们需要先找到题目中的等量关系：开通高铁后的速度 - 原来的行驶速度 = 每小时加快的100km。接下来分别用含x的式子表示两种情况下的速度，代入等量关系就能列出方程。
【解析】
第一步：表示原来的行驶速度
已知甲乙两地路程为x km，原来从甲到乙用时20 h，根据“速度=路程÷时间”，原来的速度为$\frac{x}{20}$ km/h。
第二步：表示开通高铁后的行驶速度
开通高铁后从甲到乙用时12 h，同理可得高铁的速度为$\frac{x}{12}$ km/h。
第三步：根据等量关系列方程
题目告知高铁车速比原来每小时快100 km，即高铁速度减去原来的速度等于100 km/h，代入上述两个速度表达式，可得方程：
$\frac{x}{12} - \frac{x}{20} = 100$
【答案】
$\frac{x}{12}-\frac{x}{20}=100$
【知识点】
1. 行程问题数量关系
2. 列一元一次方程
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，解题关键是准确提取题目中的速度差这一等量关系，再结合行程公式表示出提速前后的速度即可解题，是方程应用部分需要熟练掌握的典型题型。
【难度系数】
0.8
6. 小康同学在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道数学作业题只能看到：A，B两地相距276 km，甲车的速度为80 km/h，乙车的速度为58 km/h，
（请你将这道作业题补充完整，并列出方程解答）
甲、乙两车分别从A地、B地同时出发，相向而行，两车几小时后相遇
？（请你将这道作业题补充完整，并列出方程解答）
答案
6. 解:甲、乙两车分别从 A 地、B 地同时出发,相向而行,两车几小时后相遇
设两车 x h 后相遇。根据题意,得 80x + 58x = 276, 解得 x=2,
所以两车 2 h 后相遇。
(答案不唯一)
设两车 x h 后相遇。根据题意,得 80x + 58x = 276, 解得 x=2,
所以两车 2 h 后相遇。
(答案不唯一)
解析
【分析】
这是一道开放性行程应用题，解题时可先结合题干给出的A、B两地距离、甲乙两车速度的已知条件，选择最熟悉的行程场景补充问题，比如相向而行求相遇时间的场景。解题核心依据行程问题的基本公式：路程=速度×时间，相向而行时两车行驶的路程之和等于两地总路程，据此设未知数列方程求解即可。
【解析】
补充问题：甲、乙两车分别从A地、B地同时出发，相向而行，两车几小时后相遇？
解：设两车x h后相遇。
甲车行驶的路程为80x km，乙车行驶的路程为58x km，根据两车行驶路程之和等于A、B两地总路程，列方程：
$80x + 58x = 276$
合并同类项，得：$138x = 276$
系数化为1，得：$x = 2$
【答案】
补充问题示例：甲、乙两车分别从A地、B地同时出发，相向而行，两车几小时后相遇；两车2 h后相遇。（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程相遇问题
【点评】
本题属于开放性应用题，既考查对行程问题等量关系的掌握程度，也能锻炼发散思维，解题时优先选择熟悉的行程场景补充问题，可降低解题难度。
【难度系数】
0.75
这是一道开放性行程应用题，解题时可先结合题干给出的A、B两地距离、甲乙两车速度的已知条件，选择最熟悉的行程场景补充问题，比如相向而行求相遇时间的场景。解题核心依据行程问题的基本公式：路程=速度×时间，相向而行时两车行驶的路程之和等于两地总路程，据此设未知数列方程求解即可。
【解析】
补充问题：甲、乙两车分别从A地、B地同时出发，相向而行，两车几小时后相遇？
解：设两车x h后相遇。
甲车行驶的路程为80x km，乙车行驶的路程为58x km，根据两车行驶路程之和等于A、B两地总路程，列方程：
$80x + 58x = 276$
合并同类项，得：$138x = 276$
系数化为1，得：$x = 2$
【答案】
补充问题示例：甲、乙两车分别从A地、B地同时出发，相向而行，两车几小时后相遇；两车2 h后相遇。（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 行程相遇问题
【点评】
本题属于开放性应用题，既考查对行程问题等量关系的掌握程度，也能锻炼发散思维，解题时优先选择熟悉的行程场景补充问题，可降低解题难度。
【难度系数】
0.75
7.弟弟和妈妈从家里出发一同去外婆家，他们走了1 h后，哥哥发现给外婆的礼物忘在家里，便立刻带上礼物以6 km/h的速度去追。如果弟弟和妈妈的速度为2 km/h，他们从家里到外婆家需要1.75 h，哥哥能在弟弟和妈妈到外婆家之前追上他们吗？
答案
7. 解:设哥哥追上弟弟和妈妈需要 x h。
由题意,得 6x=2+2x,
解得 $x=\frac{1}{2}$。
追上时,弟弟和妈妈行走了 $1+\frac{1}{2}=1.5$(h)。
因为 1.5＜1.75,
所以弟弟和妈妈还未到外婆家,所以哥哥能在弟弟和妈妈到外婆家之前追上他们。
由题意,得 6x=2+2x,
解得 $x=\frac{1}{2}$。
追上时,弟弟和妈妈行走了 $1+\frac{1}{2}=1.5$(h)。
因为 1.5＜1.75,
所以弟弟和妈妈还未到外婆家,所以哥哥能在弟弟和妈妈到外婆家之前追上他们。
解析
【分析】
这是一道行程中的追及问题，解题核心是抓住追及的等量关系：哥哥追上弟弟和妈妈时，两者行驶的总路程相等。首先设哥哥追上需要的时间为x小时，先算出弟弟和妈妈提前1小时走的路程，再分别表示出哥哥x小时走的路程、弟弟和妈妈在x小时内走的路程，两者路程相等即可列方程；求解出追及时间后，计算弟弟和妈妈从出发到被追上的总用时，和他们到外婆家需要的1.75h比较大小，若总用时小于1.75h说明能追上，反之则追不上。
【解析】
解：设哥哥追上弟弟和妈妈需要$ x $ h。
由题意得，哥哥走的路程等于弟弟和妈妈先走的路程加追及阶段走的路程，列方程：
$ 6x=2×1+2x $
移项合并同类项得：$ 4x=2 $
解得 $ x=\frac{1}{2} $
追上时，弟弟和妈妈一共行走的时间为 $ 1+\frac{1}{2}=1.5 $（h）
因为 $ 1.5＜1.75 $，说明此时弟弟和妈妈还未到达外婆家。
【答案】
哥哥能在弟弟和妈妈到外婆家之前追上他们。
【知识点】
一元一次方程的应用；追及问题；路程速度时间关系
【点评】
本题是行程类的典型追及问题，解题关键是找准追及时路程相等的等量关系列方程，注意算出追及时间后，要结合到达目的地的总用时比较才能得出结论，避免遗漏比较步骤出错。
【难度系数】
0.7
这是一道行程中的追及问题，解题核心是抓住追及的等量关系：哥哥追上弟弟和妈妈时，两者行驶的总路程相等。首先设哥哥追上需要的时间为x小时，先算出弟弟和妈妈提前1小时走的路程，再分别表示出哥哥x小时走的路程、弟弟和妈妈在x小时内走的路程，两者路程相等即可列方程；求解出追及时间后，计算弟弟和妈妈从出发到被追上的总用时，和他们到外婆家需要的1.75h比较大小，若总用时小于1.75h说明能追上，反之则追不上。
【解析】
解：设哥哥追上弟弟和妈妈需要$ x $ h。
由题意得，哥哥走的路程等于弟弟和妈妈先走的路程加追及阶段走的路程，列方程：
$ 6x=2×1+2x $
移项合并同类项得：$ 4x=2 $
解得 $ x=\frac{1}{2} $
追上时，弟弟和妈妈一共行走的时间为 $ 1+\frac{1}{2}=1.5 $（h）
因为 $ 1.5＜1.75 $，说明此时弟弟和妈妈还未到达外婆家。
【答案】
哥哥能在弟弟和妈妈到外婆家之前追上他们。
【知识点】
一元一次方程的应用；追及问题；路程速度时间关系
【点评】
本题是行程类的典型追及问题，解题关键是找准追及时路程相等的等量关系列方程，注意算出追及时间后，要结合到达目的地的总用时比较才能得出结论，避免遗漏比较步骤出错。
【难度系数】
0.7
