5. 新考法构造相似三角形法 如图,在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$∠ AOB=90°$.反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0),y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象分别过$A,B$两点.若$\tan∠ BAO=\frac{1}{2}$,求$k$的值.

如图,过点$A$作$AD⊥x$轴于点$D$,过点$B$作$BC⊥x$轴于点$C$,则$∠ADO=∠OCB=90°$.

∴$∠OAD+∠AOD=90°$.
∵$\tan∠BAO=\frac{1}{2}$,$∠AOB=90°$,
∴$∠BOC+∠AOD=90°$,$\frac{OB}{AO}=\frac{1}{2}$.
∴$∠BOC=∠OAD$.
∴$△BOC∽△OAD$.
∴$\frac{S_{△BOC}}{S_{△OAD}}=(\frac{OB}{AO})^2=\frac{1}{4}$.
∵点$A$在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上,
∴$S_{△OAD}=\frac{1}{2}$.
∴$S_{△BOC}=\frac{1}{8}=\frac{|k|}{2}$.
∴$|k|=\frac{1}{4}$.
∴$k=±\frac{1}{4}$.
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象位于第二象限,
∴$k＜0$.
∴$k=-\frac{1}{4}$.

6. [株洲天元区校级自主招生] 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,矩形$OABC$的边$OA,OC$分别在$x$轴和$y$轴上,$OA=6,OC=4$,点$Q$是$AB$边上一个动点,过点$Q$的反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$与$BC$边交于点$P$.若将$△ PBQ$沿$PQ$所在直线折叠,点$B$的对应点$E$恰好落在对角线$AC$上,求反比例函数的表达式.

∵四边形$OABC$是矩形,$OA=6$,$OC=4$,
∴$BC=OA=6$,$AB=OC=4$,
∴$B(6,4)$,
∴$P(\frac{k}{4},4)$,$Q(6,\frac{k}{6})$,
∴$PC=\frac{k}{4}$,$AQ=\frac{k}{6}$,
∴$PB=6-\frac{k}{4}$,$BQ=4-\frac{k}{6}$,
∴$\tan∠BQP=\frac{PB}{BQ}=\frac{6-\frac{k}{4}}{4-\frac{k}{6}}=\frac{3}{2}$.
∵$\tan∠BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$,
∴$\tan∠BQP=\tan∠BAC$,
∴$∠BQP=∠BAC$,
∴$PQ// AC$.
连结$BE$,交$PQ$于点$H$.
∵将$△PBQ$沿$PQ$所在直线折叠,点$B$的对应点$E$恰好落在对角线$AC$上,
∴$BH=EH$,
∴$AQ=BQ=2$,
∴$\frac{k}{6}=2$,
∴$k=12$,
∴反比例函数的表达式是$y=\frac{12}{x}$.

7. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,有一平行四边形$ABOC$,点$C$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$AB$与反比例函数图象相交于点$D$,连结$OD$,$CD$,$\sin∠ BOC=\frac{4}{5}$.
(1)若$OC=5$,求反比例函数的表达式;
(2)若四边形$ABOC$为菱形,$△ COD$的面积为$6$,求$OC$的长和点$A$的坐标.

(1)如图,过点$C$作$CE⊥OB$于点$E$.

∵$\sin∠BOC=\frac{CE}{OC}=\frac{4}{5}$,$OC=5$,
∴$CE=4$.
∴$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=3$.
∴点$C$的坐标为$(3,4)$.
∵点$C$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,
∴$k=3×4=12$.
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}(x＞0)$.
(2)
∵四边形$ABOC$是平行四边形,$△COD$的面积为6,
∴$S_{□ABOC}=2S_{△COD}=12$.
∵$\sin∠BOC=\frac{CE}{OC}=\frac{4}{5}$,
∴设$CE=4a$,$OC=5a$,
则$OE=\sqrt{(5a)^2-(4a)^2}=3a$.
∵平行四边形$ABOC$是菱形,
∴$AC=OB=OC=5a$,
∴$S_{□ABOC}=OB·CE=5a·4a=12$,
解得$a_1=\frac{\sqrt{15}}{5}$,$a_2=-\frac{\sqrt{15}}{5}$(舍去),
∴$OC=AC=\sqrt{15}$,$CE=\frac{4\sqrt{15}}{5}$,$OE=\frac{3\sqrt{15}}{5}$,
∴$OE+AC=\frac{3\sqrt{15}}{5}+\sqrt{15}=\frac{8\sqrt{15}}{5}$,
∴点$A$的坐标为$(\frac{8\sqrt{15}}{5},\frac{4\sqrt{15}}{5})$.

8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$∠ ABC=30°$.将$△ ABC$沿直线$BC$平移得到$△ A_1B_1C_1$,$B_1$为$BC$的中点,连结$BA_1$,则$\tan∠ A_1BC$的值为 ()

A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{5}$

如图,过点$A_1$作$A_1D⊥B_1C_1$于点$D$,设$AC=a$.
∵在$△ABC$中,$∠A=90°$,$∠ABC=30°$,
∴$BC=2AC=2a$,
∴$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{3}a$.
∵$B_1$为$BC$的中点,
∴$BB_1=a$.
∵将$△ABC$沿直线$BC$平移得到$△A_1B_1C_1$,
∴$∠B_1A_1C_1=∠A=90°$,$∠A_1B_1C_1=∠ABC=30°$,$A_1B_1=AB=\sqrt{3}a$,
∴$A_1D=\frac{1}{2}A_1B_1=\frac{\sqrt{3}}{2}a$,$B_1D=A_1B_1·\cos30°=\frac{3}{2}a$,
∴$BD=\frac{5}{2}a$,
∴$\tan∠A_1BC=\frac{A_1D}{BD}=\frac{\sqrt{3}}{5}$.

9.如图,点 P 在等边三角形 ABC 的内部,且 PC=3,PA=4,PB=5,将线段 PC 绕点 C 按顺时针方向旋转 $60°$ 得到 $P'C$,连结 $AP'$,则 $\sin∠ PAP'$ 的值为.

连结$PP'$,如图.
∵线段$PC$绕点$C$顺时针旋转$60°$得到$P'C$,
∴$CP'=CP=3$,$∠PCP'=60°$,
∴$△CPP'$为等边三角形,
∴$PP'=PC=3$.
∵$△ABC$为等边三角形,
∴$CB=CA$,$∠ACB=60°$,
∴$∠PCB=∠P'CA$,
∴$△PCB≌△P'CA$,
∴$PB=P'A=5$.
∵$3^2+4^2=5^2$,
∴$PP'^2+AP^2=P'A^2$,
∴$△APP'$为直角三角形,且$∠APP'=90°$,
∴$\sin∠PAP'=\frac{PP'}{AP'}=\frac{3}{5}$.