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6. 如图，$∠ 1=∠ 2$，添加下列条件，仍无法判定$△ ABC ∽ △ ADE$的是 （
A.$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$
B.$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{DE}$
C.$∠ B=∠ D$
D.$∠ C=∠ AED$
B
）A.$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$
B.$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{DE}$
C.$∠ B=∠ D$
D.$∠ C=∠ AED$
答案
6. B
解析
【分析】
首先由已知∠1=∠2，结合角的和差性质，可推出两个三角形的一组对应角∠BAC=∠DAE。此时要判定△ABC∽△ADE，可依据相似三角形的判定定理：要么再找到一组对应角相等（AA判定），要么找到相等角的两组夹边对应成比例（SAS判定）。接下来逐一对选项的条件进行验证，判断是否符合上述判定规则即可。
【解析】
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠BAC=∠DAE。
对各选项逐一分析：
A选项：若$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$，此时相等的∠BAC和∠DAE的两组夹边对应成比例，符合两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
B选项：若$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{DE}$，此时BC、DE不是相等角的夹边，属于两边对应成比例但相等的角不是夹角的情况，没有对应的相似判定定理支持，无法判定△ABC∽△ADE，符合题意；
C选项：若∠B=∠D，此时有两组对应角相等（∠BAC=∠DAE，∠B=∠D），符合两角对应相等的相似判定定理，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
D选项：若∠C=∠AED，此时有两组对应角相等（∠BAC=∠DAE，∠C=∠AED），符合两角对应相等的相似判定定理，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、角的和差运算
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题的关键是先推导得到一组公共等角，再结合选项条件对照判定规则验证，需要特别注意“两边成比例且夹角相等”的判定中，相等的角必须是两组成比例边的夹角，不可误用非夹角的情况。
【难度系数】
0.7
首先由已知∠1=∠2，结合角的和差性质，可推出两个三角形的一组对应角∠BAC=∠DAE。此时要判定△ABC∽△ADE，可依据相似三角形的判定定理：要么再找到一组对应角相等（AA判定），要么找到相等角的两组夹边对应成比例（SAS判定）。接下来逐一对选项的条件进行验证，判断是否符合上述判定规则即可。
【解析】
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠BAC=∠DAE。
对各选项逐一分析：
A选项：若$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$，此时相等的∠BAC和∠DAE的两组夹边对应成比例，符合两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
B选项：若$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{DE}$，此时BC、DE不是相等角的夹边，属于两边对应成比例但相等的角不是夹角的情况，没有对应的相似判定定理支持，无法判定△ABC∽△ADE，符合题意；
C选项：若∠B=∠D，此时有两组对应角相等（∠BAC=∠DAE，∠B=∠D），符合两角对应相等的相似判定定理，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
D选项：若∠C=∠AED，此时有两组对应角相等（∠BAC=∠DAE，∠C=∠AED），符合两角对应相等的相似判定定理，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、角的和差运算
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题的关键是先推导得到一组公共等角，再结合选项条件对照判定规则验证，需要特别注意“两边成比例且夹角相等”的判定中，相等的角必须是两组成比例边的夹角，不可误用非夹角的情况。
【难度系数】
0.7
7.如图,在△ABC中,点P是AB上一点,连结CP.要使△ACP∽△ABC,只需添加条件
（第7题）
$∠ B=∠ ACP$或$∠ ACB=∠ APC$或$AC^2=AP·AB$
。（第6题）（第7题）答案
7. $∠ B=∠ ACP$或$∠ ACB=∠ APC$或$AC^2=AP·AB$
解析
【分析】
要判定△ACP∽△ABC，首先观察两个三角形的公共元素：∠A是△ACP和△ABC的公共角，即已经有一组角对应相等。接下来结合相似三角形的判定定理推导需添加的条件：若用“两角分别相等的两个三角形相似”判定，只需再补充一组对应角相等即可；若用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定，只需补充夹公共角∠A的两组边对应成比例，将比例式变形即可得到乘积式条件，由此就能得到所有符合要求的添加条件。
【解析】
已知△ACP和△ABC有公共角∠A，即∠A=∠A，分两类推导添加条件：
1. 依据“两角分别相等的两个三角形相似”：
添加∠B=∠ACP，此时∠A=∠A，∠B=∠ACP，可证△ACP∽△ABC；
也可添加∠ACB=∠APC，此时∠A=∠A，∠APC=∠ACB，可证△ACP∽△ABC。
2. 依据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”：
夹∠A的边在△ACP中为AP、AC，在△ABC中为AC、AB，需满足比例关系$\frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AB}$，交叉相乘变形得$AC^2=AP·AB$，此时可证△ACP∽△ABC。
【答案】
$∠ B=∠ ACP$（或$∠ ACB=∠ APC$或$AC^2=AP·AB$，填一个即可）
【知识点】
三角形相似的判定、比例的基本性质、公共角的性质
【点评】
本题是开放型基础题，考查相似三角形判定定理的灵活运用，解题的关键是先确定两个三角形共有的相等角，再结合判定定理补充对应条件，需要熟练掌握相似三角形的不同判定方法避免漏解。
【难度系数】
0.8
要判定△ACP∽△ABC，首先观察两个三角形的公共元素：∠A是△ACP和△ABC的公共角，即已经有一组角对应相等。接下来结合相似三角形的判定定理推导需添加的条件：若用“两角分别相等的两个三角形相似”判定，只需再补充一组对应角相等即可；若用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定，只需补充夹公共角∠A的两组边对应成比例，将比例式变形即可得到乘积式条件，由此就能得到所有符合要求的添加条件。
【解析】
已知△ACP和△ABC有公共角∠A，即∠A=∠A，分两类推导添加条件：
1. 依据“两角分别相等的两个三角形相似”：
添加∠B=∠ACP，此时∠A=∠A，∠B=∠ACP，可证△ACP∽△ABC；
也可添加∠ACB=∠APC，此时∠A=∠A，∠APC=∠ACB，可证△ACP∽△ABC。
2. 依据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”：
夹∠A的边在△ACP中为AP、AC，在△ABC中为AC、AB，需满足比例关系$\frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AB}$，交叉相乘变形得$AC^2=AP·AB$，此时可证△ACP∽△ABC。
【答案】
$∠ B=∠ ACP$（或$∠ ACB=∠ APC$或$AC^2=AP·AB$，填一个即可）
【知识点】
三角形相似的判定、比例的基本性质、公共角的性质
【点评】
本题是开放型基础题，考查相似三角形判定定理的灵活运用，解题的关键是先确定两个三角形共有的相等角，再结合判定定理补充对应条件，需要熟练掌握相似三角形的不同判定方法避免漏解。
【难度系数】
0.8
▲8. 如图，已知$∠ BAD=∠ CAE$，$AB· AE=AD· AC$. 求证：$∠ C=∠ E$. 
（第8题）
（第8题）答案
证明：
∵ ∠BAD = ∠CAE，
∴ ∠BAD + ∠DAC = ∠CAE + ∠DAC，
即 ∠BAC = ∠DAE。
∵ AB·AE = AD·AC，
∴ $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$。
在△BAC和△DAE中，
$\{\begin{array}{l}\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} \\∠BAC = ∠DAE\end{array} $
∴ △BAC ∽ △DAE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ ∠C = ∠E。
∵ ∠BAD = ∠CAE，
∴ ∠BAD + ∠DAC = ∠CAE + ∠DAC，
即 ∠BAC = ∠DAE。
∵ AB·AE = AD·AC，
∴ $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$。
在△BAC和△DAE中，
$\{\begin{array}{l}\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} \\∠BAC = ∠DAE\end{array} $
∴ △BAC ∽ △DAE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ ∠C = ∠E。
解析
【分析】
要证明∠C=∠E，可通过证明两角所在的△BAC与△DAE相似推导。首先从已知角的等量关系入手，∠BAD=∠CAE，两个角同时加上公共角∠DAC，即可得到两组三角形的一组对应角∠BAC=∠DAE；再将已知的等积式AB·AE=AD·AC转化为比例式，得到两组对应边成比例，且成比例边的夹角恰好是推导得出的等角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定条件，证明三角形相似后，根据相似三角形对应角相等即可得证。
【解析】
证明：
∵ ∠BAD = ∠CAE，
∴ ∠BAD + ∠DAC = ∠CAE + ∠DAC，
即 ∠BAC = ∠DAE。
∵ AB·AE = AD·AC，
∴ $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$。
在△BAC和△DAE中，
$\{\begin{array}{l}\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} \\∠ BAC = ∠ DAE\end{array} $
∴ △BAC ∽ △DAE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ ∠C = ∠E。
【答案】
证明过程如上，∠C=∠E得证。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形证明的典型基础题，重点考查等积式转比例式的技巧，以及通过角的和差推导相等夹角的能力，熟练掌握相似三角形的判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要证明∠C=∠E，可通过证明两角所在的△BAC与△DAE相似推导。首先从已知角的等量关系入手，∠BAD=∠CAE，两个角同时加上公共角∠DAC，即可得到两组三角形的一组对应角∠BAC=∠DAE；再将已知的等积式AB·AE=AD·AC转化为比例式，得到两组对应边成比例，且成比例边的夹角恰好是推导得出的等角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定条件，证明三角形相似后，根据相似三角形对应角相等即可得证。
【解析】
证明：
∵ ∠BAD = ∠CAE，
∴ ∠BAD + ∠DAC = ∠CAE + ∠DAC，
即 ∠BAC = ∠DAE。
∵ AB·AE = AD·AC，
∴ $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$。
在△BAC和△DAE中，
$\{\begin{array}{l}\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} \\∠ BAC = ∠ DAE\end{array} $
∴ △BAC ∽ △DAE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ ∠C = ∠E。
【答案】
证明过程如上，∠C=∠E得证。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形证明的典型基础题，重点考查等积式转比例式的技巧，以及通过角的和差推导相等夹角的能力，熟练掌握相似三角形的判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
★9. 如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，多少秒后△PBQ与△ABC相似？
答案
9. ①当$PQ// AC$时，2秒后$△ PBQ$与$△ ABC$相似
②当$∠ BPQ=∠ C$时，$\frac{4}{5}$秒后$△ PBQ$与$△ ABC$相似
②当$∠ BPQ=∠ C$时，$\frac{4}{5}$秒后$△ PBQ$与$△ ABC$相似
解析
【分析】
这是动点引发的相似三角形判定问题，△PBQ和△ABC有公共角∠B，根据相似三角形的判定定理，夹公共角的两组对应边成比例即可判定相似，需注意对应边有两种不同的匹配情况，避免漏解。解题思路如下：第一步设运动时间为t秒，用含t的代数式表示PB、BQ的长度；第二步分两种相似对应情况列比例方程；第三步解方程后检验解是否符合运动的取值范围。
【解析】
设t秒后△PBQ与△ABC相似。
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=4t\ \mathrm{cm}$，
∵$AB=8\ \mathrm{cm}$，
∴$PB=AB-AP=(8-2t)\ \mathrm{cm}$，
∠B是△PBQ和△ABC的公共角，分两种情况讨论：
① 当$△ PBQ ∽ △ ABC$时，夹∠B的对应边成比例，即$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，
代入$AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=16\ \mathrm{cm}$得：
$\frac{8-2t}{8}=\frac{4t}{16}$，
解得$t=2$，此时$0＜2＜4$，符合运动范围要求，对应$PQ// AC$的情况。
② 当$△ PBQ ∽ △ CBA$时，夹∠B的对应边成比例，即$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，
代入数值得：
$\frac{8-2t}{16}=\frac{4t}{8}$，
解得$t=\frac{4}{5}$，此时$0＜\frac{4}{5}＜4$，符合运动范围要求，对应$∠ BPQ=∠ C$的情况。
【答案】
①当$PQ// AC$时，2秒后$△ PBQ$与$△ ABC$相似；②当$∠ BPQ=∠ C$时，$\frac{4}{5}$秒后$△ PBQ$与$△ ABC$相似
【知识点】
相似三角形判定，动点问题，分类讨论
【点评】
本题是相似三角形的典型动点题型，核心是抓住公共角这一隐含条件，分两种对应边成比例的情况讨论，解题时要注意对求出的时间解进行合理性检验，排除不符合运动范围的解，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
这是动点引发的相似三角形判定问题，△PBQ和△ABC有公共角∠B，根据相似三角形的判定定理，夹公共角的两组对应边成比例即可判定相似，需注意对应边有两种不同的匹配情况，避免漏解。解题思路如下：第一步设运动时间为t秒，用含t的代数式表示PB、BQ的长度；第二步分两种相似对应情况列比例方程；第三步解方程后检验解是否符合运动的取值范围。
【解析】
设t秒后△PBQ与△ABC相似。
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=4t\ \mathrm{cm}$，
∵$AB=8\ \mathrm{cm}$，
∴$PB=AB-AP=(8-2t)\ \mathrm{cm}$，
∠B是△PBQ和△ABC的公共角，分两种情况讨论：
① 当$△ PBQ ∽ △ ABC$时，夹∠B的对应边成比例，即$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，
代入$AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=16\ \mathrm{cm}$得：
$\frac{8-2t}{8}=\frac{4t}{16}$，
解得$t=2$，此时$0＜2＜4$，符合运动范围要求，对应$PQ// AC$的情况。
② 当$△ PBQ ∽ △ CBA$时，夹∠B的对应边成比例，即$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，
代入数值得：
$\frac{8-2t}{16}=\frac{4t}{8}$，
解得$t=\frac{4}{5}$，此时$0＜\frac{4}{5}＜4$，符合运动范围要求，对应$∠ BPQ=∠ C$的情况。
【答案】
①当$PQ// AC$时，2秒后$△ PBQ$与$△ ABC$相似；②当$∠ BPQ=∠ C$时，$\frac{4}{5}$秒后$△ PBQ$与$△ ABC$相似
【知识点】
相似三角形判定，动点问题，分类讨论
【点评】
本题是相似三角形的典型动点题型，核心是抓住公共角这一隐含条件，分两种对应边成比例的情况讨论，解题时要注意对求出的时间解进行合理性检验，排除不符合运动范围的解，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
