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10.若$(-5a^{m+1}b^{2n-1})·(2a^n b^m)=-10a^4b^4$，则$m-n$等于（
A.$-1$
B.$-3$
C.$1$
D.$3$
A
）A.$-1$
B.$-3$
C.$1$
D.$3$
答案
10.A
解析
【分析】
这道题需要利用单项式乘单项式的运算法则化简等式左边，再根据等式两边相同底数的幂的指数相等，建立关于m、n的二元一次方程组，解出m、n的值后就能计算m-n的结果。具体思考步骤：第一步先回忆单项式乘法规则，系数相乘，同底数幂的指数分别相加；第二步对比等式左右两边a和b的指数，得到两个方程；第三步解方程组求出m、n，最后代入计算即可。
【解析】
首先根据单项式乘单项式、同底数幂相乘的法则化简等式左侧：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此：
$\begin{aligned}左边&=(-5×2)· a^{(m+1)+n}· b^{(2n-1)+m}\\&=-10a^{m+n+1}b^{m+2n-1}\end{aligned}$
已知左边$=-10a^4b^4$，等式两边系数相等，因此相同底数的指数对应相等，可列方程组：
$\begin{cases}m + n + 1 = 4\\m + 2n - 1 = 4\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}m + n = 3 \quad ①\\m + 2n = 5 \quad ②\end{cases}$
用②式减去①式得：$n=2$，将$n=2$代入①式得$m=1$。
因此$m-n=1-2=-1$。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；二元一次方程组解法
【点评】
本题是整式乘法的常规基础题，解题核心是利用单项式乘法法则化简后，根据相同字母指数相等建立方程求解参数，掌握运算法则是得分关键。
【难度系数】
0.7
这道题需要利用单项式乘单项式的运算法则化简等式左边，再根据等式两边相同底数的幂的指数相等，建立关于m、n的二元一次方程组，解出m、n的值后就能计算m-n的结果。具体思考步骤：第一步先回忆单项式乘法规则，系数相乘，同底数幂的指数分别相加；第二步对比等式左右两边a和b的指数，得到两个方程；第三步解方程组求出m、n，最后代入计算即可。
【解析】
首先根据单项式乘单项式、同底数幂相乘的法则化简等式左侧：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此：
$\begin{aligned}左边&=(-5×2)· a^{(m+1)+n}· b^{(2n-1)+m}\\&=-10a^{m+n+1}b^{m+2n-1}\end{aligned}$
已知左边$=-10a^4b^4$，等式两边系数相等，因此相同底数的指数对应相等，可列方程组：
$\begin{cases}m + n + 1 = 4\\m + 2n - 1 = 4\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}m + n = 3 \quad ①\\m + 2n = 5 \quad ②\end{cases}$
用②式减去①式得：$n=2$，将$n=2$代入①式得$m=1$。
因此$m-n=1-2=-1$。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法；二元一次方程组解法
【点评】
本题是整式乘法的常规基础题，解题核心是利用单项式乘法法则化简后，根据相同字母指数相等建立方程求解参数，掌握运算法则是得分关键。
【难度系数】
0.7
11.(1)已知单项式$9a^{n+2}b^{m}$与$-2a^{3m-1}b^{5-n}$的差仍是一个单项式，则这两个单项式的积是
(2)一个长方体的长为$2×10^{3}\ \mathrm{cm}$，宽为$8×10^{2}\ \mathrm{cm}$，高为$4×10^{2}\ \mathrm{cm}$，则它的体积是
$-18a^{10}b^4$
；(2)一个长方体的长为$2×10^{3}\ \mathrm{cm}$，宽为$8×10^{2}\ \mathrm{cm}$，高为$4×10^{2}\ \mathrm{cm}$，则它的体积是
$6.4×10^8$
$\mathrm{cm}^3$（用科学记数法表示）。答案
11.(1)$-18a^{10}b^4$ (2)$6.4×10^8$
解析
【分析】
(1) 两个单项式的差仍是单项式，说明二者是同类项，同类项要求相同字母的指数分别相等，据此可列方程求出m、n的值，再按单项式乘单项式的法则计算乘积即可。(2) 长方体体积=长×宽×高，代入数值后结合单项式乘法法则、同底数幂的乘法性质计算，最后将结果整理为符合要求的科学记数法形式即可。
【解析】
(1) 由题意可知$9a^{n+2}b^{m}$与$-2a^{3m-1}b^{5-n}$是同类项，因此可得方程组：
$\begin{cases}n+2=3m-1 \\ m=5-n \end{cases}$
将$m=5-n$代入$n+2=3m-1$得：
$n+2=3(5-n)-1$
解得$n=3$，则$m=5-3=2$
两个单项式分别为$9a^5b^2$和$-2a^5b^2$，二者的积为：
$9a^5b^2×(-2a^5b^2)=9×(-2)· a^{5+5}· b^{2+2}=-18a^{10}b^4$
(2) 长方体体积$V=$长×宽×高，代入数据得：
$\begin{aligned}V&=(2×10^3)×(8×10^2)×(4×10^2)\\&=(2×8×4)×(10^3×10^2×10^2)\\&=64×10^7\\&=6.4×10^8\ \mathrm{cm}^3\end{aligned}$
【答案】
(1)$-18a^{10}b^4$；(2)$6.4×10^8$
【知识点】
同类项的定义；单项式乘单项式；科学记数法
【点评】
本题属于整式乘法的基础应用题型，第一问需先通过同类项的特征求出未知参数再计算，第二问结合几何公式考查科学记数法的运算，解题时要注意同底数幂乘法法则的正确使用，最终科学记数法的结果要满足1≤a＜10的要求。
【难度系数】
0.75
(1) 两个单项式的差仍是单项式，说明二者是同类项，同类项要求相同字母的指数分别相等，据此可列方程求出m、n的值，再按单项式乘单项式的法则计算乘积即可。(2) 长方体体积=长×宽×高，代入数值后结合单项式乘法法则、同底数幂的乘法性质计算，最后将结果整理为符合要求的科学记数法形式即可。
【解析】
(1) 由题意可知$9a^{n+2}b^{m}$与$-2a^{3m-1}b^{5-n}$是同类项，因此可得方程组：
$\begin{cases}n+2=3m-1 \\ m=5-n \end{cases}$
将$m=5-n$代入$n+2=3m-1$得：
$n+2=3(5-n)-1$
解得$n=3$，则$m=5-3=2$
两个单项式分别为$9a^5b^2$和$-2a^5b^2$，二者的积为：
$9a^5b^2×(-2a^5b^2)=9×(-2)· a^{5+5}· b^{2+2}=-18a^{10}b^4$
(2) 长方体体积$V=$长×宽×高，代入数据得：
$\begin{aligned}V&=(2×10^3)×(8×10^2)×(4×10^2)\\&=(2×8×4)×(10^3×10^2×10^2)\\&=64×10^7\\&=6.4×10^8\ \mathrm{cm}^3\end{aligned}$
【答案】
(1)$-18a^{10}b^4$；(2)$6.4×10^8$
【知识点】
同类项的定义；单项式乘单项式；科学记数法
【点评】
本题属于整式乘法的基础应用题型，第一问需先通过同类项的特征求出未知参数再计算，第二问结合几何公式考查科学记数法的运算，解题时要注意同底数幂乘法法则的正确使用，最终科学记数法的结果要满足1≤a＜10的要求。
【难度系数】
0.75
12.计算：
(1)$2(x^3)^2 · x^3 - (3x^3)^3 + (5x)^2 · x^7$；
(2)$-(a^2b)^3 + 2a^2b(-3a^2b)^2$。
(1)$2(x^3)^2 · x^3 - (3x^3)^3 + (5x)^2 · x^7$；
(2)$-(a^2b)^3 + 2a^2b(-3a^2b)^2$。
答案
12.(1)0 (2)$17a^6b^3$
解析
【分析】
这两道题均为整式的混合运算，解题时遵循“先乘方，再乘除，最后合并同类项”的运算顺序即可：第一步先根据幂的乘方、积的乘方法则计算所有乘方项，注意符号的判断；第二步根据同底数幂的乘法法则计算乘法项，注意指数是相加而非相乘；最后合并同类项，仅将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。
【解析】
(1) 计算$2(x^3)^2 · x^3 - (3x^3)^3 + (5x)^2 · x^7$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2x^{6}·x^3 - 3^3·x^9 + 5^2·x^2·x^7 \quad \mathrm{（先算幂的乘方、积的乘方）}\\&=2x^{9} - 27x^9 + 25x^9 \quad \mathrm{（再算同底数幂的乘法）}\\&=(2-27+25)x^9 \quad \mathrm{（最后合并同类项）}\\&=0\end{aligned}$
(2) 计算$-(a^2b)^3 + 2a^2b(-3a^2b)^2$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-a^{6}b^3 + 2a^2b·(-3)^2·a^4b^2 \quad \mathrm{（先算积的乘方）}\\&=-a^6b^3 + 2a^2b·9a^4b^2\\&=-a^6b^3 + 18a^6b^3 \quad \mathrm{（再算单项式乘单项式）}\\&=17a^6b^3 \quad \mathrm{（最后合并同类项）}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$；(2) $\boldsymbol{17a^6b^3}$
【知识点】
幂的运算性质；单项式乘单项式；合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础练习题，核心考查幂的相关运算法则的应用，以及整式混合运算的顺序，运算时需注意负号对乘方结果的影响，避免因符号错误或指数计算失误失分。
【难度系数】
0.8
这两道题均为整式的混合运算，解题时遵循“先乘方，再乘除，最后合并同类项”的运算顺序即可：第一步先根据幂的乘方、积的乘方法则计算所有乘方项，注意符号的判断；第二步根据同底数幂的乘法法则计算乘法项，注意指数是相加而非相乘；最后合并同类项，仅将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。
【解析】
(1) 计算$2(x^3)^2 · x^3 - (3x^3)^3 + (5x)^2 · x^7$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2x^{6}·x^3 - 3^3·x^9 + 5^2·x^2·x^7 \quad \mathrm{（先算幂的乘方、积的乘方）}\\&=2x^{9} - 27x^9 + 25x^9 \quad \mathrm{（再算同底数幂的乘法）}\\&=(2-27+25)x^9 \quad \mathrm{（最后合并同类项）}\\&=0\end{aligned}$
(2) 计算$-(a^2b)^3 + 2a^2b(-3a^2b)^2$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-a^{6}b^3 + 2a^2b·(-3)^2·a^4b^2 \quad \mathrm{（先算积的乘方）}\\&=-a^6b^3 + 2a^2b·9a^4b^2\\&=-a^6b^3 + 18a^6b^3 \quad \mathrm{（再算单项式乘单项式）}\\&=17a^6b^3 \quad \mathrm{（最后合并同类项）}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{0}$；(2) $\boldsymbol{17a^6b^3}$
【知识点】
幂的运算性质；单项式乘单项式；合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础练习题，核心考查幂的相关运算法则的应用，以及整式混合运算的顺序，运算时需注意负号对乘方结果的影响，避免因符号错误或指数计算失误失分。
【难度系数】
0.8
13.先化简,再求值:$\frac{32}{9}x^3y^4 · (-\frac{3}{4}x^2y)^2 - (-\frac{1}{4}x^3y)^2 · 16xy^4$,其中$x=0.4$,$y=-2.5$.
答案
13.原式$=x^7y^6=\frac{2}{5}$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题需遵循整式混合运算顺序：第一步先算乘方，运用积的乘方法则计算两个平方项；第二步再算乘法，按照单项式乘单项式的法则计算两个乘积项；第三步合并同类项得到最简整式；最后代入数值计算，代入时可利用幂的运算性质巧算，降低运算难度。
【解析】
解：先计算乘方项：
$(-\frac{3}{4}x^2y)^2 = (\frac{3}{4})^2 · (x^2)^2 · y^2 = \frac{9}{16}x^4y^2$
$(-\frac{1}{4}x^3y)^2 = (\frac{1}{4})^2 · (x^3)^2 · y^2 = \frac{1}{16}x^6y^2$
再计算单项式乘法：
$\frac{32}{9}x^3y^4 · \frac{9}{16}x^4y^2 = (\frac{32}{9} × \frac{9}{16}) · x^{3+4} · y^{4+2} = 2x^7y^6$
$\frac{1}{16}x^6y^2 · 16xy^4 = (\frac{1}{16} × 16) · x^{6+1} · y^{2+4} = x^7y^6$
合并同类项化简：
原式$=2x^7y^6 - x^7y^6 = x^7y^6$
代入$x=0.4$，$y=-2.5$计算：
$xy=0.4 × (-2.5) = -1$
$x^7y^6 = x · (xy)^6 = 0.4 × (-1)^6 = 0.4 × 1 = \frac{2}{5}$
【答案】
化简结果为$x^7y^6$，求值结果为$\frac{2}{5}$
【知识点】
积的乘方运算，单项式乘单项式，整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式混合运算的规则，解题时需注意运算顺序和幂运算中指数的变化规律，代入求值时灵活运用积的乘方的逆运算可大幅简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
这是一道整式化简求值题，解题需遵循整式混合运算顺序：第一步先算乘方，运用积的乘方法则计算两个平方项；第二步再算乘法，按照单项式乘单项式的法则计算两个乘积项；第三步合并同类项得到最简整式；最后代入数值计算，代入时可利用幂的运算性质巧算，降低运算难度。
【解析】
解：先计算乘方项：
$(-\frac{3}{4}x^2y)^2 = (\frac{3}{4})^2 · (x^2)^2 · y^2 = \frac{9}{16}x^4y^2$
$(-\frac{1}{4}x^3y)^2 = (\frac{1}{4})^2 · (x^3)^2 · y^2 = \frac{1}{16}x^6y^2$
再计算单项式乘法：
$\frac{32}{9}x^3y^4 · \frac{9}{16}x^4y^2 = (\frac{32}{9} × \frac{9}{16}) · x^{3+4} · y^{4+2} = 2x^7y^6$
$\frac{1}{16}x^6y^2 · 16xy^4 = (\frac{1}{16} × 16) · x^{6+1} · y^{2+4} = x^7y^6$
合并同类项化简：
原式$=2x^7y^6 - x^7y^6 = x^7y^6$
代入$x=0.4$，$y=-2.5$计算：
$xy=0.4 × (-2.5) = -1$
$x^7y^6 = x · (xy)^6 = 0.4 × (-1)^6 = 0.4 × 1 = \frac{2}{5}$
【答案】
化简结果为$x^7y^6$，求值结果为$\frac{2}{5}$
【知识点】
积的乘方运算，单项式乘单项式，整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式混合运算的规则，解题时需注意运算顺序和幂运算中指数的变化规律，代入求值时灵活运用积的乘方的逆运算可大幅简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
14.如果三角形
表示$3xyz$，方框$\begin{array}{cc} a&c \\ b&d \end{array}$表示$-2a^{b}c^{d}$，当$m=-2,n=\frac{1}{3}$时，求
$× \begin{array}{cc} n&m \\ 2&3 \end{array}$的值。
表示$3xyz$，方框$\begin{array}{cc} a&c \\ b&d \end{array}$表示$-2a^{b}c^{d}$，当$m=-2,n=\frac{1}{3}$时，求$× \begin{array}{cc} n&m \\ 2&3 \end{array}$的值。答案
14.原式$=-12m^4n^3=-\frac{64}{9}$
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题思路分三步：1. 先读懂自定义运算规则：三角形表示3乘内部三个字符的乘积，二阶方框中左上为a、左下为b、右上为c、右下为d，对应代数式为$-2a^bc^d$；2. 分别写出两个图形对应的代数式，再按照单项式乘单项式的法则计算乘积、合并化简；3. 将$m=-2$、$n=\frac{1}{3}$代入化简后的式子计算结果，计算时注意幂的符号和运算顺序。
【解析】
解：根据新定义规则：
1. 插图2的三角形对应代数式为$3×2× m× n=6mn$
2. 方框$\begin{array}{cc} n&m \\ 2&3 \end{array}$对应代数式为$-2n^2m^3$
两者相乘计算得：
$\begin{aligned}原式&=6mn·(-2n^2m^3)\\&=[6×(-2)]·(m· m^3)·(n· n^2)\\&=-12m^4n^3\end{aligned}$
将$m=-2$，$n=\frac{1}{3}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=-12×(-2)^4×(\frac{1}{3})^3\\&=-12×16×\frac{1}{27}\\&=-\frac{192}{27}\\&=-\frac{64}{9}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{64}{9}$
【知识点】
新定义运算、单项式乘法、代数式求值
【点评】
本题考查对新定义运算的理解能力和整式乘法的计算能力，解题核心是准确对应新定义中图形各位置的运算规则，计算时要注意同底数幂的运算规律和符号处理，避免因看错对应位置或计算粗心出错。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义运算类题目，解题思路分三步：1. 先读懂自定义运算规则：三角形表示3乘内部三个字符的乘积，二阶方框中左上为a、左下为b、右上为c、右下为d，对应代数式为$-2a^bc^d$；2. 分别写出两个图形对应的代数式，再按照单项式乘单项式的法则计算乘积、合并化简；3. 将$m=-2$、$n=\frac{1}{3}$代入化简后的式子计算结果，计算时注意幂的符号和运算顺序。
【解析】
解：根据新定义规则：
1. 插图2的三角形对应代数式为$3×2× m× n=6mn$
2. 方框$\begin{array}{cc} n&m \\ 2&3 \end{array}$对应代数式为$-2n^2m^3$
两者相乘计算得：
$\begin{aligned}原式&=6mn·(-2n^2m^3)\\&=[6×(-2)]·(m· m^3)·(n· n^2)\\&=-12m^4n^3\end{aligned}$
将$m=-2$，$n=\frac{1}{3}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=-12×(-2)^4×(\frac{1}{3})^3\\&=-12×16×\frac{1}{27}\\&=-\frac{192}{27}\\&=-\frac{64}{9}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{64}{9}$
【知识点】
新定义运算、单项式乘法、代数式求值
【点评】
本题考查对新定义运算的理解能力和整式乘法的计算能力，解题核心是准确对应新定义中图形各位置的运算规则，计算时要注意同底数幂的运算规律和符号处理，避免因看错对应位置或计算粗心出错。
【难度系数】
0.7
