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7.线段AB在如图所示的8×8网格中(点A，B均在格点上)，在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是 (
A.4
B.5
C.6
D.7
C
)A.4
B.5
C.6
D.7
答案
7.C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确等腰三角形以∠B为顶角的含义：即∠B的两条边BA、BC是等腰三角形的腰，所以BA=BC。解题思路如下：第一步，利用勾股定理计算线段AB的长度；第二步，以点B为圆心、AB长为半径画圆，圆与格点的交点（除点A外）就是满足BC=AB的点C；第三步，筛选出落在8×8网格内的交点，统计个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理可得：
$AB = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$
因为△ABC以∠B为顶角，所以$BC = AB = \sqrt{17}$，即点C到点B的水平距离的平方与竖直距离的平方和为17。
正整数中满足$a^2+b^2=17$的组合只有1和4，因此点C相对于点B的位置有8种：(右1,上4)、(右1,下4)、(左1,上4)、(左1,下4)、(右4,上1)、(右4,下1)、(左4,上1)、(左4,下1)。
其中：(左1,上4)就是点A本身，不符合要求，排除；(右1,上4)超出8×8网格的范围，排除。
剩余符合条件的点C共有6个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题解题的核心是抓住“∠B为顶角”的条件转化为BC=BA，通过构造圆找格点的方法能直观快速找到所有可能的点，解题时要注意排除点A和网格外的点，避免多算。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确等腰三角形以∠B为顶角的含义：即∠B的两条边BA、BC是等腰三角形的腰，所以BA=BC。解题思路如下：第一步，利用勾股定理计算线段AB的长度；第二步，以点B为圆心、AB长为半径画圆，圆与格点的交点（除点A外）就是满足BC=AB的点C；第三步，筛选出落在8×8网格内的交点，统计个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理可得：
$AB = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$
因为△ABC以∠B为顶角，所以$BC = AB = \sqrt{17}$，即点C到点B的水平距离的平方与竖直距离的平方和为17。
正整数中满足$a^2+b^2=17$的组合只有1和4，因此点C相对于点B的位置有8种：(右1,上4)、(右1,下4)、(左1,上4)、(左1,下4)、(右4,上1)、(右4,下1)、(左4,上1)、(左4,下1)。
其中：(左1,上4)就是点A本身，不符合要求，排除；(右1,上4)超出8×8网格的范围，排除。
剩余符合条件的点C共有6个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题解题的核心是抓住“∠B为顶角”的条件转化为BC=BA，通过构造圆找格点的方法能直观快速找到所有可能的点，解题时要注意排除点A和网格外的点，避免多算。
【难度系数】
0.6
8.如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在y轴和x轴上,$∠ABO=60^{\circ }$,在坐标轴上找一点P,使得$△PAB$是等腰三角形,则符合条件的点P有 （
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
B
）A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
答案
8.B
解析
【分析】
要确定坐标轴上使△PAB为等腰三角形的点P的个数，需根据等腰三角形两边相等的性质，分三类讨论：①AB为腰，A为等腰三角形的顶角顶点；②AB为腰，B为等腰三角形的顶角顶点；③AB为等腰三角形的底边。分别找出每类情况下点P与坐标轴的交点，排除重合的交点后统计总数即可。
【解析】
我们分三类情况讨论：
1. 当AB=AP时，即A为顶角顶点：
以点A为圆心，AB的长度为半径画圆，该圆与坐标轴的交点即为符合条件的点P：与y轴交于2个点（分别在A点的上方和下方），与x轴交于1个点（x轴正半轴，排除点B），共3个点。
2. 当AB=BP时，即B为顶角顶点：
以点B为圆心，AB的长度为半径画圆，该圆与坐标轴的交点即为符合条件的点P：与x轴交于2个点（分别在B点的左侧和右侧），与y轴交于1个点（y轴负半轴，排除点A）。注意x轴正半轴的交点和第一类中x轴的交点重合（此时△ABP为等边三角形，同时满足AB=AP和AB=BP），因此新增2个符合条件的点。
3. 当AP=BP时，即AB为底边：
作AB的垂直平分线，垂直平分线与坐标轴的交点即为符合条件的点P：与x轴的交点和前面的重合点重合，与y轴交于1个新的点，因此新增1个符合条件的点。
综上，符合条件的点P总共有$3+2+1=6$个。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想，垂直平分线的性质
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题时需按照“腰和底”的分类标准逐一排查，尤其要注意特殊角度下存在交点重合的情况，避免出现多算或漏算的错误。
【难度系数】
0.6
要确定坐标轴上使△PAB为等腰三角形的点P的个数，需根据等腰三角形两边相等的性质，分三类讨论：①AB为腰，A为等腰三角形的顶角顶点；②AB为腰，B为等腰三角形的顶角顶点；③AB为等腰三角形的底边。分别找出每类情况下点P与坐标轴的交点，排除重合的交点后统计总数即可。
【解析】
我们分三类情况讨论：
1. 当AB=AP时，即A为顶角顶点：
以点A为圆心，AB的长度为半径画圆，该圆与坐标轴的交点即为符合条件的点P：与y轴交于2个点（分别在A点的上方和下方），与x轴交于1个点（x轴正半轴，排除点B），共3个点。
2. 当AB=BP时，即B为顶角顶点：
以点B为圆心，AB的长度为半径画圆，该圆与坐标轴的交点即为符合条件的点P：与x轴交于2个点（分别在B点的左侧和右侧），与y轴交于1个点（y轴负半轴，排除点A）。注意x轴正半轴的交点和第一类中x轴的交点重合（此时△ABP为等边三角形，同时满足AB=AP和AB=BP），因此新增2个符合条件的点。
3. 当AP=BP时，即AB为底边：
作AB的垂直平分线，垂直平分线与坐标轴的交点即为符合条件的点P：与x轴的交点和前面的重合点重合，与y轴交于1个新的点，因此新增1个符合条件的点。
综上，符合条件的点P总共有$3+2+1=6$个。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想，垂直平分线的性质
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题时需按照“腰和底”的分类标准逐一排查，尤其要注意特殊角度下存在交点重合的情况，避免出现多算或漏算的错误。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是（
A.5
B.6
C.7
D.8
A
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
9.A
解析
【分析】
要使△ABC为等腰三角形，需分三类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点；②AB为腰，B为顶角顶点；③AB为底边。结合点C在坐标轴上的限制，分别求解对应点C的坐标，再排除三点共线不能构成三角形的情况，最终统计符合条件的点的个数。首先计算AB的长度：由A(2,2)、B(4,0)，根据勾股定理可得AB=√[(4-2)²+(0-2)²]=2√2，同时求出直线AB的解析式为y=-x+4，方便后续判断共线情况。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 当AB=AC（A为顶角顶点）时：
以A为圆心，AB长为半径作圆，与坐标轴相交：
与x轴交点：解方程$(x-2)^2+(0-2)^2=(2\sqrt{2})^2$，得$x=0$或$x=4$，$x=4$对应点B，舍去；
与y轴交点：解方程$(0-2)^2+(y-2)^2=(2\sqrt{2})^2$，得$y=0$或$y=4$，$y=4$对应点$(0,4)$，代入直线AB解析式$y=-x+4$，可知该点在直线AB上，三点共线不能构成三角形，舍去。
此情况仅得1个有效点：$(0,0)$。
2. 当AB=BC（B为顶角顶点）时：
以B为圆心，AB长为半径作圆，与坐标轴相交：
与x轴交点：解方程$|x-4|=2\sqrt{2}$，得$x=4+2\sqrt{2}$或$x=4-2\sqrt{2}$，两点均不与A、B重合，也不共线，均有效；
与y轴交点：解方程$(4-0)^2+(0-y)^2=(2\sqrt{2})^2$，得$y^2=-8$，无实数解。
此情况得2个有效点：$(4+2\sqrt{2},0)$、$(4-2\sqrt{2},0)$。
3. 当AC=BC（AB为底边）时：
点C在AB的垂直平分线上，AB中点为$(3,1)$，AB的斜率为$-1$，故垂直平分线斜率为$1$，解析式为$y=x-2$。
求该直线与坐标轴交点：
与x轴交点：令$y=0$，得$x=2$，即点$(2,0)$，有效；
与y轴交点：令$x=0$，得$y=-2$，即点$(0,-2)$，有效。
此情况得2个有效点。
综上，符合条件的点C共有$1+2+2=5$个。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想，垂直平分线的性质
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题关键是按顶角顶点的不同分三类讨论，同时要注意验证三点是否共线，避免多算无效点。
【难度系数】
0.6
要使△ABC为等腰三角形，需分三类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点；②AB为腰，B为顶角顶点；③AB为底边。结合点C在坐标轴上的限制，分别求解对应点C的坐标，再排除三点共线不能构成三角形的情况，最终统计符合条件的点的个数。首先计算AB的长度：由A(2,2)、B(4,0)，根据勾股定理可得AB=√[(4-2)²+(0-2)²]=2√2，同时求出直线AB的解析式为y=-x+4，方便后续判断共线情况。
【解析】
我们分三种情况讨论：
1. 当AB=AC（A为顶角顶点）时：
以A为圆心，AB长为半径作圆，与坐标轴相交：
与x轴交点：解方程$(x-2)^2+(0-2)^2=(2\sqrt{2})^2$，得$x=0$或$x=4$，$x=4$对应点B，舍去；
与y轴交点：解方程$(0-2)^2+(y-2)^2=(2\sqrt{2})^2$，得$y=0$或$y=4$，$y=4$对应点$(0,4)$，代入直线AB解析式$y=-x+4$，可知该点在直线AB上，三点共线不能构成三角形，舍去。
此情况仅得1个有效点：$(0,0)$。
2. 当AB=BC（B为顶角顶点）时：
以B为圆心，AB长为半径作圆，与坐标轴相交：
与x轴交点：解方程$|x-4|=2\sqrt{2}$，得$x=4+2\sqrt{2}$或$x=4-2\sqrt{2}$，两点均不与A、B重合，也不共线，均有效；
与y轴交点：解方程$(4-0)^2+(0-y)^2=(2\sqrt{2})^2$，得$y^2=-8$，无实数解。
此情况得2个有效点：$(4+2\sqrt{2},0)$、$(4-2\sqrt{2},0)$。
3. 当AC=BC（AB为底边）时：
点C在AB的垂直平分线上，AB中点为$(3,1)$，AB的斜率为$-1$，故垂直平分线斜率为$1$，解析式为$y=x-2$。
求该直线与坐标轴交点：
与x轴交点：令$y=0$，得$x=2$，即点$(2,0)$，有效；
与y轴交点：令$x=0$，得$y=-2$，即点$(0,-2)$，有效。
此情况得2个有效点。
综上，符合条件的点C共有$1+2+2=5$个。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想，垂直平分线的性质
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题关键是按顶角顶点的不同分三类讨论，同时要注意验证三点是否共线，避免多算无效点。
【难度系数】
0.6
10.如图，在$△ ABC$中，$∠ B=50°$，$∠ C=90°$，在射线$BA$上找一点$D$，使$△ ACD$为等腰三角形，则$∠ ACD$的度数为
70°或 40°或 20°
。答案
10.70°或 40°或 20°
解析
【分析】
首先根据三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，这是后续计算的基础。由于题目未指明等腰△ACD的腰和底，且点D在射线BA上（可在线段BA上或BA的延长线上），因此需要分类讨论等腰三角形的顶角顶点，分别计算每种情况对应的∠ACD的度数，舍去不符合几何逻辑的情况即可。
【解析】
在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，根据三角形内角和为180°可得：
∠BAC=180°-90°-50°=40°
分三种情况讨论：
1. 当AC=AD，点D在线段BA上时：
△ACD中AC=AD，∠CAD=∠BAC=40°，根据等腰三角形两底角相等：
∠ACD=(180°-40°)÷2=70°
2. 当AD=CD时：
△ACD中AD=CD，由等边对等角可得∠ACD=∠CAD=40°
3. 当AC=AD，点D在BA的延长线上时：
此时∠CAD=180°-∠BAC=140°，△ACD中AC=AD，因此：
∠ACD=(180°-140°)÷2=20°
（当AC=CD时，∠CDA=∠CAD=40°，而∠CDA是△BCD的外角，需大于∠B=50°，矛盾，故舍去该情况）
综上，∠ACD的度数为70°或40°或20°。
【答案】
70°或40°或20°
【知识点】
三角形内角和，等腰三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题时需注意点的位置是射线而非线段，避免遗漏点在延长线上的情况，同时计算后要验证结果是否符合几何规律，防止出现多余的错误解。
【难度系数】
0.6
首先根据三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，这是后续计算的基础。由于题目未指明等腰△ACD的腰和底，且点D在射线BA上（可在线段BA上或BA的延长线上），因此需要分类讨论等腰三角形的顶角顶点，分别计算每种情况对应的∠ACD的度数，舍去不符合几何逻辑的情况即可。
【解析】
在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，根据三角形内角和为180°可得：
∠BAC=180°-90°-50°=40°
分三种情况讨论：
1. 当AC=AD，点D在线段BA上时：
△ACD中AC=AD，∠CAD=∠BAC=40°，根据等腰三角形两底角相等：
∠ACD=(180°-40°)÷2=70°
2. 当AD=CD时：
△ACD中AD=CD，由等边对等角可得∠ACD=∠CAD=40°
3. 当AC=AD，点D在BA的延长线上时：
此时∠CAD=180°-∠BAC=140°，△ACD中AC=AD，因此：
∠ACD=(180°-140°)÷2=20°
（当AC=CD时，∠CDA=∠CAD=40°，而∠CDA是△BCD的外角，需大于∠B=50°，矛盾，故舍去该情况）
综上，∠ACD的度数为70°或40°或20°。
【答案】
70°或40°或20°
【知识点】
三角形内角和，等腰三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题时需注意点的位置是射线而非线段，避免遗漏点在延长线上的情况，同时计算后要验证结果是否符合几何规律，防止出现多余的错误解。
【难度系数】
0.6
11.如图，在$△ ABC$中，$∠ B=25°$，$∠ A=100°$，点$P$在$△ ABC$的三边上运动，当$△ PAC$成为等腰三角形时，其顶角的度数是 。
答案
11.100°或 55°或 70°
解析
【分析】
首先利用三角形内角和定理先求出△ABC中∠C的度数，由于点P在△ABC三边上运动，且△PAC为等腰三角形时未明确腰和底，因此需分三种情况分类讨论：①以A为顶角顶点，PA=AC；②以C为顶角顶点，AC=PC；③以P为顶角顶点，PA=PC，分别计算每种情况对应的顶角即可，注意验证每种情况是否符合点P的运动范围。
【解析】
首先计算∠ACB的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得
$∠ ACB=180°-∠ BAC-∠ B=180°-100°-25°=55°$。
分三种情况讨论△PAC为等腰三角形的情况：
1. 当$PA=AC$时，等腰△PAC的顶角为$∠ PAC$，此时$∠ PAC=∠ BAC=100°$，点P在AB边上，符合要求；
2. 当$AC=PC$时，等腰△PAC的顶角为$∠ ACP$，此时$∠ ACP=∠ ACB=55°$，点P在BC边上，符合要求；
3. 当$PA=PC$时，等腰△PAC的顶角为$∠ APC$，此时底角$∠ PAC=∠ PCA=55°$，根据三角形内角和得$∠ APC=180°-2×55°=70°$，点P在BC边上，符合要求。
【答案】
$100°$或$55°$或$70°$
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的经典题型，解题核心是对等腰三角形的腰和底进行分类讨论，注意不要漏解，同时要结合点的运动范围判断每种情况是否成立。
【难度系数】
0.6
首先利用三角形内角和定理先求出△ABC中∠C的度数，由于点P在△ABC三边上运动，且△PAC为等腰三角形时未明确腰和底，因此需分三种情况分类讨论：①以A为顶角顶点，PA=AC；②以C为顶角顶点，AC=PC；③以P为顶角顶点，PA=PC，分别计算每种情况对应的顶角即可，注意验证每种情况是否符合点P的运动范围。
【解析】
首先计算∠ACB的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得
$∠ ACB=180°-∠ BAC-∠ B=180°-100°-25°=55°$。
分三种情况讨论△PAC为等腰三角形的情况：
1. 当$PA=AC$时，等腰△PAC的顶角为$∠ PAC$，此时$∠ PAC=∠ BAC=100°$，点P在AB边上，符合要求；
2. 当$AC=PC$时，等腰△PAC的顶角为$∠ ACP$，此时$∠ ACP=∠ ACB=55°$，点P在BC边上，符合要求；
3. 当$PA=PC$时，等腰△PAC的顶角为$∠ APC$，此时底角$∠ PAC=∠ PCA=55°$，根据三角形内角和得$∠ APC=180°-2×55°=70°$，点P在BC边上，符合要求。
【答案】
$100°$或$55°$或$70°$
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的经典题型，解题核心是对等腰三角形的腰和底进行分类讨论，注意不要漏解，同时要结合点的运动范围判断每种情况是否成立。
【难度系数】
0.6
12. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ B=30°$，点$P$在边$BC$上运动(点$P$不与点$B$，$C$重合)，连接$AP$，作$∠ APQ=∠ B$，$PQ$交$AB$于点$Q$.
(1)如图，当$PQ// CA$时，判断$△ APB$的形状，并说明理由；
(2)在点$P$的运动过程中，$△ APQ$的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出$∠ BQP$的度数；若不可以，请说明理由.
备用图
(1)如图，当$PQ// CA$时，判断$△ APB$的形状，并说明理由；
(2)在点$P$的运动过程中，$△ APQ$的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出$∠ BQP$的度数；若不可以，请说明理由.
备用图
答案
12.解:(1)△APB是直角三角形,理由如下:
∵AB=AC,∠B=30°,
∴∠C=30°=∠B=∠APQ.
∵PQ//AC,
∴∠BPQ=∠C=30°.
∴∠APB=60°.
∴∠BAP=90°.
∴△APB 是直角三角形.
(2)△APQ 可以是等腰三角形,此时∠BQP 的度数为 105°或 60°.
提示:当 AQ=QP 时,∠QAP=∠APQ=30°,
∴∠BQP=∠QAP+∠APQ=60°;
当 AP=PQ 时,∠AQP=∠PAQ=75°,
∴∠BQP=105°;
当 AQ=AP 时,∠AQP=∠APQ=30°.
∵点 P 不与点 B,C 重合,
∴此种情况不存在.
综上所述,∠BQP 的度数为 105°或 60°.
∵AB=AC,∠B=30°,
∴∠C=30°=∠B=∠APQ.
∵PQ//AC,
∴∠BPQ=∠C=30°.
∴∠APB=60°.
∴∠BAP=90°.
∴△APB 是直角三角形.
(2)△APQ 可以是等腰三角形,此时∠BQP 的度数为 105°或 60°.
提示:当 AQ=QP 时,∠QAP=∠APQ=30°,
∴∠BQP=∠QAP+∠APQ=60°;
当 AP=PQ 时,∠AQP=∠PAQ=75°,
∴∠BQP=105°;
当 AQ=AP 时,∠AQP=∠APQ=30°.
∵点 P 不与点 B,C 重合,
∴此种情况不存在.
综上所述,∠BQP 的度数为 105°或 60°.
解析
【分析】
(1) 要判断△APB的形状，首先利用等腰△ABC的性质得到底角∠C=∠B=30°，再结合PQ//AC的性质推导角的数量关系，计算△APB的内角度数即可判断形状。
(2) 若△APQ为等腰三角形，需分三种情况讨论腰的对应关系：①AQ=QP；②AP=PQ；③AQ=AP，结合三角形内角和、外角性质计算∠BQP的度数，再根据“点P不与B、C重合”的限制条件排除不符合题意的情况，最终得到结果。
【解析】
(1) △APB是直角三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，又
∵∠APQ=∠B，
∴∠APQ=∠C=30°。
∵PQ//AC，
∴∠BPQ=∠C=30°（两直线平行，同位角相等），
∴∠APB=∠APQ+∠BPQ=30°+30°=60°，
在△APB中，∠BAP=180°-∠B-∠APB=180°-30°-60°=90°，
∴△APB是直角三角形。
(2) △APQ可以是等腰三角形，分情况讨论：
①当AQ=QP时，∠QAP=∠APQ=30°，
由三角形外角的性质可得∠BQP=∠QAP+∠APQ=30°+30°=60°；
②当AP=PQ时，∠AQP=∠PAQ，
∵∠APQ=30°，
∴∠AQP=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠BQP=180°-∠AQP=180°-75°=105°；
③当AQ=AP时，∠AQP=∠APQ=30°，此时∠QAP=120°，与∠BAC=180°-30°-30°=120°重合，即点P与点C重合，不符合题意，故舍去该情况。
综上，∠BQP的度数为105°或60°。
【答案】
(1) △APB是直角三角形；
(2) ∠BQP的度数为105°或60°。
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角性质
【点评】
本题第一问结合等腰三角形和平行线的性质计算角度即可求解，难度较低；第二问需要对等腰三角形的腰的情况分类讨论，解题时要注意结合题目限制条件排除不符合的情况，避免多解、漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断△APB的形状，首先利用等腰△ABC的性质得到底角∠C=∠B=30°，再结合PQ//AC的性质推导角的数量关系，计算△APB的内角度数即可判断形状。
(2) 若△APQ为等腰三角形，需分三种情况讨论腰的对应关系：①AQ=QP；②AP=PQ；③AQ=AP，结合三角形内角和、外角性质计算∠BQP的度数，再根据“点P不与B、C重合”的限制条件排除不符合题意的情况，最终得到结果。
【解析】
(1) △APB是直角三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，又
∵∠APQ=∠B，
∴∠APQ=∠C=30°。
∵PQ//AC，
∴∠BPQ=∠C=30°（两直线平行，同位角相等），
∴∠APB=∠APQ+∠BPQ=30°+30°=60°，
在△APB中，∠BAP=180°-∠B-∠APB=180°-30°-60°=90°，
∴△APB是直角三角形。
(2) △APQ可以是等腰三角形，分情况讨论：
①当AQ=QP时，∠QAP=∠APQ=30°，
由三角形外角的性质可得∠BQP=∠QAP+∠APQ=30°+30°=60°；
②当AP=PQ时，∠AQP=∠PAQ，
∵∠APQ=30°，
∴∠AQP=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠BQP=180°-∠AQP=180°-75°=105°；
③当AQ=AP时，∠AQP=∠APQ=30°，此时∠QAP=120°，与∠BAC=180°-30°-30°=120°重合，即点P与点C重合，不符合题意，故舍去该情况。
综上，∠BQP的度数为105°或60°。
【答案】
(1) △APB是直角三角形；
(2) ∠BQP的度数为105°或60°。
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角性质
【点评】
本题第一问结合等腰三角形和平行线的性质计算角度即可求解，难度较低；第二问需要对等腰三角形的腰的情况分类讨论，解题时要注意结合题目限制条件排除不符合的情况，避免多解、漏解。
【难度系数】
0.6
