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8 教材变式题 如图，AB是$\odot O$的直径，C，D为$\odot O$上的点，连结AD，DC，AC，BC。若$∠ D=120°$，则$∠ CAB$的度数为（
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
A
）A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
8. A
9 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,连结AC,记$∠ BAC$的度数为$α$,$∠ CAD$的度数为$β$.若$AB=AC$,$AB// CD$,则有 (
A.$2α +3β =180°$
B.$3α +4β =360°$
C.$3α +2β =180°$
D.$4α +3β =360°$
C
)A.$2α +3β =180°$
B.$3α +4β =360°$
C.$3α +2β =180°$
D.$4α +3β =360°$
答案
9. C
10 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$AB=CD$,A为$\overset{\frown}{BD}$的中点,连结BD.若$∠ BDC=60°$,则$∠ ADB$的度数为
$40°$
答案
10. $40°$ 解析:设$∠ADB=x$. 因为 A 为$\overset{\frown}{BD}$的中点,所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AB}$. 所以$∠ABD=∠ADB=x$. 因为$AB=CD$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$. 所以$∠ADB=∠CBD=x$. 因为四边形 ABCD 内接于$\odot O$,所以$∠ABC+∠ADC=180°$,即$∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠BDC=180°$. 又因为$∠BDC=60°$,所以$3x+60°=180°$,解得$x=40°$,即$∠ADB=40°$.
11 [2026湖州吴兴期中]如图，四边形ABCD内接于一圆，延长BC到点E.
（1）求证：$∠ DAB=∠ DCE$.
（2）连结AC，BD.若$∠ DAB=65°$，CD平分$∠ ACE$，求$∠ ADB$的度数.
（1）求证：$∠ DAB=∠ DCE$.
（2）连结AC，BD.若$∠ DAB=65°$，CD平分$∠ ACE$，求$∠ ADB$的度数.
答案
11. (1) 因为四边形 ABCD 内接于圆,所以$∠DAB+∠DCB=180°$. 因为$∠DCE+∠DCB=180°$,所以$∠DAB=∠DCE$
(2) 由(1)可知,$∠DCE=∠DAB=65°$. 因为 CD 平分$∠ACE$,所以$∠ACE=2∠DCE=130°$. 所以$∠ACB=180°-∠ACE=180°-130°=50°$. 又$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$,所以$∠ADB=∠ACB=50°$
(2) 由(1)可知,$∠DCE=∠DAB=65°$. 因为 CD 平分$∠ACE$,所以$∠ACE=2∠DCE=130°$. 所以$∠ACB=180°-∠ACE=180°-130°=50°$. 又$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$,所以$∠ADB=∠ACB=50°$
12 如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,$AB=AD$,E是$\overset{\frown}{AD}$上的一点,连结AE,DE,BD.
(1)若$∠ C=110°$,求$∠ E$的度数;
(2)若$∠ E=∠ C$,求证:$△ ABD$为等边三角形.
(1)若$∠ C=110°$,求$∠ E$的度数;
(2)若$∠ E=∠ C$,求证:$△ ABD$为等边三角形.
答案
12. (1) 因为四边形 ABCD 是$\odot O$的内接四边形,所以$∠BAD+∠C=180°$. 因为$∠C=110°$,所以$∠BAD=70°$. 因为$AB=AD$,所以$∠ABD=∠ADB=\frac{1}{2}(180°-∠BAD)=\frac{1}{2}×(180°-70°)=55°$. 因为四边形 ABDE 是$\odot O$的内接四边形,所以$∠ABD+∠E=180°$. 所以$∠E=180°-55°=125°$
(2) 因为四边形 ABCD 是$\odot O$的内接四边形,所以$∠BAD+∠C=180°$. 因为四边形 ABDE 是$\odot O$的内接四边形,所以$∠ABD+∠E=180°$. 又因为$∠E=∠C$,所以$∠BAD=∠ABD$. 所以$AD=BD$. 又因为$AB=AD$,所以$AB=BD=AD$. 所以$△ABD$为等边三角形
(2) 因为四边形 ABCD 是$\odot O$的内接四边形,所以$∠BAD+∠C=180°$. 因为四边形 ABDE 是$\odot O$的内接四边形,所以$∠ABD+∠E=180°$. 又因为$∠E=∠C$,所以$∠BAD=∠ABD$. 所以$AD=BD$. 又因为$AB=AD$,所以$AB=BD=AD$. 所以$△ABD$为等边三角形
13 如图,四边形 ABCD 是圆内接四边形,对角线 AC 与 BD 相交于点 E,点 F 在 AC 上,AB = AD,连结 BF, DF, ∠BFC = ∠BAD=2∠DFC.
(1)若∠DFC=40°,求∠CBF 的度数；
(2)求证:CD⊥DF.
(1)若∠DFC=40°,求∠CBF 的度数；
(2)求证:CD⊥DF.
答案
13. (1) 在$△BFC$和$△BAD$中,因为$∠ADB=∠ACB$,$∠BAD=∠BFC$,所以$180°-∠ADB-∠BAD=180°-∠ACB-∠BFC$,即$∠ABD=∠CBF$. 又因为$AB=AD$,所以$∠ABD=∠ADB$. 所以$∠CBF=∠ADB$. 又因为$∠ADB=∠BCF$,所以$∠CBF=∠BCF$. 因为$∠BFC=2∠DFC=80°$,所以$∠CBF=\frac{1}{2}(180°-∠BFC)=\frac{1}{2}×(180°-80°)=50°$
(2) 设$∠DFC=α$,则$∠BFC=∠BAD=2α$. 因为四边形 ABCD 是圆内接四边形,所以$∠BAD+∠BCD=180°$. 所以$∠BCD=180°-2α$. 又因为$AB=AD$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$. 所以$∠ACB=∠ACD=\frac{1}{2}∠BCD=90°-α$. 所以$∠DFC+∠ACD=α+(90°-α)=90°$. 所以$∠CDF=90°$,即$CD⊥DF$
(2) 设$∠DFC=α$,则$∠BFC=∠BAD=2α$. 因为四边形 ABCD 是圆内接四边形,所以$∠BAD+∠BCD=180°$. 所以$∠BCD=180°-2α$. 又因为$AB=AD$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$. 所以$∠ACB=∠ACD=\frac{1}{2}∠BCD=90°-α$. 所以$∠DFC+∠ACD=α+(90°-α)=90°$. 所以$∠CDF=90°$,即$CD⊥DF$
