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1. 如图,在$△ ABC$中,D,E分别是边AB,AC上的点,且$DE// BC$,若$\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$,则$\frac{AC}{CE}=$ (
A.$\frac{9}{4}$
B.$5$
C.$\frac{5}{4}$
D.$\frac{9}{5}$
（第1题）
B
)A.$\frac{9}{4}$
B.$5$
C.$\frac{5}{4}$
D.$\frac{9}{5}$
（第1题）答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先根据已知条件$DE// BC$，可判定$△ ADE$与$△ ABC$相似，利用相似三角形对应边成比例得到$AE$与$AC$的比值，再通过线段的和差关系表示出$CE$的长度，最后代入计算即可求出$\frac{AC}{CE}$的比值。具体步骤为：第一步由平行线推导三角形相似；第二步利用相似性质得到对应边比例；第三步设参数表示各线段长度，计算$CE$的长度；第四步求目标比值。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
∴$△ ADE ∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$。
设$AE=4k$（$k≠0$），则$AC=5k$，
∴$CE=AC-AE=5k-4k=k$，
∴$\frac{AC}{CE}=\frac{5k}{k}=5$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、比例计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用类题目，核心考查由平行线推导三角形相似的判定方法，以及相似三角形对应边成比例的性质，掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先根据已知条件$DE// BC$，可判定$△ ADE$与$△ ABC$相似，利用相似三角形对应边成比例得到$AE$与$AC$的比值，再通过线段的和差关系表示出$CE$的长度，最后代入计算即可求出$\frac{AC}{CE}$的比值。具体步骤为：第一步由平行线推导三角形相似；第二步利用相似性质得到对应边比例；第三步设参数表示各线段长度，计算$CE$的长度；第四步求目标比值。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
∴$△ ADE ∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$。
设$AE=4k$（$k≠0$），则$AC=5k$，
∴$CE=AC-AE=5k-4k=k$，
∴$\frac{AC}{CE}=\frac{5k}{k}=5$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、比例计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用类题目，核心考查由平行线推导三角形相似的判定方法，以及相似三角形对应边成比例的性质，掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
2.如图，点G是$△ ABC$的重心，过G作$GE// BC$，交AB于E，则$GE:BC$的值为
$\frac{1}{3}$
.答案
2.$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形重心的性质：重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。接着我们作辅助线：连接AG并延长交BC于点D，可知D是BC的中点，可得到AG与AD的比例关系。再根据GE//BC，可判定△AEG与△ABD相似，利用相似三角形对应边成比例，结合BD是BC的一半，即可求出GE与BC的比值。
【解析】
解：连接AG并延长，交BC于点D。
∵ 点G是△ABC的重心，
∴ AD是BC边上的中线，且$AG:GD=2:1$，$BD=\frac{1}{2}BC$，
∴ $AG:AD=2:(2+1)=2:3$。
∵ $GE//BC$，
∴ $∠ AEG=∠ ABD$，$∠ AGE=∠ ADB$（两直线平行，同位角相等），
∴ $△ AEG ∽ △ ABD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴ $\frac{GE}{BD}=\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$，
∴ $GE=\frac{2}{3}BD=\frac{2}{3} × \frac{1}{2}BC=\frac{1}{3}BC$，
∴ $GE:BC=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是结合重心性质和相似三角形的性质求解，解题关键是正确作出辅助线，梳理清楚各线段之间的比例关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形重心的性质：重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。接着我们作辅助线：连接AG并延长交BC于点D，可知D是BC的中点，可得到AG与AD的比例关系。再根据GE//BC，可判定△AEG与△ABD相似，利用相似三角形对应边成比例，结合BD是BC的一半，即可求出GE与BC的比值。
【解析】
解：连接AG并延长，交BC于点D。
∵ 点G是△ABC的重心，
∴ AD是BC边上的中线，且$AG:GD=2:1$，$BD=\frac{1}{2}BC$，
∴ $AG:AD=2:(2+1)=2:3$。
∵ $GE//BC$，
∴ $∠ AEG=∠ ABD$，$∠ AGE=∠ ADB$（两直线平行，同位角相等），
∴ $△ AEG ∽ △ ABD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴ $\frac{GE}{BD}=\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$，
∴ $GE=\frac{2}{3}BD=\frac{2}{3} × \frac{1}{2}BC=\frac{1}{3}BC$，
∴ $GE:BC=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是结合重心性质和相似三角形的性质求解，解题关键是正确作出辅助线，梳理清楚各线段之间的比例关系。
【难度系数】
0.7
3.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端分别在CB，CD上滑动，那么当CM=
$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
时，△ADE与△MNC相似.答案
3.$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
首先根据正方形性质和已知边长求出Rt△ADE的各边长度，AD=2，AE=1，DE=√5。由于△MNC也是直角三角形（∠C=90°），两个直角三角形相似时直角对应相等，但其余两组角的对应关系不唯一，因此需要分两种情况讨论对应边的比例关系，再结合相似三角形的性质列方程求解CM的长度。
【解析】
∵ 正方形ABCD边长为2，∠A=∠C=90°，AE=EB
∴ AE=$\frac{1}{2}$AB=1
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
设$CM=x$，在Rt△MNC中，MN=1，由勾股定理得$CN=\sqrt{1-x^2}$
△ADE与△MNC相似分两种情况：
1. 当$△ ADE ∽ △ CMN$时，对应边成比例：
$\frac{AD}{CM}=\frac{DE}{MN}$
代入得$\frac{2}{x}=\frac{\sqrt{5}}{1}$，解得$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，经检验符合题意；
2. 当$△ ADE ∽ △ CNM$时，对应边成比例：
$\frac{AE}{CM}=\frac{DE}{MN}$
代入得$\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{5}}{1}$，解得$x=\frac{\sqrt{5}}{5}$，经检验符合题意。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题解题关键是明确直角三角形相似时要分类讨论对应边的关系，避免漏解，同时需熟练结合勾股定理和相似三角形的比例关系列方程求解。
【难度系数】
0.6
首先根据正方形性质和已知边长求出Rt△ADE的各边长度，AD=2，AE=1，DE=√5。由于△MNC也是直角三角形（∠C=90°），两个直角三角形相似时直角对应相等，但其余两组角的对应关系不唯一，因此需要分两种情况讨论对应边的比例关系，再结合相似三角形的性质列方程求解CM的长度。
【解析】
∵ 正方形ABCD边长为2，∠A=∠C=90°，AE=EB
∴ AE=$\frac{1}{2}$AB=1
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
设$CM=x$，在Rt△MNC中，MN=1，由勾股定理得$CN=\sqrt{1-x^2}$
△ADE与△MNC相似分两种情况：
1. 当$△ ADE ∽ △ CMN$时，对应边成比例：
$\frac{AD}{CM}=\frac{DE}{MN}$
代入得$\frac{2}{x}=\frac{\sqrt{5}}{1}$，解得$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，经检验符合题意；
2. 当$△ ADE ∽ △ CNM$时，对应边成比例：
$\frac{AE}{CM}=\frac{DE}{MN}$
代入得$\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{5}}{1}$，解得$x=\frac{\sqrt{5}}{5}$，经检验符合题意。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题解题关键是明确直角三角形相似时要分类讨论对应边的关系，避免漏解，同时需熟练结合勾股定理和相似三角形的比例关系列方程求解。
【难度系数】
0.6
4.如图,在$\odot O$中,弦AC与BD交于E,AB=6,AE=8,DE=6,求CD的长.
答案
4.$CD=\frac{9}{2}$
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，圆内两条弦相交形成两个三角形，可利用圆周角性质找相等的角，证明两个三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出CD的长度。具体步骤为：1.找同弧所对的相等圆周角；2.证明△ABE与△DCE相似；3.列比例式计算CD。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角为$∠ BAE$和$∠ CDE$，$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角为$∠ ABE$和$∠ DCE$，
∴$∠ BAE=∠ CDE$，$∠ ABE=∠ DCE$，
∴$△ ABE ∽ △ DCE$，
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{AE}{DE}$，
将$AB=6$，$AE=8$，$DE=6$代入得：
$\frac{6}{CD}=\frac{8}{6}$，
解得$CD=\frac{6×6}{8}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}$。
【答案】
$CD=\frac{9}{2}$
【知识点】
圆周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是圆与相似三角形结合的基础题型，解题的核心是利用同弧所对圆周角相等得到相似所需的等角，再通过相似三角形边的比例关系求解未知边长，掌握基础定理就能快速解题。
【难度系数】
0.75
解题时首先观察图形特征，圆内两条弦相交形成两个三角形，可利用圆周角性质找相等的角，证明两个三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出CD的长度。具体步骤为：1.找同弧所对的相等圆周角；2.证明△ABE与△DCE相似；3.列比例式计算CD。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角为$∠ BAE$和$∠ CDE$，$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角为$∠ ABE$和$∠ DCE$，
∴$∠ BAE=∠ CDE$，$∠ ABE=∠ DCE$，
∴$△ ABE ∽ △ DCE$，
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{AE}{DE}$，
将$AB=6$，$AE=8$，$DE=6$代入得：
$\frac{6}{CD}=\frac{8}{6}$，
解得$CD=\frac{6×6}{8}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}$。
【答案】
$CD=\frac{9}{2}$
【知识点】
圆周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是圆与相似三角形结合的基础题型，解题的核心是利用同弧所对圆周角相等得到相似所需的等角，再通过相似三角形边的比例关系求解未知边长，掌握基础定理就能快速解题。
【难度系数】
0.75
5.如图，$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$，$AD$，$A'D'$分别是边$BC$，$B'C'$上的中线。
求证：$\frac{AD}{A'D'}=k$。
求证：$\frac{AD}{A'D'}=k$。
答案
证明：
∵ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$
∴ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k$，$∠ B = ∠ B'$
∵ $AD$，$A'D'$分别是边$BC$，$B'C'$上的中线
∴ $BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$
∴ $\frac{BD}{B'D'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k$
∴ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}=k$，又$∠ B = ∠ B'$
∴ $△ ABD ∽ △ A'B'D'$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$
∵ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$
∴ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k$，$∠ B = ∠ B'$
∵ $AD$，$A'D'$分别是边$BC$，$B'C'$上的中线
∴ $BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$
∴ $\frac{BD}{B'D'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k$
∴ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}=k$，又$∠ B = ∠ B'$
∴ $△ ABD ∽ △ A'B'D'$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$
解析
【分析】
要证明相似三角形对应中线的比等于相似比，首先可利用已知的$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，得到对应边成比例、对应角$∠ B=∠ B'$；再结合中线的定义，推导得出$BD$与$B'D'$的比等于$BC$与$B'C'$的比，即等于相似比$k$；由此可得$△ ABD$和$△ A'B'D'$的两边对应成比例且夹角相等，可判定两三角形相似；最后根据相似三角形对应边成比例，即可证得$\frac{AD}{A'D'}=k$。
【解析】
证明：
$\because △ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$
$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k$，$∠ B = ∠ B'$
$\because AD$，$A'D'$分别是边$BC$，$B'C'$上的中线
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$
$\therefore \frac{BD}{B'D'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k$
$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}=k$，又$∠ B = ∠ B'$
$\therefore △ ABD ∽ △ A'B'D'$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$
【答案】
$\frac{AD}{A'D'}=k$
【知识点】
相似三角形的性质；相似三角形的判定；三角形中线的定义
【点评】
本题是相似三角形相关性质的基础推导题，解题关键是利用已知的相似关系和中线的性质构造出新的相似三角形，将待证线段的比例关系转化为已知的相似比，是探究相似三角形对应线段比例规律的典型习题。
【难度系数】
0.8
要证明相似三角形对应中线的比等于相似比，首先可利用已知的$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，得到对应边成比例、对应角$∠ B=∠ B'$；再结合中线的定义，推导得出$BD$与$B'D'$的比等于$BC$与$B'C'$的比，即等于相似比$k$；由此可得$△ ABD$和$△ A'B'D'$的两边对应成比例且夹角相等，可判定两三角形相似；最后根据相似三角形对应边成比例，即可证得$\frac{AD}{A'D'}=k$。
【解析】
证明：
$\because △ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$
$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k$，$∠ B = ∠ B'$
$\because AD$，$A'D'$分别是边$BC$，$B'C'$上的中线
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$
$\therefore \frac{BD}{B'D'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k$
$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}=k$，又$∠ B = ∠ B'$
$\therefore △ ABD ∽ △ A'B'D'$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$
【答案】
$\frac{AD}{A'D'}=k$
【知识点】
相似三角形的性质；相似三角形的判定；三角形中线的定义
【点评】
本题是相似三角形相关性质的基础推导题，解题关键是利用已知的相似关系和中线的性质构造出新的相似三角形，将待证线段的比例关系转化为已知的相似比，是探究相似三角形对应线段比例规律的典型习题。
【难度系数】
0.8
