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5. 一个小球由静止开始在斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2 m/s，到达坡底时，小球的速度达到 40 m/s。设小球向下滚动的时间为 t(s)，滚动的速度为 v(m/s)。
（1）填写下表。
（2）写出 v 关于 t 的函数表达式和自变量 t 的取值范围。
（1）填写下表。
（2）写出 v 关于 t 的函数表达式和自变量 t 的取值范围。
答案
5. (1) 从左向右依次为 2,4,6,16,20 (2) $v=2t,0≤ t≤20$
解析
【分析】
首先，小球由静止开始运动，初始速度为0，且速度每秒增加2m/s，说明速度v随时间t匀速增长，二者成正比例关系。解题时先根据速度的增长规律推导出v和t的关系，再将表格中给出的t值代入关系式求出对应v值，将v=40代入求出对应t值即可完成填表；最后结合运动的实际意义，t最小为0，最大为到达坡底的时间，从而确定自变量t的取值范围。
【解析】
（1）根据题意，小球t秒时的速度v=2t：
当t=1s时，v=2×1=2m/s；
当t=2s时，v=2×2=4m/s；
当t=3s时，v=2×3=6m/s；
当t=8s时，v=2×8=16m/s；
当v=40m/s时，代入得40=2t，解得t=20s；
因此表格从左到右依次填写2、4、6、16、20。
（2）由速度的变化规律，初速度为0，每秒速度增加2m/s，可得v关于t的函数表达式为$v=2t$；
由于小球从静止开始滚动，到t=20s时到达坡底速度达到40m/s，结合实际意义，自变量t的取值范围是$0≤t≤20$。
【答案】
（1）从左向右依次为2，4，6，16，20；（2）$v=2t,0≤ t≤20$
【知识点】
列函数关系式，函数值计算，自变量取值范围确定
【点评】
本题结合实际运动场景考查函数的基础应用，解题关键是找准速度和时间的数量关系，同时注意自变量的取值范围要符合实际意义，不能仅从代数式本身判断。
【难度系数】
0.85
首先，小球由静止开始运动，初始速度为0，且速度每秒增加2m/s，说明速度v随时间t匀速增长，二者成正比例关系。解题时先根据速度的增长规律推导出v和t的关系，再将表格中给出的t值代入关系式求出对应v值，将v=40代入求出对应t值即可完成填表；最后结合运动的实际意义，t最小为0，最大为到达坡底的时间，从而确定自变量t的取值范围。
【解析】
（1）根据题意，小球t秒时的速度v=2t：
当t=1s时，v=2×1=2m/s；
当t=2s时，v=2×2=4m/s；
当t=3s时，v=2×3=6m/s；
当t=8s时，v=2×8=16m/s；
当v=40m/s时，代入得40=2t，解得t=20s；
因此表格从左到右依次填写2、4、6、16、20。
（2）由速度的变化规律，初速度为0，每秒速度增加2m/s，可得v关于t的函数表达式为$v=2t$；
由于小球从静止开始滚动，到t=20s时到达坡底速度达到40m/s，结合实际意义，自变量t的取值范围是$0≤t≤20$。
【答案】
（1）从左向右依次为2，4，6，16，20；（2）$v=2t,0≤ t≤20$
【知识点】
列函数关系式，函数值计算，自变量取值范围确定
【点评】
本题结合实际运动场景考查函数的基础应用，解题关键是找准速度和时间的数量关系，同时注意自变量的取值范围要符合实际意义，不能仅从代数式本身判断。
【难度系数】
0.85
6. 一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米(0＜x＜10)，正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y与x的函数关系式是
$y=-x^2+20x$
。答案
6. $y=-x^2+20x$
解析
【分析】
解题时首先要明确面积减少量的计算逻辑：减少的面积等于原正方形的面积减去边长减少后新正方形的面积。第一步先根据正方形面积公式分别求出原正方形和边长减少后的正方形面积，第二步用原面积减新面积得到y的表达式，最后化简整理即可得到y与x的函数关系式。
【解析】
解：已知原正方形边长为10厘米，根据正方形面积公式，原正方形面积为：
$S_{\mathrm{原}} = 10 × 10 = 100 \, (\mathrm{平方厘米})$
边长减少x厘米后，新正方形的边长为$(10-x)$厘米，新正方形面积为：
$S_{\mathrm{新}} = (10-x)^2 \, (\mathrm{平方厘米})$
面积减少量y等于原面积减去新面积，因此：
$\begin{aligned}y &= S_{\mathrm{原}} - S_{\mathrm{新}} \\&= 100 - (10-x)^2 \\&= 100 - (100 - 20x + x^2) \\&= 100 - 100 + 20x - x^2 \\&= -x^2 + 20x\end{aligned}$
结合题中给出的自变量范围$0＜x＜10$，即可得到最终函数关系式。
【答案】
$y=-x^2+20x$
【知识点】
正方形面积计算，列函数关系式，整式化简
【点评】
本题结合几何图形的实际背景考查函数关系式的列写，解题核心是找准数量之间的等量关系，再通过整式运算化简得到结果，是函数入门阶段的基础题型，熟练掌握面积公式和整式运算是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确面积减少量的计算逻辑：减少的面积等于原正方形的面积减去边长减少后新正方形的面积。第一步先根据正方形面积公式分别求出原正方形和边长减少后的正方形面积，第二步用原面积减新面积得到y的表达式，最后化简整理即可得到y与x的函数关系式。
【解析】
解：已知原正方形边长为10厘米，根据正方形面积公式，原正方形面积为：
$S_{\mathrm{原}} = 10 × 10 = 100 \, (\mathrm{平方厘米})$
边长减少x厘米后，新正方形的边长为$(10-x)$厘米，新正方形面积为：
$S_{\mathrm{新}} = (10-x)^2 \, (\mathrm{平方厘米})$
面积减少量y等于原面积减去新面积，因此：
$\begin{aligned}y &= S_{\mathrm{原}} - S_{\mathrm{新}} \\&= 100 - (10-x)^2 \\&= 100 - (100 - 20x + x^2) \\&= 100 - 100 + 20x - x^2 \\&= -x^2 + 20x\end{aligned}$
结合题中给出的自变量范围$0＜x＜10$，即可得到最终函数关系式。
【答案】
$y=-x^2+20x$
【知识点】
正方形面积计算，列函数关系式，整式化简
【点评】
本题结合几何图形的实际背景考查函数关系式的列写，解题核心是找准数量之间的等量关系，再通过整式运算化简得到结果，是函数入门阶段的基础题型，熟练掌握面积公式和整式运算是解题的关键。
【难度系数】
0.8
7. 已知等腰三角形的周长为12，设底边长为x，腰长为y，则y关于x的函数表达式为
$y=6-\dfrac{1}{2}x$
，自变量x的取值范围是$0＜x＜6$
。答案
7. $y=6-\dfrac{1}{2}x$；$0＜x＜6$
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步求函数表达式，首先根据等腰三角形周长=2×腰长+底边长的等量关系，结合已知周长为12列出等式，再将等式变形为用含x的代数式表示y的形式即可。第二步求自变量x的取值范围，需同时满足两个要求：一是三角形的各边长均为正数，二是符合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，将这两个要求转化为不等式求解，就能得到x的取值范围。
【解析】
1. 求y关于x的函数表达式：
根据等腰三角形周长公式，可得：$2y + x = 12$
对等式变形求解y：
$2y = 12 - x$
$y = \dfrac{12 - x}{2}$，即$y = 6 - \dfrac{1}{2}x$
2. 求自变量x的取值范围：
① 边长为正数，因此底边长$x ＞ 0$；
② 根据三角形三边关系，两腰之和大于第三边，即$2y ＞ x$，将$2y = 12 - x$代入得：
$12 - x ＞ x$
移项合并得：$2x ＜ 12$，解得$x ＜ 6$
结合以上两个条件，可得x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 6$
【答案】
$y=6-\dfrac{1}{2}x$；$0＜x＜6$
【知识点】
1. 等腰三角形周长计算
2. 函数解析式求解
3. 三角形三边关系
【点评】
本题是结合几何性质的函数基础题，核心考查等量关系转化和自变量取值范围的求解，易错点是求x的取值范围时容易忽略三角形三边关系，仅考虑边长为正得到错误范围，求解几何类函数的自变量取值时，一定要结合图形的性质验证合理性。
【难度系数】
0.7
解题时可分两步思考：第一步求函数表达式，首先根据等腰三角形周长=2×腰长+底边长的等量关系，结合已知周长为12列出等式，再将等式变形为用含x的代数式表示y的形式即可。第二步求自变量x的取值范围，需同时满足两个要求：一是三角形的各边长均为正数，二是符合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，将这两个要求转化为不等式求解，就能得到x的取值范围。
【解析】
1. 求y关于x的函数表达式：
根据等腰三角形周长公式，可得：$2y + x = 12$
对等式变形求解y：
$2y = 12 - x$
$y = \dfrac{12 - x}{2}$，即$y = 6 - \dfrac{1}{2}x$
2. 求自变量x的取值范围：
① 边长为正数，因此底边长$x ＞ 0$；
② 根据三角形三边关系，两腰之和大于第三边，即$2y ＞ x$，将$2y = 12 - x$代入得：
$12 - x ＞ x$
移项合并得：$2x ＜ 12$，解得$x ＜ 6$
结合以上两个条件，可得x的取值范围是$0 ＜ x ＜ 6$
【答案】
$y=6-\dfrac{1}{2}x$；$0＜x＜6$
【知识点】
1. 等腰三角形周长计算
2. 函数解析式求解
3. 三角形三边关系
【点评】
本题是结合几何性质的函数基础题，核心考查等量关系转化和自变量取值范围的求解，易错点是求x的取值范围时容易忽略三角形三边关系，仅考虑边长为正得到错误范围，求解几何类函数的自变量取值时，一定要结合图形的性质验证合理性。
【难度系数】
0.7
8. 已知直角三角形的两条直角边长为 3 cm，x(cm)，斜边长为 y(cm)。
（1）求 y 关于 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围。
（2）当 $ x=4 $ 时，求斜边长 y 的值。
（3）当斜边长 $ y=\sqrt{73} $ 时，求直角三角形的另一条直角边长 x。
（1）求 y 关于 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围。
（2）当 $ x=4 $ 时，求斜边长 y 的值。
（3）当斜边长 $ y=\sqrt{73} $ 时，求直角三角形的另一条直角边长 x。
答案
8. (1) $y=\sqrt{x^2+9},x＞0$ (2) 5 cm (3) 8 cm
解析
【分析】
这道题结合直角三角形性质与函数知识考察，解题思路如下：
1. 第（1）问：利用直角三角形勾股定理（两条直角边的平方和等于斜边的平方）列出等式，整理得到y关于x的表达式；再结合x是直角边长的实际意义，边长为正数，即可确定自变量x的取值范围。
2. 第（2）问：属于已知自变量求函数值，直接将x=4代入第（1）问得到的函数表达式计算即可。
3. 第（3）问：属于已知函数值求自变量，将y=√73代入函数表达式，解方程得到x的结果后，结合x为边长的正属性筛选出符合要求的解即可。
【解析】
解：
（1）根据勾股定理可得：
$3^2 + x^2 = y^2$
由于y为斜边长，必然为正数，因此对等式开方整理得：
$y=\sqrt{x^2+9}$
又因为x是直角三角形的直角边长，长度需大于0，因此自变量x的取值范围为$x＞0$。
（2）当$x=4$时，代入$y=\sqrt{x^2+9}$得：
$y=\sqrt{4^2+9}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$，即斜边长为5 cm。
（3）当$y=\sqrt{73}$时，代入$y=\sqrt{x^2+9}$得：
$\sqrt{73}=\sqrt{x^2+9}$
两边同时平方得：$73=x^2+9$
移项计算得：$x^2=64$
结合$x＞0$，可得$x=8$，即另一条直角边长为8 cm。
【答案】
(1) $y=\sqrt{x^2+9},x＞0$ (2) 5 cm (3) 8 cm
【知识点】
勾股定理；函数自变量取值范围；代入求值
【点评】
本题是几何与函数的基础综合题，将直角三角形边长性质和函数相关知识结合，考察基础的公式应用与计算能力，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.85
这道题结合直角三角形性质与函数知识考察，解题思路如下：
1. 第（1）问：利用直角三角形勾股定理（两条直角边的平方和等于斜边的平方）列出等式，整理得到y关于x的表达式；再结合x是直角边长的实际意义，边长为正数，即可确定自变量x的取值范围。
2. 第（2）问：属于已知自变量求函数值，直接将x=4代入第（1）问得到的函数表达式计算即可。
3. 第（3）问：属于已知函数值求自变量，将y=√73代入函数表达式，解方程得到x的结果后，结合x为边长的正属性筛选出符合要求的解即可。
【解析】
解：
（1）根据勾股定理可得：
$3^2 + x^2 = y^2$
由于y为斜边长，必然为正数，因此对等式开方整理得：
$y=\sqrt{x^2+9}$
又因为x是直角三角形的直角边长，长度需大于0，因此自变量x的取值范围为$x＞0$。
（2）当$x=4$时，代入$y=\sqrt{x^2+9}$得：
$y=\sqrt{4^2+9}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$，即斜边长为5 cm。
（3）当$y=\sqrt{73}$时，代入$y=\sqrt{x^2+9}$得：
$\sqrt{73}=\sqrt{x^2+9}$
两边同时平方得：$73=x^2+9$
移项计算得：$x^2=64$
结合$x＞0$，可得$x=8$，即另一条直角边长为8 cm。
【答案】
(1) $y=\sqrt{x^2+9},x＞0$ (2) 5 cm (3) 8 cm
【知识点】
勾股定理；函数自变量取值范围；代入求值
【点评】
本题是几何与函数的基础综合题，将直角三角形边长性质和函数相关知识结合，考察基础的公式应用与计算能力，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.85
