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1. 已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根为$x_1=3$，$x_2=-1$，则抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线()。
A.$x=-1$
B.$x=3$
C.$x=2$
D.$x=1$
A.$x=-1$
B.$x=3$
C.$x=2$
D.$x=1$
答案
D
解析
【分析】
首先要明确一元二次方程的根和对应二次函数图象的关系：一元二次方程的两个实根就是对应的抛物线与x轴两个交点的横坐标。抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴经过两个交点连线的中点，我们只需要计算两个根的平均值就能得到对称轴的直线方程。
【解析】
解：
∵一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根为$x_1=3$，$x_2=-1$
∴抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴的两个交点坐标为$(3,0)$和$(-1,0)$
∵抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称
∴对称轴为两点连线的垂直平分线，横坐标为两个根的平均值，即：
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3+(-1)}{2}=1$
即对称轴是直线$x=1$
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数对称轴计算
【点评】
本题考查二次函数与对应一元二次方程的关联，结合抛物线的对称性求对称轴，解题关键是理解方程的根与抛物线和x轴交点横坐标的对应关系，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
首先要明确一元二次方程的根和对应二次函数图象的关系：一元二次方程的两个实根就是对应的抛物线与x轴两个交点的横坐标。抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴经过两个交点连线的中点，我们只需要计算两个根的平均值就能得到对称轴的直线方程。
【解析】
解：
∵一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根为$x_1=3$，$x_2=-1$
∴抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴的两个交点坐标为$(3,0)$和$(-1,0)$
∵抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称
∴对称轴为两点连线的垂直平分线，横坐标为两个根的平均值，即：
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3+(-1)}{2}=1$
即对称轴是直线$x=1$
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数对称轴计算
【点评】
本题考查二次函数与对应一元二次方程的关联，结合抛物线的对称性求对称轴，解题关键是理解方程的根与抛物线和x轴交点横坐标的对应关系，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
2. 若抛物线$y=x^2 -4x +c$与$x$轴只有一个交点，则$c$的值为().
A.0
B.1
C.4
D.16
A.0
B.1
C.4
D.16
答案
C
解析
【分析】
当抛物线与x轴只有一个交点时，说明抛物线对应的一元二次方程有两个相等的实数根，此时根的判别式$\Delta = b^2-4ac = 0$。我们可以先确定抛物线解析式中$a、b$的取值，代入判别式等于0的等式，就能解出$c$的值。
【解析】
解：$\because$抛物线$y=x^2-4x+c$与$x$轴只有一个交点
$\therefore$一元二次方程$x^2-4x+c=0$有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta = 0$
对于方程$x^2-4x+c=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项为$c$
$\therefore \Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×1× c = 16-4c = 0$
解得：$c=4$
【答案】
C
【知识点】
二次函数与x轴交点问题，根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系，熟记判别式的应用条件即可快速求解。
【难度系数】
0.8
当抛物线与x轴只有一个交点时，说明抛物线对应的一元二次方程有两个相等的实数根，此时根的判别式$\Delta = b^2-4ac = 0$。我们可以先确定抛物线解析式中$a、b$的取值，代入判别式等于0的等式，就能解出$c$的值。
【解析】
解：$\because$抛物线$y=x^2-4x+c$与$x$轴只有一个交点
$\therefore$一元二次方程$x^2-4x+c=0$有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta = 0$
对于方程$x^2-4x+c=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项为$c$
$\therefore \Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×1× c = 16-4c = 0$
解得：$c=4$
【答案】
C
【知识点】
二次函数与x轴交点问题，根的判别式的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系，熟记判别式的应用条件即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图,这是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象,则关于$x$的方程$ax^2+bx+c-3=0$的根的情况是().
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
答案
C
解析
【分析】
要判断方程$ax^2+bx+c-3=0$的根的情况，首先可将方程变形为$ax^2+bx+c=3$，该方程的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为3时的自变量x的值，根的个数等价于抛物线与直线$y=3$的交点个数。观察图象可知二次函数的最大值为3，仅在顶点处取得该函数值，因此可推出交点个数，进而判断根的情况。
【解析】
将方程$ax^2+bx+c-3=0$移项可得$ax^2+bx+c=3$，即求二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为3时x的取值。
由图象可知，该二次函数开口向下，顶点纵坐标为3，即函数的最大值为3，仅当x取顶点的横坐标时，函数值等于3，因此抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=3$只有1个公共点。
根据二次函数与一元二次方程的关系，可知方程$ax^2+bx+c=3$有两个相等的实数根，即方程$ax^2+bx+c-3=0$有两个相等的实数根。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象与最值
【点评】
本题通过数形结合的思想，将方程根的问题转化为函数图象交点问题进行求解，核心是理解二次函数的函数值与对应一元二次方程根的对应关系，属于基础类考题，掌握相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.85
要判断方程$ax^2+bx+c-3=0$的根的情况，首先可将方程变形为$ax^2+bx+c=3$，该方程的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为3时的自变量x的值，根的个数等价于抛物线与直线$y=3$的交点个数。观察图象可知二次函数的最大值为3，仅在顶点处取得该函数值，因此可推出交点个数，进而判断根的情况。
【解析】
将方程$ax^2+bx+c-3=0$移项可得$ax^2+bx+c=3$，即求二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为3时x的取值。
由图象可知，该二次函数开口向下，顶点纵坐标为3，即函数的最大值为3，仅当x取顶点的横坐标时，函数值等于3，因此抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=3$只有1个公共点。
根据二次函数与一元二次方程的关系，可知方程$ax^2+bx+c=3$有两个相等的实数根，即方程$ax^2+bx+c-3=0$有两个相等的实数根。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象与最值
【点评】
本题通过数形结合的思想，将方程根的问题转化为函数图象交点问题进行求解，核心是理解二次函数的函数值与对应一元二次方程根的对应关系，属于基础类考题，掌握相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.85
4. 若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$有两个根$x_1 = -1$，$x_2 = 2$，则抛物线$y = ax^2 + bx + c$与$x$轴的交点坐标是。
答案
$\boldsymbol{(-1,0)、(2,0)}$
解析
【分析】
解题前先明确两个核心对应关系：一是x轴上所有点的纵坐标都为0，因此抛物线与x轴的交点，就是当函数值y=0时对应的自变量x的取值；二是当y=0时，二次函数的表达式就转化为对应的一元二次方程，因此该方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标。已知方程的两个根，直接对应即可得到交点的横坐标，结合x轴点纵坐标为0的特征，就能写出交点坐标。
【解析】
解：
∵抛物线与x轴交点的纵坐标恒为0，
∴抛物线$y = ax^2 + bx + c$与x轴交点的横坐标，就是方程$ax^2 + bx + c = 0$的根。
已知一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根为$x_1 = -1$，$x_2 = 2$，
∴抛物线与x轴的两个交点横坐标分别为-1、2，纵坐标均为0，
即交点坐标为$(-1,0)、(2,0)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-1,0)、(2,0)}$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. x轴上点的坐标特征
【点评】
本题是基础概念应用题，只要理清二次函数与对应一元二次方程的转化关系、x轴上点的坐标特征，就能快速得到答案，是对基础知识点掌握程度的直接考查。
【难度系数】
0.9
解题前先明确两个核心对应关系：一是x轴上所有点的纵坐标都为0，因此抛物线与x轴的交点，就是当函数值y=0时对应的自变量x的取值；二是当y=0时，二次函数的表达式就转化为对应的一元二次方程，因此该方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标。已知方程的两个根，直接对应即可得到交点的横坐标，结合x轴点纵坐标为0的特征，就能写出交点坐标。
【解析】
解：
∵抛物线与x轴交点的纵坐标恒为0，
∴抛物线$y = ax^2 + bx + c$与x轴交点的横坐标，就是方程$ax^2 + bx + c = 0$的根。
已知一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根为$x_1 = -1$，$x_2 = 2$，
∴抛物线与x轴的两个交点横坐标分别为-1、2，纵坐标均为0，
即交点坐标为$(-1,0)、(2,0)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-1,0)、(2,0)}$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. x轴上点的坐标特征
【点评】
本题是基础概念应用题，只要理清二次函数与对应一元二次方程的转化关系、x轴上点的坐标特征，就能快速得到答案，是对基础知识点掌握程度的直接考查。
【难度系数】
0.9
5. 当$m$时，函数$y=x^2-(m+2)x+\frac{1}{4}m^2$的图象与$x$轴有交点。
答案
$≥ -1$
解析
【分析】
要判断二次函数图象与x轴的交点情况，可转化为判断对应的一元二次方程的实数根情况：当图象与x轴有交点时，对应方程有实数根，即判别式Δ≥0。解题步骤为：①确定二次函数对应方程的各项系数a、b、c；②代入判别式公式列出关于m的不等式；③解不等式即可得到m的取值范围，本题二次项系数为1≠0，无需考虑函数退化为一次函数的情况。
【解析】
二次函数$y=x^2-(m+2)x+\frac{1}{4}m^2$的图象与$x$轴有交点，等价于一元二次方程$x^2-(m+2)x+\frac{1}{4}m^2=0$有实数根，因此判别式$\Delta = b^2-4ac≥ 0$。
其中$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=\frac{1}{4}m^2$，代入得：
$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4×1×\frac{1}{4}m^2$
$=m^2+4m+4 - m^2$
$=4m+4$
令$\Delta≥0$，即$4m+4≥0$，
解得$m≥ -1$。
【答案】
$≥ -1$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心是掌握二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，解题时注意准确计算判别式，正确解不等式即可得到结果。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数图象与x轴的交点情况，可转化为判断对应的一元二次方程的实数根情况：当图象与x轴有交点时，对应方程有实数根，即判别式Δ≥0。解题步骤为：①确定二次函数对应方程的各项系数a、b、c；②代入判别式公式列出关于m的不等式；③解不等式即可得到m的取值范围，本题二次项系数为1≠0，无需考虑函数退化为一次函数的情况。
【解析】
二次函数$y=x^2-(m+2)x+\frac{1}{4}m^2$的图象与$x$轴有交点，等价于一元二次方程$x^2-(m+2)x+\frac{1}{4}m^2=0$有实数根，因此判别式$\Delta = b^2-4ac≥ 0$。
其中$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=\frac{1}{4}m^2$，代入得：
$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4×1×\frac{1}{4}m^2$
$=m^2+4m+4 - m^2$
$=4m+4$
令$\Delta≥0$，即$4m+4≥0$，
解得$m≥ -1$。
【答案】
$≥ -1$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心是掌握二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，解题时注意准确计算判别式，正确解不等式即可得到结果。
【难度系数】
0.8
6. 若函数$y=(a-1)x^2 -4x +2a$的图象与x轴有且只有一个公共点，则a的值为.
答案
解：分两种情况讨论：
1. 当该函数为一次函数时，二次项系数满足$a-1=0$，即$a=1$，
此时函数解析式为$y=-4x+2$，是一次函数，其图象与$x$轴有且只有一个公共点，符合题意。
2. 当该函数为二次函数时，$a≠1$，
由函数图象与$x$轴有且只有一个公共点，得对应的一元二次方程$(a-1)x^2 -4x +2a=0$有两个相等的实数根，
因此判别式$\Delta=(-4)^2 - 4(a-1)·2a=0$，
整理得：$a^2 -a -2=0$，
因式分解得：$(a-2)(a+1)=0$，
解得$a=2$或$a=-1$，均满足$a≠1$，符合题意。
综上，$a$的值为$\boldsymbol{-1}$或$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{2}$。
1. 当该函数为一次函数时，二次项系数满足$a-1=0$，即$a=1$，
此时函数解析式为$y=-4x+2$，是一次函数，其图象与$x$轴有且只有一个公共点，符合题意。
2. 当该函数为二次函数时，$a≠1$，
由函数图象与$x$轴有且只有一个公共点，得对应的一元二次方程$(a-1)x^2 -4x +2a=0$有两个相等的实数根，
因此判别式$\Delta=(-4)^2 - 4(a-1)·2a=0$，
整理得：$a^2 -a -2=0$，
因式分解得：$(a-2)(a+1)=0$，
解得$a=2$或$a=-1$，均满足$a≠1$，符合题意。
综上，$a$的值为$\boldsymbol{-1}$或$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
遇到函数图象与x轴仅有一个公共点的问题时，首先要注意题干未明确函数类型，因此需要分两类讨论：①当函数为一次函数时，二次项系数为0，一次函数的图象是直线，与x轴必然只有一个交点，代入验证即可；②当函数为二次函数时，二次项系数不为0，此时图象与x轴只有一个公共点等价于对应的一元二次方程有两个相等的实数根，利用判别式Δ=0列方程求解即可，最后综合两种情况得到a的取值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当该函数为一次函数时，二次项系数满足$a-1=0$，即$a=1$，
此时函数解析式为$y=-4x+2$，是一次函数，其图象与$x$轴有且只有一个公共点，符合题意。
2. 当该函数为二次函数时，$a≠1$，
由函数图象与$x$轴有且只有一个公共点，得对应的一元二次方程$(a-1)x^2 -4x +2a=0$有两个相等的实数根，
因此判别式$\Delta=(-4)^2 - 4(a-1)·2a=0$，
整理得：$a^2 -a -2=0$，
因式分解得：$(a-2)(a+1)=0$，
解得$a=2$或$a=-1$，均满足$a≠1$，符合题意。
综上，a的值为-1或1或2。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$或$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{2}$
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数与一元二次方程，根的判别式应用
【点评】
本题易错点是受思维定式影响，直接默认函数为二次函数求解，忽略一次函数的情况导致漏解，解题时需注意审清题干，未明确函数类型时要分类讨论。
【难度系数】
0.6
遇到函数图象与x轴仅有一个公共点的问题时，首先要注意题干未明确函数类型，因此需要分两类讨论：①当函数为一次函数时，二次项系数为0，一次函数的图象是直线，与x轴必然只有一个交点，代入验证即可；②当函数为二次函数时，二次项系数不为0，此时图象与x轴只有一个公共点等价于对应的一元二次方程有两个相等的实数根，利用判别式Δ=0列方程求解即可，最后综合两种情况得到a的取值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当该函数为一次函数时，二次项系数满足$a-1=0$，即$a=1$，
此时函数解析式为$y=-4x+2$，是一次函数，其图象与$x$轴有且只有一个公共点，符合题意。
2. 当该函数为二次函数时，$a≠1$，
由函数图象与$x$轴有且只有一个公共点，得对应的一元二次方程$(a-1)x^2 -4x +2a=0$有两个相等的实数根，
因此判别式$\Delta=(-4)^2 - 4(a-1)·2a=0$，
整理得：$a^2 -a -2=0$，
因式分解得：$(a-2)(a+1)=0$，
解得$a=2$或$a=-1$，均满足$a≠1$，符合题意。
综上，a的值为-1或1或2。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$或$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{2}$
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数与一元二次方程，根的判别式应用
【点评】
本题易错点是受思维定式影响，直接默认函数为二次函数求解，忽略一次函数的情况导致漏解，解题时需注意审清题干，未明确函数类型时要分类讨论。
【难度系数】
0.6
三、解答题
7. 已知抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 + x + c$ 与 $x$ 轴没有交点.
（1）求 $c$ 的取值范围；
（2）试确定直线 $y=cx +1$ 经过的象限，并说明理由.
7. 已知抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 + x + c$ 与 $x$ 轴没有交点.
（1）求 $c$ 的取值范围；
（2）试确定直线 $y=cx +1$ 经过的象限，并说明理由.
答案
解：
(1) ∵抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 + x + c$ 与x轴没有交点，
∴对应的一元二次方程 $\frac{1}{2}x^2 + x + c = 0$ 没有实数根，
∴判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×\frac{1}{2}× c ＜ 0$，
即 $1 - 2c ＜ 0$，
解得 $c ＞ \frac{1}{2}$。
(2) 直线 $y=cx+1$ 经过第一、二、三象限，理由如下：
∵ $c ＞ \frac{1}{2} ＞ 0$，
∴一次函数 $y=cx+1$ 的比例系数大于0，y随x的增大而增大，
又∵该直线的常数项为1，即直线与y轴的交点为$(0,1)$，在y轴正半轴，
∴直线 $y=cx+1$ 经过第一、二、三象限。
(1) ∵抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 + x + c$ 与x轴没有交点，
∴对应的一元二次方程 $\frac{1}{2}x^2 + x + c = 0$ 没有实数根，
∴判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×\frac{1}{2}× c ＜ 0$，
即 $1 - 2c ＜ 0$，
解得 $c ＞ \frac{1}{2}$。
(2) 直线 $y=cx+1$ 经过第一、二、三象限，理由如下：
∵ $c ＞ \frac{1}{2} ＞ 0$，
∴一次函数 $y=cx+1$ 的比例系数大于0，y随x的增大而增大，
又∵该直线的常数项为1，即直线与y轴的交点为$(0,1)$，在y轴正半轴，
∴直线 $y=cx+1$ 经过第一、二、三象限。
解析
【分析】
（1）解题时先利用二次函数与一元二次方程的对应关系：抛物线与x轴无交点，说明对应的一元二次方程没有实数根，因此判别式Δ＜0。找到二次函数各项的系数代入判别式列出不等式，解不等式即可得到c的取值范围。
（2）判断一次函数经过的象限，需要根据一次函数的比例系数k和常数项b的符号判断。结合第一问求出的c的取值范围确定k的符号，再结合b=1的符号，即可确定直线经过的象限。
【解析】
(1)
∵抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 + x + c$ 与x轴没有交点，
∴对应的一元二次方程 $\frac{1}{2}x^2 + x + c = 0$ 没有实数根，
∴判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×\frac{1}{2}× c ＜ 0$，
即 $1 - 2c ＜ 0$，
解得 $c ＞ \frac{1}{2}$。
(2) 直线 $y=cx+1$ 经过第一、二、三象限，理由如下：
∵ $c ＞ \frac{1}{2} ＞ 0$，
∴一次函数 $y=cx+1$ 的比例系数大于0，y随x的增大而增大，
又
∵该直线的常数项为1，即直线与y轴的交点为$(0,1)$，在y轴正半轴，
∴直线 $y=cx+1$ 经过第一、二、三象限。
【答案】
(1) $c＞\frac{1}{2}$；
(2) 经过第一、二、三象限
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；判别式的应用；一次函数图像性质
【点评】
本题属于基础综合题，将二次函数与一次函数的性质结合考查，解题关键是掌握二次函数图像与x轴交点个数和判别式的对应关系，以及一次函数系数与图像经过象限的对应规律，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）解题时先利用二次函数与一元二次方程的对应关系：抛物线与x轴无交点，说明对应的一元二次方程没有实数根，因此判别式Δ＜0。找到二次函数各项的系数代入判别式列出不等式，解不等式即可得到c的取值范围。
（2）判断一次函数经过的象限，需要根据一次函数的比例系数k和常数项b的符号判断。结合第一问求出的c的取值范围确定k的符号，再结合b=1的符号，即可确定直线经过的象限。
【解析】
(1)
∵抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 + x + c$ 与x轴没有交点，
∴对应的一元二次方程 $\frac{1}{2}x^2 + x + c = 0$ 没有实数根，
∴判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×\frac{1}{2}× c ＜ 0$，
即 $1 - 2c ＜ 0$，
解得 $c ＞ \frac{1}{2}$。
(2) 直线 $y=cx+1$ 经过第一、二、三象限，理由如下：
∵ $c ＞ \frac{1}{2} ＞ 0$，
∴一次函数 $y=cx+1$ 的比例系数大于0，y随x的增大而增大，
又
∵该直线的常数项为1，即直线与y轴的交点为$(0,1)$，在y轴正半轴，
∴直线 $y=cx+1$ 经过第一、二、三象限。
【答案】
(1) $c＞\frac{1}{2}$；
(2) 经过第一、二、三象限
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；判别式的应用；一次函数图像性质
【点评】
本题属于基础综合题，将二次函数与一次函数的性质结合考查，解题关键是掌握二次函数图像与x轴交点个数和判别式的对应关系，以及一次函数系数与图像经过象限的对应规律，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 已知抛物线 $y=2x^2 - mx - m^2$，求证：对任意实数 $m$，抛物线与 $x$ 轴总有交点.
答案
证明：
令$y=0$，得一元二次方程 $2x^2 - mx - m^2 = 0$。
其中 $a=2$，$b=-m$，$c=-m^2$，
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= (-m)^2 - 4× 2× (-m^2) \\&= m^2 + 8m^2 \\&= 9m^2\end{aligned}$
∵ 对任意实数$m$，都有$m^2 ≥ 0$，
∴ $\Delta = 9m^2 ≥ 0$，即该一元二次方程总有实数根。
∴ 对任意实数$m$，抛物线$y=2x^2 - mx - m^2$与$x$轴总有交点。
令$y=0$，得一元二次方程 $2x^2 - mx - m^2 = 0$。
其中 $a=2$，$b=-m$，$c=-m^2$，
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= (-m)^2 - 4× 2× (-m^2) \\&= m^2 + 8m^2 \\&= 9m^2\end{aligned}$
∵ 对任意实数$m$，都有$m^2 ≥ 0$，
∴ $\Delta = 9m^2 ≥ 0$，即该一元二次方程总有实数根。
∴ 对任意实数$m$，抛物线$y=2x^2 - mx - m^2$与$x$轴总有交点。
解析
【分析】
要证明抛物线与x轴总有交点，可利用二次函数与一元二次方程的关系转化问题：抛物线与x轴交点的横坐标就是y=0时对应一元二次方程的根，因此只需证明对任意实数m，方程$2x^2 - mx - m^2=0$总有实数根即可。判断一元二次方程是否有实根可通过根的判别式Δ的符号判断，只要证明Δ≥0恒成立，就能得到结论。
【解析】
证明：令$y=0$，可得一元二次方程 $2x^2 - mx - m^2 = 0$，
其中$a=2$，$b=-m$，$c=-m^2$，
计算根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= (-m)^2 - 4× 2× (-m^2) \\&= m^2 + 8m^2 \\&= 9m^2\end{aligned}$
∵ 对任意实数$m$，平方数具有非负性，即$m^2 ≥ 0$，
∴ $\Delta = 9m^2 ≥ 0$，即该一元二次方程总有实数根，
∴ 对任意实数$m$，抛物线$y=2x^2 - mx - m^2$与x轴总有交点。
【答案】
对任意实数$m$，抛物线$y=2x^2 - mx - m^2$与$x$轴总有交点。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 平方的非负性
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心是掌握函数与方程的转化思想，将抛物线与x轴交点问题转化为一元二次方程根的存在性问题，熟练运用判别式判断方程根的情况是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明抛物线与x轴总有交点，可利用二次函数与一元二次方程的关系转化问题：抛物线与x轴交点的横坐标就是y=0时对应一元二次方程的根，因此只需证明对任意实数m，方程$2x^2 - mx - m^2=0$总有实数根即可。判断一元二次方程是否有实根可通过根的判别式Δ的符号判断，只要证明Δ≥0恒成立，就能得到结论。
【解析】
证明：令$y=0$，可得一元二次方程 $2x^2 - mx - m^2 = 0$，
其中$a=2$，$b=-m$，$c=-m^2$，
计算根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= (-m)^2 - 4× 2× (-m^2) \\&= m^2 + 8m^2 \\&= 9m^2\end{aligned}$
∵ 对任意实数$m$，平方数具有非负性，即$m^2 ≥ 0$，
∴ $\Delta = 9m^2 ≥ 0$，即该一元二次方程总有实数根，
∴ 对任意实数$m$，抛物线$y=2x^2 - mx - m^2$与x轴总有交点。
【答案】
对任意实数$m$，抛物线$y=2x^2 - mx - m^2$与$x$轴总有交点。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 平方的非负性
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心是掌握函数与方程的转化思想，将抛物线与x轴交点问题转化为一元二次方程根的存在性问题，熟练运用判别式判断方程根的情况是解题的关键。
【难度系数】
0.7
