4 如图,在△ABC中,点D,G在BC上,点E在AC上,点F在AD上,且EG//AB,FE//BC.若AF=4,FD=2,则CG:GB=. (第4题)

4. 1:2
解析:由$FE// BC$,得$\frac{AE}{EC}=\frac{AF}{FD}=\frac{4}{2}=2$. 由$EG// AB$,得$\frac{BG}{GC}=\frac{AE}{EC}=2$. 所以$CG:GB=1:2$.

5 两个相似三角形的对应边上的中线之比为$1:\sqrt{2}$，则它们的面积之比为（）

A.$2:1$
B.$1:2$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}:1$

5. B

6 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，AD是斜边BC上的高线。
（1）求证：$△ ABD ∽ △ CBA$；
（2）若$AB=6$，$BC=10$，求BD的长。

6. (1) 因为 AD 是斜边 BC 上的高线,所以$∠BDA=90°$.
因为$∠BAC=90°$,所以$∠BDA=∠BAC$. 又因为$∠B=∠B$,所以$△ABD∽△CBA$
(2) 由(1),得$△ABD∽△CBA$,所以$\frac{BD}{BA}=\frac{BA}{BC}$. 所以$\frac{BD}{6}=\frac{6}{10}$. 所以$BD=3.6$

7 如图,在$△ ABC$中,点$D,E,F$分别在边$AB$,$AC$,$BC$上,连结$DE$,$EF$.已知四边形$BFED$是平行四边形,且$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$.
(1)若$AB=8$,求线段$AD$的长;
(2)若$△ ADE$的面积为$1$,求$□ BFED$的面积.

7. (1) 因为四边形 BFED 是平行四边形,所以$DE// BF$,即$DE// BC$. 所以$△ADE ∽ △ABC$. 所以$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$.
因为$AB=8$,所以$AD=2$
(2) 由(1),得$△ADE∽△ABC$,所以$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$,$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$. 所以$\frac{BD}{AB}=\frac{3}{4}$. 因为$S_{△ADE}=1$,所以$S_{△ABC}=16$. 因为四边形 BFED 是平行四边形,所以$EF// AB$,$EF=BD$. 所以$△EFC∽△ABC$. 所以$\frac{S_{△EFC}}{S_{△ABC}}=(\frac{EF}{AB})^2=(\frac{BD}{AB})^2=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$. 所以$S_{△EFC}=9$. 所以$S_{□BFED}=16-9-1=6$

8 [2025温州期末]如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5 m，测得AB=3 m，BC=7 m，则建筑物CD的高是（）


A.3.5 m
B.4 m
C.4.5 m
D.5 m

8. D

9 [2026杭州钱塘期末]受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，方方设计如下方法测量河宽AB.如图，从河边点B处沿与AB垂直的直线方向走40 m到达点C处，插一根标杆，然后沿相同方向继续走20 m到达点D处，再右转90°走到点E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，量得ED＝30 m.
(1) 求证：$△ ABC ∽ △ EDC$；
(2) 求河宽AB.

9. (1) 由题意,得$∠ABC=∠EDC=90°$. 因为$∠ACB=∠DCE$,所以$△ABC∽△EDC$
(2) 因为$△ABC∽△EDC$,所以$\frac{CB}{CD}=\frac{AB}{ED}$. 因为$CB=40\ \mathrm{m}$,$CD=20\ \mathrm{m}$,$ED=30\ \mathrm{m}$,所以$\frac{40}{20}=\frac{AB}{30}$. 所以$AB=60\ \mathrm{m}$. 所以河宽$AB$为$60\ \mathrm{m}$