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9. 下图中的几何体属于棱柱的个数是(
A.2
B.3
C.4
D.5
C
)。A.2
B.3
C.4
D.5
答案
9. C
解析
【分析】
解题的核心是先明确棱柱的判定特征，再逐个对给出的几何体进行筛查即可。首先回忆棱柱的判定要点：棱柱是多面体，有两个互相平行且全等的底面，侧面均为平行四边形，所有侧棱互相平行且相等，侧面均为平面。接下来按照这个标准依次判断每个几何体是否属于棱柱，最后统计符合条件的数量即可。
【解析】
我们根据棱柱的特征逐个判断：
1. 第一个几何体是正方体，符合棱柱特征，属于四棱柱；
2. 第二个几何体是长方体，符合棱柱特征，属于四棱柱；
3. 第三个几何体是球，不符合棱柱特征，不属于棱柱；
4. 第四个几何体是圆柱，侧面为曲面，不符合棱柱侧面是平面平行四边形的要求，不属于棱柱；
5. 第五个几何体是圆锥，不符合棱柱特征，不属于棱柱；
6. 第六个几何体是正四棱柱，符合棱柱特征，属于棱柱；
7. 第七个几何体是三棱柱，符合棱柱特征，属于棱柱。
综上，属于棱柱的共有4个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
棱柱的判定；常见几何体的特征；立体图形分类
【点评】
本题侧重考查对基础立体图形特征的掌握，易错点是容易混淆棱柱和圆柱等带曲面的几何体，或漏数特殊棱柱，只要牢记棱柱的定义特征，就能准确计数。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先明确棱柱的判定特征，再逐个对给出的几何体进行筛查即可。首先回忆棱柱的判定要点：棱柱是多面体，有两个互相平行且全等的底面，侧面均为平行四边形，所有侧棱互相平行且相等，侧面均为平面。接下来按照这个标准依次判断每个几何体是否属于棱柱，最后统计符合条件的数量即可。
【解析】
我们根据棱柱的特征逐个判断：
1. 第一个几何体是正方体，符合棱柱特征，属于四棱柱；
2. 第二个几何体是长方体，符合棱柱特征，属于四棱柱；
3. 第三个几何体是球，不符合棱柱特征，不属于棱柱；
4. 第四个几何体是圆柱，侧面为曲面，不符合棱柱侧面是平面平行四边形的要求，不属于棱柱；
5. 第五个几何体是圆锥，不符合棱柱特征，不属于棱柱；
6. 第六个几何体是正四棱柱，符合棱柱特征，属于棱柱；
7. 第七个几何体是三棱柱，符合棱柱特征，属于棱柱。
综上，属于棱柱的共有4个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
棱柱的判定；常见几何体的特征；立体图形分类
【点评】
本题侧重考查对基础立体图形特征的掌握，易错点是容易混淆棱柱和圆柱等带曲面的几何体，或漏数特殊棱柱，只要牢记棱柱的定义特征，就能准确计数。
【难度系数】
0.8
10.【数学应用】如图所示的某种玩具是由两个正方体用胶水黏合而成的，它们的棱长分别为1 dm和2 dm，为了美观，现要在其表面喷涂油漆，已知喷涂1 dm²需用油漆5 g，那么喷涂这个玩具共需油漆
140 g
。答案
10. 140 g
解析
【分析】要计算所需油漆的质量，首先需要求出该组合玩具露在外部的喷涂总面积。我们先回忆正方体表面积公式：正方体表面积=6×棱长×棱长。两个正方体粘合后，小正方体的底面与大正方体顶面的部分区域重合，这两个重合面都不需要喷涂，因此不能直接将两个正方体的表面积相加，需要减去重合部分的2倍面积；也可以用简化思路：大正方体完整表面积加上小正方体4个侧面的面积即可，因为小正方体的顶面刚好可以补上大正方体被盖住的部分，降低计算难度。
【解析】
解：
1. 计算棱长为2dm的大正方体的表面积：
$S_{\mathrm{大}}=6× 2^2=6× 4=24\ \mathrm{dm}^2$
2. 计算小正方体需要喷涂的面积：小正方体底面和大正方体重合无需喷涂，仅4个侧面和顶面需要喷涂，其中顶面面积刚好抵消大正方体被盖住的面积，因此只需计算4个侧面的面积：
$S_{\mathrm{小侧}}=4× 1^2=4× 1=4\ \mathrm{dm}^2$
3. 总喷涂面积：
$S_{\mathrm{总}}=24+4=28\ \mathrm{dm}^2$
4. 计算所需油漆质量：已知喷涂$1\ \mathrm{dm}^2$需油漆5g，因此总质量为：
$28× 5=140\ \mathrm{g}$
【答案】140 g
【知识点】正方体表面积计算、组合体表面积计算
【点评】本题是立体图形表面积的实际应用题，解题核心是准确判断组合体中不需要喷涂的重合区域，避免直接相加两个独立正方体的表面积导致计算错误，结合实际场景分析表面积的组成即可顺利求解。
【难度系数】0.7
【解析】
解：
1. 计算棱长为2dm的大正方体的表面积：
$S_{\mathrm{大}}=6× 2^2=6× 4=24\ \mathrm{dm}^2$
2. 计算小正方体需要喷涂的面积：小正方体底面和大正方体重合无需喷涂，仅4个侧面和顶面需要喷涂，其中顶面面积刚好抵消大正方体被盖住的面积，因此只需计算4个侧面的面积：
$S_{\mathrm{小侧}}=4× 1^2=4× 1=4\ \mathrm{dm}^2$
3. 总喷涂面积：
$S_{\mathrm{总}}=24+4=28\ \mathrm{dm}^2$
4. 计算所需油漆质量：已知喷涂$1\ \mathrm{dm}^2$需油漆5g，因此总质量为：
$28× 5=140\ \mathrm{g}$
【答案】140 g
【知识点】正方体表面积计算、组合体表面积计算
【点评】本题是立体图形表面积的实际应用题，解题核心是准确判断组合体中不需要喷涂的重合区域，避免直接相加两个独立正方体的表面积导致计算错误，结合实际场景分析表面积的组成即可顺利求解。
【难度系数】0.7
11.如图所示的直棱柱的底面边长都是3.5 cm，高是4 cm，解答下列问题：
(1)这是几棱柱？共有几个面？
(2)这个棱柱的侧面积是多少？
(1)这是几棱柱？共有几个面？
(2)这个棱柱的侧面积是多少？
答案
11. (1)上底面是六边形,故是六棱柱,共有6+2=8(个)面。
(2)3.5×4×6=84(cm²)。
(2)3.5×4×6=84(cm²)。
解析
【分析】
解题时先从棱柱的基本概念入手：(1)判断棱柱类型只需要看底面多边形的边数，观察图形可知底面是六边形，即可确定棱柱类型；棱柱的面包含侧面和上下两个底面，侧面数量和底面边数相等，两类面数量相加即可得到总面数。(2)直棱柱的每个侧面都是长方形，单个侧面的面积=底面边长×高，总侧面积等于单个侧面面积乘侧面的数量，代入对应数据计算即可。
【解析】
(1)观察可得该直棱柱的底面为六边形，因此这个棱柱是六棱柱；
棱柱的侧面数量和底面边数相等，共有6个侧面，加上上下2个底面，总面数为$\boldsymbol{6+2=8}$（个）。
(2)该直棱柱的每个侧面都是长为3.5cm、高为4cm的长方形，单个侧面的面积为$3.5×4=14$（$\mathrm{cm}^2$），共有6个侧面，因此总侧面积为$\boldsymbol{14×6=84}$（$\mathrm{cm}^2$）。
【答案】
(1)这是六棱柱，共有8个面；
(2)这个棱柱的侧面积是$\boldsymbol{84\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
棱柱的分类；棱柱面的计数；直棱柱侧面积计算
【点评】
本题考查棱柱的基础性质，属于基础题型，只要熟练掌握棱柱的相关概念和侧面积计算方法，就能快速准确解答。
【难度系数】
0.9
解题时先从棱柱的基本概念入手：(1)判断棱柱类型只需要看底面多边形的边数，观察图形可知底面是六边形，即可确定棱柱类型；棱柱的面包含侧面和上下两个底面，侧面数量和底面边数相等，两类面数量相加即可得到总面数。(2)直棱柱的每个侧面都是长方形，单个侧面的面积=底面边长×高，总侧面积等于单个侧面面积乘侧面的数量，代入对应数据计算即可。
【解析】
(1)观察可得该直棱柱的底面为六边形，因此这个棱柱是六棱柱；
棱柱的侧面数量和底面边数相等，共有6个侧面，加上上下2个底面，总面数为$\boldsymbol{6+2=8}$（个）。
(2)该直棱柱的每个侧面都是长为3.5cm、高为4cm的长方形，单个侧面的面积为$3.5×4=14$（$\mathrm{cm}^2$），共有6个侧面，因此总侧面积为$\boldsymbol{14×6=84}$（$\mathrm{cm}^2$）。
【答案】
(1)这是六棱柱，共有8个面；
(2)这个棱柱的侧面积是$\boldsymbol{84\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
棱柱的分类；棱柱面的计数；直棱柱侧面积计算
【点评】
本题考查棱柱的基础性质，属于基础题型，只要熟练掌握棱柱的相关概念和侧面积计算方法，就能快速准确解答。
【难度系数】
0.9
12.【数学文化】18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察如图所示的几种简单多面体模型，解答下列问题：
正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体
简单多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
正四面体 4 4
正六面体 8
6 12
正八面体
正十二面体 20 12 30
(1)根据上面的多面体模型，完成表格；
(2)顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在怎样的关系式？
正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体
简单多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
正四面体 4 4
6
正六面体 8
6 12正八面体
6
8 12正十二面体 20 12 30
(1)根据上面的多面体模型，完成表格；
(2)顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在怎样的关系式？
答案
(1) 6 6
(2) V+F-E=2
(2) V+F-E=2
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
1. 解决第(1)问填表：①正四面体的棱数：可以通过直接计数，或者利用“每个面3条棱，每条棱属于2个面”计算：4个面×3条棱/面÷2=6；②正八面体的顶点数：可以通过模型结构计数（正八面体由两个正四棱锥底面拼接而成，共6个顶点），也可直观观察得出结果。
2. 解决第(2)问找关系式：把四个多面体的顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)分别代入计算V+F-E的值，发现所有多面体的计算结果都为2，即可总结出通用关系式。
【解析】
(1) ①正四面体每个面是正三角形，共4个面，每条棱被2个面共用，因此棱数$E=4×3÷2=6$；
②正八面体由两个底面重合的正四棱锥组成，上下各1个顶点，底面正方形有4个顶点，总顶点数$V=1+1+4=6$。
故表格两个空依次填6、6。
(2) 分别计算四个多面体的$V+F-E$的值：
正四面体：$4+4-6=2$；
正六面体：$8+6-12=2$；
正八面体：$6+8-12=2$；
正十二面体：$20+12-30=2$；
观察可得顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)的关系式为：$V+F-E=2$。
【答案】
(1) 6；6
(2) $V+F-E=2$
【知识点】
欧拉公式；多面体的认识；规律探究
【点评】
本题以数学文化中欧拉公式的探究为背景，通过观察常见多面体的结构特征、归纳数值规律得出结论，既考查了对立体几何图形的基础认知，又锻炼了归纳推理的能力，兼具趣味性与知识性。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：
1. 解决第(1)问填表：①正四面体的棱数：可以通过直接计数，或者利用“每个面3条棱，每条棱属于2个面”计算：4个面×3条棱/面÷2=6；②正八面体的顶点数：可以通过模型结构计数（正八面体由两个正四棱锥底面拼接而成，共6个顶点），也可直观观察得出结果。
2. 解决第(2)问找关系式：把四个多面体的顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)分别代入计算V+F-E的值，发现所有多面体的计算结果都为2，即可总结出通用关系式。
【解析】
(1) ①正四面体每个面是正三角形，共4个面，每条棱被2个面共用，因此棱数$E=4×3÷2=6$；
②正八面体由两个底面重合的正四棱锥组成，上下各1个顶点，底面正方形有4个顶点，总顶点数$V=1+1+4=6$。
故表格两个空依次填6、6。
(2) 分别计算四个多面体的$V+F-E$的值：
正四面体：$4+4-6=2$；
正六面体：$8+6-12=2$；
正八面体：$6+8-12=2$；
正十二面体：$20+12-30=2$；
观察可得顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)的关系式为：$V+F-E=2$。
【答案】
(1) 6；6
(2) $V+F-E=2$
【知识点】
欧拉公式；多面体的认识；规律探究
【点评】
本题以数学文化中欧拉公式的探究为背景，通过观察常见多面体的结构特征、归纳数值规律得出结论，既考查了对立体几何图形的基础认知，又锻炼了归纳推理的能力，兼具趣味性与知识性。
【难度系数】
0.8
