登录
10.【数学文化】我国古代数学著作《孙子算经》中记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问人与车各几何。”意思是：今有若干人乘车，若每3人乘1辆车，则剩余2辆车无人乘；若每2人乘1辆车，则剩余9人无车可乘。问有多少辆车，多少人。
答案
解:设有 x 辆车。
根据题意,得 3(x−2)=2x+9，
解得 x=15，
所以 2×15+9=39(人)，
所以有 15 辆车，39 人。
根据题意,得 3(x−2)=2x+9，
解得 x=15，
所以 2×15+9=39(人)，
所以有 15 辆车，39 人。
解析
【分析】
本题是一元一次方程实际应用问题，解题核心是抓住不变量“总人数”建立等量关系。首先我们可以设车的数量为x辆，结合两种乘车方案分别表示出总人数：第一种方案每3人乘1辆车，空2辆车，实际使用(x-2)辆车，总人数可表示为3(x-2)；第二种方案每2人乘1辆车，剩余9人步行，总人数可表示为2x+9，两个式子均表示总人数，因此可列方程求解，得到车辆数后代入任意一个总人数表达式即可求出总人数。
【解析】
解：设有x辆车。
根据总人数不变列方程：
$3(x-2)=2x+9$
展开左边得：$3x-6=2x+9$
移项合并同类项得：$x=15$
将$x=15$代入$2x+9$计算总人数：$2×15+9=39$（人）
【答案】
有15辆车，39人。
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系确定
【点评】
本题结合古代数学典籍中的“多人共车”问题出题，既传递了数学文化，也考查了用方程解决实际问题的能力，解题关键是准确找到两种乘车场景下不变的总人数作为等量关系列方程，审题时注意理解“空2辆车”“9人步”对应的数量关系。
【难度系数】
0.8
本题是一元一次方程实际应用问题，解题核心是抓住不变量“总人数”建立等量关系。首先我们可以设车的数量为x辆，结合两种乘车方案分别表示出总人数：第一种方案每3人乘1辆车，空2辆车，实际使用(x-2)辆车，总人数可表示为3(x-2)；第二种方案每2人乘1辆车，剩余9人步行，总人数可表示为2x+9，两个式子均表示总人数，因此可列方程求解，得到车辆数后代入任意一个总人数表达式即可求出总人数。
【解析】
解：设有x辆车。
根据总人数不变列方程：
$3(x-2)=2x+9$
展开左边得：$3x-6=2x+9$
移项合并同类项得：$x=15$
将$x=15$代入$2x+9$计算总人数：$2×15+9=39$（人）
【答案】
有15辆车，39人。
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系确定
【点评】
本题结合古代数学典籍中的“多人共车”问题出题，既传递了数学文化，也考查了用方程解决实际问题的能力，解题关键是准确找到两种乘车场景下不变的总人数作为等量关系列方程，审题时注意理解“空2辆车”“9人步”对应的数量关系。
【难度系数】
0.8
11.【综合与实践】某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅。经过统计：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐。
(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐。
(2)若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由。
(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐。
(2)若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由。
答案
解:(1)设 1 个小餐厅可供 x 名学生就餐，则 1 个大餐厅可供(1 680−2x)名学生就餐。
根据题意,得 2(1 680−2x)+x=2 280，
解得 x=360，
所以 1 680−2×360=960(名)，
所以 1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供960名、360 名学生就餐。
(2)因为 960×5+360×2=5 520(名)，
5 520＞5 300，
所以如果同时开放 7 个餐厅，能供全校的 5 300 名学生就餐。
根据题意,得 2(1 680−2x)+x=2 280，
解得 x=360，
所以 1 680−2×360=960(名)，
所以 1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供960名、360 名学生就餐。
(2)因为 960×5+360×2=5 520(名)，
5 520＞5 300，
所以如果同时开放 7 个餐厅，能供全校的 5 300 名学生就餐。
解析
【分析】
这是一道方程实际应用类题目，解题思路如下：第(1)问先提取题干中的两个等量关系：①1个大餐厅容纳人数+2个小餐厅容纳人数=1680；②2个大餐厅容纳人数+1个小餐厅容纳人数=2280。我们可以设1个小餐厅可供x名学生就餐，先用第一个等量关系把大餐厅的容纳人数用含x的式子表示出来，再代入第二个等量关系列一元一次方程求解，就能得到大小餐厅各自的容纳量。第(2)问先根据第一问的结果，计算出5个大餐厅和2个小餐厅总共能容纳的学生数，再和全校5300名学生的数量比较大小，即可判断是否够全校学生就餐。
【解析】
(1) 设1个小餐厅可供x名学生就餐，则根据“同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐”可得，1个大餐厅可供$(1680-2x)$名学生就餐。
根据“同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐”列方程：
$2(1680-2x)+x=2280$
去括号得：$3360-4x+x=2280$
合并同类项得：$3360-3x=2280$
移项计算得：$3x=1080$
解得：$x=360$
则1个大餐厅的容纳人数为：$1680-2× 360=960$（名）
(2) 计算7个餐厅同时开放的总容纳量：
$960× 5+360× 2=4800+720=5520$（名）
因为$5520＞5300$，所以同时开放7个餐厅能供全校的5300名学生就餐。
【答案】
(1) 1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐；
(2) 能，7个餐厅同时开放可容纳5520名学生，大于5300名，因此可供全校学生就餐。
【知识点】
一元一次方程的应用，有理数混合运算，有理数大小比较
【点评】
本题属于贴近生活的基础应用题，核心考查从题干提取等量关系、列方程求解的能力，以及计算比较能力，熟练掌握列一元一次方程解应用题的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
这是一道方程实际应用类题目，解题思路如下：第(1)问先提取题干中的两个等量关系：①1个大餐厅容纳人数+2个小餐厅容纳人数=1680；②2个大餐厅容纳人数+1个小餐厅容纳人数=2280。我们可以设1个小餐厅可供x名学生就餐，先用第一个等量关系把大餐厅的容纳人数用含x的式子表示出来，再代入第二个等量关系列一元一次方程求解，就能得到大小餐厅各自的容纳量。第(2)问先根据第一问的结果，计算出5个大餐厅和2个小餐厅总共能容纳的学生数，再和全校5300名学生的数量比较大小，即可判断是否够全校学生就餐。
【解析】
(1) 设1个小餐厅可供x名学生就餐，则根据“同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐”可得，1个大餐厅可供$(1680-2x)$名学生就餐。
根据“同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐”列方程：
$2(1680-2x)+x=2280$
去括号得：$3360-4x+x=2280$
合并同类项得：$3360-3x=2280$
移项计算得：$3x=1080$
解得：$x=360$
则1个大餐厅的容纳人数为：$1680-2× 360=960$（名）
(2) 计算7个餐厅同时开放的总容纳量：
$960× 5+360× 2=4800+720=5520$（名）
因为$5520＞5300$，所以同时开放7个餐厅能供全校的5300名学生就餐。
【答案】
(1) 1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐；
(2) 能，7个餐厅同时开放可容纳5520名学生，大于5300名，因此可供全校学生就餐。
【知识点】
一元一次方程的应用，有理数混合运算，有理数大小比较
【点评】
本题属于贴近生活的基础应用题，核心考查从题干提取等量关系、列方程求解的能力，以及计算比较能力，熟练掌握列一元一次方程解应用题的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
12.【综合与实践】七(1)班的手工艺制作小组准备用正方形硬纸板做三棱柱形盒子，下面是他们裁剪用的图纸，每个盒子由3个长方形侧面和2个三边均相等的三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)，该小组购买了38张硬纸板，裁剪时x张用了A方法，其余用了B方法。
(1) 能裁剪出
(2) 若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？
(1) 能裁剪出
2x+152
个侧面和 190-5x
个底面(均用含x的式子表示)；(2) 若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？
答案
(1) 2x+152，190-5x
分析:裁剪时x张用了A方法,则(38-x)张用了B方法。
侧面的个数为6x+4(38-x)=2x+152,
底面的个数为5(38-x)=190-5x。
(2) 根据题意,得(190-5x)÷2=(2x+152)÷3,
解得x=14,
则盒子的个数为(2×14+152)÷3=60,
所以若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,则能做60个盒子。
分析:裁剪时x张用了A方法,则(38-x)张用了B方法。
侧面的个数为6x+4(38-x)=2x+152,
底面的个数为5(38-x)=190-5x。
(2) 根据题意,得(190-5x)÷2=(2x+152)÷3,
解得x=14,
则盒子的个数为(2×14+152)÷3=60,
所以若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,则能做60个盒子。
解析
【分析】
(1) 首先明确总共有38张硬纸板，x张用A方法裁剪，则剩余(38-x)张用B方法裁剪。先分别确定两种裁剪方法每张硬纸板产出的侧面、底面数量：A方法每张可裁出6个侧面，无底面；B方法每张可裁出4个侧面和5个底面。分别计算两类方法产出的侧面总数、底面总数，再合并化简即可得到含x的表达式。
(2) 每个三棱柱盒子需要3个侧面和2个底面，当侧面和底面恰好用完时，侧面总数除以3得到的盒子总数，与底面总数除以2得到的盒子总数相等，据此列一元一次方程求解x，再代入计算盒子数量即可。
【解析】
(1) 已知裁剪时x张用A方法，则用B方法的硬纸板数量为$(38-x)$张。
计算侧面总数：A方法每张出6个侧面，B方法每张出4个侧面，因此总侧面数为：
$6x + 4(38-x) = 6x + 152 -4x = 2x +152$
计算底面总数：A方法无底面产出，B方法每张出5个底面，因此总底面数为：
$5(38-x) = 190 -5x$
(2) 每个盒子需要3个侧面、2个底面，裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，说明两种计算方式得到的盒子总数相等，可列方程：
$\frac{2x+152}{3} = \frac{190-5x}{2}$
去分母得：$2(2x+152) = 3(190-5x)$
去括号得：$4x + 304 = 570 -15x$
移项、合并同类项得：$19x = 266$
解得：$x=14$
将$x=14$代入$\frac{2x+152}{3}$计算盒子个数：$\frac{2×14 +152}{3} = \frac{180}{3}=60$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2x+152}$，$\boldsymbol{190-5x}$
(2) $\boldsymbol{60}$个
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；整式的加减
【点评】
本题结合实际手工制作场景考查代数式与一元一次方程的应用，解题的核心是准确梳理两种裁剪方式的产出数量，以及盒子组成中侧面、底面的数量匹配关系，需要认真审题理清各数量间的逻辑。
【难度系数】
0.65
(1) 首先明确总共有38张硬纸板，x张用A方法裁剪，则剩余(38-x)张用B方法裁剪。先分别确定两种裁剪方法每张硬纸板产出的侧面、底面数量：A方法每张可裁出6个侧面，无底面；B方法每张可裁出4个侧面和5个底面。分别计算两类方法产出的侧面总数、底面总数，再合并化简即可得到含x的表达式。
(2) 每个三棱柱盒子需要3个侧面和2个底面，当侧面和底面恰好用完时，侧面总数除以3得到的盒子总数，与底面总数除以2得到的盒子总数相等，据此列一元一次方程求解x，再代入计算盒子数量即可。
【解析】
(1) 已知裁剪时x张用A方法，则用B方法的硬纸板数量为$(38-x)$张。
计算侧面总数：A方法每张出6个侧面，B方法每张出4个侧面，因此总侧面数为：
$6x + 4(38-x) = 6x + 152 -4x = 2x +152$
计算底面总数：A方法无底面产出，B方法每张出5个底面，因此总底面数为：
$5(38-x) = 190 -5x$
(2) 每个盒子需要3个侧面、2个底面，裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，说明两种计算方式得到的盒子总数相等，可列方程：
$\frac{2x+152}{3} = \frac{190-5x}{2}$
去分母得：$2(2x+152) = 3(190-5x)$
去括号得：$4x + 304 = 570 -15x$
移项、合并同类项得：$19x = 266$
解得：$x=14$
将$x=14$代入$\frac{2x+152}{3}$计算盒子个数：$\frac{2×14 +152}{3} = \frac{180}{3}=60$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2x+152}$，$\boldsymbol{190-5x}$
(2) $\boldsymbol{60}$个
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；整式的加减
【点评】
本题结合实际手工制作场景考查代数式与一元一次方程的应用，解题的核心是准确梳理两种裁剪方式的产出数量，以及盒子组成中侧面、底面的数量匹配关系，需要认真审题理清各数量间的逻辑。
【难度系数】
0.65
