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1.为了测量一个圆形铁环的半径，把一个锐角为$30°$的三角板与铁环按如图放置，测得$PA=10\ \mathrm{cm}$，则铁环的半径$OP$为 cm.
答案
$\boldsymbol{10\sqrt{3}}$
解析
【分析】
解题时先结合图形明确已知条件：圆形铁环为圆O，PA是圆O的切线，三角板斜边也是圆O的切线，三角板锐角为30°，PA=10cm。首先根据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，可得OP⊥PA；再根据切线长定理，圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，结合三角板的角度可推出∠OAP的度数；最后在直角三角形OPA中利用三角函数即可求出半径OP的长度。
【解析】
设三角板的斜边与圆O相切于点B，连接OA。
1. 根据切线的性质：PA、AB均为圆O的切线，P、B为切点，因此$OP⊥ PA$，$OA$平分两条切线的夹角$∠ PAB$。
2. 已知三角板的锐角为$30°$，因此斜边与水平地面的夹角为$60°$，可得两条切线的夹角$∠ PAB=180°-60°=120°$，因此$∠ OAP=\frac{1}{2}∠ PAB=60°$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ OPA$中，$∠ OPA=90°$，$∠ OAP=60°$，$PA=10\ \mathrm{cm}$，由正切函数的定义：
$\tan∠ OAP=\frac{OP}{PA}$
代入数值：
$\tan60°=\frac{OP}{10}$
解得$OP=10×\sqrt{3}=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$10\sqrt{3}$
【知识点】
切线长定理；切线的性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型题目，解题的核心是通过切线长定理将三角板的角度转化为直角三角形内的已知角，再结合三角函数计算边长，难度不大，需要熟练掌握切线相关的性质定理。
【难度系数】
0.7
解题时先结合图形明确已知条件：圆形铁环为圆O，PA是圆O的切线，三角板斜边也是圆O的切线，三角板锐角为30°，PA=10cm。首先根据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，可得OP⊥PA；再根据切线长定理，圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，结合三角板的角度可推出∠OAP的度数；最后在直角三角形OPA中利用三角函数即可求出半径OP的长度。
【解析】
设三角板的斜边与圆O相切于点B，连接OA。
1. 根据切线的性质：PA、AB均为圆O的切线，P、B为切点，因此$OP⊥ PA$，$OA$平分两条切线的夹角$∠ PAB$。
2. 已知三角板的锐角为$30°$，因此斜边与水平地面的夹角为$60°$，可得两条切线的夹角$∠ PAB=180°-60°=120°$，因此$∠ OAP=\frac{1}{2}∠ PAB=60°$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ OPA$中，$∠ OPA=90°$，$∠ OAP=60°$，$PA=10\ \mathrm{cm}$，由正切函数的定义：
$\tan∠ OAP=\frac{OP}{PA}$
代入数值：
$\tan60°=\frac{OP}{10}$
解得$OP=10×\sqrt{3}=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$10\sqrt{3}$
【知识点】
切线长定理；切线的性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型题目，解题的核心是通过切线长定理将三角板的角度转化为直角三角形内的已知角，再结合三角函数计算边长，难度不大，需要熟练掌握切线相关的性质定理。
【难度系数】
0.7
2.如图，PB，PC是$\odot O$的两条切线，切点分别为B，C，若$∠ A=65°$，则$∠ P$的度数为（）
A.$50°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$70°$
A.$50°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$70°$
答案
A
解析
【分析】
解决本题首先回忆相关定理：1. 同弧所对的圆心角是圆周角的2倍；2. 圆的切线垂直于过切点的半径；3. 四边形内角和为360°。解题思路如下：首先连接OB、OC构造圆心角∠BOC，利用圆周角定理求出∠BOC的度数；再根据切线的性质得到∠OBP、∠OCP为直角，最后利用四边形内角和即可计算出∠P的度数。
【解析】
解：连接OB、OC。
∵ ∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴ ∠BOC = 2∠A = 2×65° = 130°。
∵ PB、PC是⊙O的切线，切点分别为B、C，
∴ OB⊥PB，OC⊥PC，即∠OBP = ∠OCP = 90°。
∵ 四边形OBPC的内角和为360°，
∴ ∠P + ∠OBP + ∠OCP + ∠BOC = 360°，
代入得：∠P = 360° - 90° - 90° - 130° = 50°。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；切线的性质；四边形内角和
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是通过连接圆心和切点构造直角，结合圆周角与圆心角的关系求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解决本题首先回忆相关定理：1. 同弧所对的圆心角是圆周角的2倍；2. 圆的切线垂直于过切点的半径；3. 四边形内角和为360°。解题思路如下：首先连接OB、OC构造圆心角∠BOC，利用圆周角定理求出∠BOC的度数；再根据切线的性质得到∠OBP、∠OCP为直角，最后利用四边形内角和即可计算出∠P的度数。
【解析】
解：连接OB、OC。
∵ ∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴ ∠BOC = 2∠A = 2×65° = 130°。
∵ PB、PC是⊙O的切线，切点分别为B、C，
∴ OB⊥PB，OC⊥PC，即∠OBP = ∠OCP = 90°。
∵ 四边形OBPC的内角和为360°，
∴ ∠P + ∠OBP + ∠OCP + ∠BOC = 360°，
代入得：∠P = 360° - 90° - 90° - 130° = 50°。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；切线的性质；四边形内角和
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是通过连接圆心和切点构造直角，结合圆周角与圆心角的关系求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
3.如图，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，若AB是⊙O的直径，且∠P＝68°，则∠BAC的度数为()
A.34°
B.39°
C.51°
D.56°
A.34°
B.39°
C.51°
D.56°
答案
A
解析
【分析】
解题时先回忆切线相关性质：首先由PA、PC是圆的切线，根据切线长定理可得PA=PC，△PAC为等腰三角形，结合已知∠P的度数可求出∠PAC的度数；再根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得PA⊥AB，即∠PAB=90°，最后用∠PAB减去∠PAC即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，
∴PA=PC（切线长定理），
∴△PAC为等腰三角形，
∵∠P=68°，
∴∠PAC=(180°−∠P)÷2=(180°−68°)÷2=56°，
又
∵PA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴PA⊥AB（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径），
∴∠PAB=90°，
∴∠BAC=∠PAB−∠PAC=90°−56°=34°。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，切线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的角度计算基础题，解题的关键是熟练掌握切线相关性质，结合等腰三角形角度计算方法推导所求角，这类题型是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆切线相关性质：首先由PA、PC是圆的切线，根据切线长定理可得PA=PC，△PAC为等腰三角形，结合已知∠P的度数可求出∠PAC的度数；再根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得PA⊥AB，即∠PAB=90°，最后用∠PAB减去∠PAC即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，
∴PA=PC（切线长定理），
∴△PAC为等腰三角形，
∵∠P=68°，
∴∠PAC=(180°−∠P)÷2=(180°−68°)÷2=56°，
又
∵PA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴PA⊥AB（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径），
∴∠PAB=90°，
∴∠BAC=∠PAB−∠PAC=90°−56°=34°。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，切线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的角度计算基础题，解题的关键是熟练掌握切线相关性质，结合等腰三角形角度计算方法推导所求角，这类题型是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7
4.如图，EA，ED是$\odot O$的切线，切点为A，D，点B，C在圆$\odot O$上，若$∠ ABC+∠ CDE=235°$，则$∠ E=$()
A.$55°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$78°$
A.$55°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$78°$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先连接圆心和切点，利用切线性质得到垂直关系，可推出所求角∠E和圆心角∠AOD互补；再结合圆周角定理、弦切角定理，将已知的∠ABC+∠CDE=235°转化为对应弧的度数和，通过弧的和差关系求出∠AOD的度数，最终就能算出∠E的大小。
【解析】
连接OA、OD，步骤如下：
1. 因为EA、ED是$\odot O$的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，因此$OA⊥ AE$，$OD⊥ DE$，即$∠ OAE=∠ ODE=90°$。
2. 四边形OAED内角和为$360°$，因此$∠ E + ∠ OAE + ∠ ODE + ∠ AOD=360°$，代入$∠ OAE=∠ ODE=90°$，可得$∠ E + ∠ AOD=180°$，圆心角$∠ AOD$的度数等于其所对弧AD的度数。
3. 根据圆周角定理，圆周角$∠ ABC$的度数等于其所对弧ADC度数的一半；根据弦切角定理，弦切角$∠ CDE$的度数等于其所夹弧CD度数的一半。已知$∠ ABC+∠ CDE=235°$，因此$\frac{1}{2}×(\mathrm{弧ADC的度数}+\mathrm{弧CD的度数})=235°$，即弧ADC+弧CD=$470°$。
4. 弧ADC与弧CD相加时，重叠部分为弧CD，总度数等于整圆$360°$加弧AD的度数，因此弧AD的度数为$470°-360°=110°$，对应圆心角$∠ AOD=110°$。
5. 将$∠ AOD=110°$代入$∠ E + ∠ AOD=180°$，解得$∠ E=180°-110°=70°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；弦切角定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题核心是通过连接圆心与切点这条辅助线，建立所求角和圆心角的关系，再利用圆周角、弦切角与弧的对应关系求解，需要熟练掌握圆的基础性质，理清角和弧的对应逻辑。
【难度系数】
0.65
解题时首先连接圆心和切点，利用切线性质得到垂直关系，可推出所求角∠E和圆心角∠AOD互补；再结合圆周角定理、弦切角定理，将已知的∠ABC+∠CDE=235°转化为对应弧的度数和，通过弧的和差关系求出∠AOD的度数，最终就能算出∠E的大小。
【解析】
连接OA、OD，步骤如下：
1. 因为EA、ED是$\odot O$的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，因此$OA⊥ AE$，$OD⊥ DE$，即$∠ OAE=∠ ODE=90°$。
2. 四边形OAED内角和为$360°$，因此$∠ E + ∠ OAE + ∠ ODE + ∠ AOD=360°$，代入$∠ OAE=∠ ODE=90°$，可得$∠ E + ∠ AOD=180°$，圆心角$∠ AOD$的度数等于其所对弧AD的度数。
3. 根据圆周角定理，圆周角$∠ ABC$的度数等于其所对弧ADC度数的一半；根据弦切角定理，弦切角$∠ CDE$的度数等于其所夹弧CD度数的一半。已知$∠ ABC+∠ CDE=235°$，因此$\frac{1}{2}×(\mathrm{弧ADC的度数}+\mathrm{弧CD的度数})=235°$，即弧ADC+弧CD=$470°$。
4. 弧ADC与弧CD相加时，重叠部分为弧CD，总度数等于整圆$360°$加弧AD的度数，因此弧AD的度数为$470°-360°=110°$，对应圆心角$∠ AOD=110°$。
5. 将$∠ AOD=110°$代入$∠ E + ∠ AOD=180°$，解得$∠ E=180°-110°=70°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；弦切角定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题核心是通过连接圆心与切点这条辅助线，建立所求角和圆心角的关系，再利用圆周角、弦切角与弧的对应关系求解，需要熟练掌握圆的基础性质，理清角和弧的对应逻辑。
【难度系数】
0.65
5.如图，PA，PB，CD是$\odot O$的切线，点A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若$∠ COD=65°$，则$∠ APB$的度数为（）
A.$45°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
A.$45°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察图形，已知多条圆的切线，优先联想到切线的性质与切线长定理：第一步，连接OA、OB，利用切线长定理可得OC平分∠AOE、OD平分∠BOE，由此推导∠AOB与∠COD的数量关系；第二步，根据切线的性质得到∠OAP、∠OBP为直角，结合四边形内角和为360°，代入∠AOB的度数即可求出∠APB的大小。
【解析】
连接OA、OB。
∵PA、CD是⊙O的切线，A、E为切点，
∴根据切线长定理，CA=CE，且OA⊥PA，OE⊥CD，
∴OC平分∠AOE，即∠AOC=∠COE，
同理可得：OD平分∠BOE，即∠BOD=∠DOE，
∴∠AOB=∠AOC+∠COE+∠DOE+∠BOD=2(∠COE+∠DOE)=2∠COD，
∵∠COD=65°，
∴∠AOB=2×65°=130°，
又
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
∵四边形OAPB内角和为360°，
∴∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-130°=50°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，切线的性质，四边形内角和
【点评】
本题是圆切线性质的基础应用题，解题核心是通过切线长定理得到角的倍分关系，再结合四边形内角和公式计算未知角，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形，已知多条圆的切线，优先联想到切线的性质与切线长定理：第一步，连接OA、OB，利用切线长定理可得OC平分∠AOE、OD平分∠BOE，由此推导∠AOB与∠COD的数量关系；第二步，根据切线的性质得到∠OAP、∠OBP为直角，结合四边形内角和为360°，代入∠AOB的度数即可求出∠APB的大小。
【解析】
连接OA、OB。
∵PA、CD是⊙O的切线，A、E为切点，
∴根据切线长定理，CA=CE，且OA⊥PA，OE⊥CD，
∴OC平分∠AOE，即∠AOC=∠COE，
同理可得：OD平分∠BOE，即∠BOD=∠DOE，
∴∠AOB=∠AOC+∠COE+∠DOE+∠BOD=2(∠COE+∠DOE)=2∠COD，
∵∠COD=65°，
∴∠AOB=2×65°=130°，
又
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
∵四边形OAPB内角和为360°，
∴∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-130°=50°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，切线的性质，四边形内角和
【点评】
本题是圆切线性质的基础应用题，解题核心是通过切线长定理得到角的倍分关系，再结合四边形内角和公式计算未知角，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
6.如图,正方形ABCD的边长为4.以正方形的一边BC为直径,在正方形ABCD内作半圆O,再过点A作半圆O的切线,与半圆O相切于点F,与DC相交于点E,则△ADE的面积为()
A.5
B.6
C.7
D.8
A.5
B.6
C.7
D.8
答案
B
解析
【分析】
本题是圆与正方形结合的求面积问题，解题思路如下：首先根据切线的判定可知AB、DC都是半圆O的切线，再结合AE是半圆O的切线，利用切线长定理得到相等的线段，将△ADE的三边用含同一未知数的式子表示，最后在Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解未知线段，代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=AD=DC=BC=4，∠D=∠B=∠C=90°，
∵BC是半圆O的直径，AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB、DC均为半圆O的切线，
又
∵AE切半圆O于点F，
根据切线长定理可得：AF=AB=4，EF=EC，
设EC=x，则EF=x，DE=DC-EC=4-x，AE=AF+EF=4+x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AD^2 + DE^2 = AE^2$
代入得：$4^2 + (4-x)^2 = (4+x)^2$
展开计算：
$16 + 16 - 8x + x^2 = 16 + 8x + x^2$
化简得：$16x=16$，解得$x=1$，
∴DE=4-1=3，
∴$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}×AD×DE=\frac{1}{2}×4×3=6$。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是利用切线长定理完成线段的等量转化，结合方程思想求解线段长度，这类题型是圆与多边形结合的常考题型，掌握切线长定理是解题核心。
【难度系数】
0.7
本题是圆与正方形结合的求面积问题，解题思路如下：首先根据切线的判定可知AB、DC都是半圆O的切线，再结合AE是半圆O的切线，利用切线长定理得到相等的线段，将△ADE的三边用含同一未知数的式子表示，最后在Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解未知线段，代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=AD=DC=BC=4，∠D=∠B=∠C=90°，
∵BC是半圆O的直径，AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB、DC均为半圆O的切线，
又
∵AE切半圆O于点F，
根据切线长定理可得：AF=AB=4，EF=EC，
设EC=x，则EF=x，DE=DC-EC=4-x，AE=AF+EF=4+x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AD^2 + DE^2 = AE^2$
代入得：$4^2 + (4-x)^2 = (4+x)^2$
展开计算：
$16 + 16 - 8x + x^2 = 16 + 8x + x^2$
化简得：$16x=16$，解得$x=1$，
∴DE=4-1=3，
∴$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}×AD×DE=\frac{1}{2}×4×3=6$。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是利用切线长定理完成线段的等量转化，结合方程思想求解线段长度，这类题型是圆与多边形结合的常考题型，掌握切线长定理是解题核心。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$AB$经过$A(3,0),B(0,4),\odot O$的半径为$2$,$O$为坐标原点,点$P$是直线$AB$上的一动点,过点$P$作$\odot O$的一条切线$PQ$,$Q$为切点,则切线长$PQ$的最小值为()
A.$\frac{2\sqrt{11}}{5}$
B.$2$
C.$3$
D.$\frac{2\sqrt{10}}{5}$
A.$\frac{2\sqrt{11}}{5}$
B.$2$
C.$3$
D.$\frac{2\sqrt{10}}{5}$
答案
A
解析
【分析】
首先根据切线的性质可知，切线PQ与半径OQ垂直，因此△OQP为直角三角形，结合勾股定理可得$PQ=\sqrt{OP^2-OQ^2}$，已知⊙O半径OQ为定值2，因此要使PQ最小，只需让OP的长度最小。点P在直线AB上，根据“垂线段最短”，OP的最小值为原点O到直线AB的垂线段长度，先求出OP的最小值，再代入勾股定理即可算出PQ的最小值。
【解析】
1. 连接$OQ$、$OP$，
∵$PQ$是$\odot O$的切线，$Q$为切点，
∴$OQ⊥ PQ$，即$△ OQP$为直角三角形。
由勾股定理得：$PQ^2=OP^2-OQ^2$，已知$\odot O$半径$OQ=2$，因此$PQ=\sqrt{OP^2-4}$，要使$PQ$最小，需$OP$取最小值。
2. 求$OP$的最小值：
已知$A(3,0)$，$B(0,4)$，则$OA=3$，$OB=4$，在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
过$O$作$OH⊥ AB$于$H$，根据垂线段最短，$OH$即为$OP$的最小值。
利用$△ AOB$面积相等：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}· AB· OH$，代入数值：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× OH$，解得$OH=\frac{12}{5}$，即$OP_{\mathrm{min}}=\frac{12}{5}$。
3. 计算最小$PQ$：
将$OP=\frac{12}{5}$代入$PQ=\sqrt{OP^2-4}$得：
$PQ=\sqrt{(\frac{12}{5})^2-2^2}=\sqrt{\frac{144}{25}-\frac{100}{25}}=\sqrt{\frac{44}{25}}=\frac{2\sqrt{11}}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，解题核心是将切线长的最值问题转化为点到直线的距离问题，很好地考查了转化思想和对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
首先根据切线的性质可知，切线PQ与半径OQ垂直，因此△OQP为直角三角形，结合勾股定理可得$PQ=\sqrt{OP^2-OQ^2}$，已知⊙O半径OQ为定值2，因此要使PQ最小，只需让OP的长度最小。点P在直线AB上，根据“垂线段最短”，OP的最小值为原点O到直线AB的垂线段长度，先求出OP的最小值，再代入勾股定理即可算出PQ的最小值。
【解析】
1. 连接$OQ$、$OP$，
∵$PQ$是$\odot O$的切线，$Q$为切点，
∴$OQ⊥ PQ$，即$△ OQP$为直角三角形。
由勾股定理得：$PQ^2=OP^2-OQ^2$，已知$\odot O$半径$OQ=2$，因此$PQ=\sqrt{OP^2-4}$，要使$PQ$最小，需$OP$取最小值。
2. 求$OP$的最小值：
已知$A(3,0)$，$B(0,4)$，则$OA=3$，$OB=4$，在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
过$O$作$OH⊥ AB$于$H$，根据垂线段最短，$OH$即为$OP$的最小值。
利用$△ AOB$面积相等：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}· AB· OH$，代入数值：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× OH$，解得$OH=\frac{12}{5}$，即$OP_{\mathrm{min}}=\frac{12}{5}$。
3. 计算最小$PQ$：
将$OP=\frac{12}{5}$代入$PQ=\sqrt{OP^2-4}$得：
$PQ=\sqrt{(\frac{12}{5})^2-2^2}=\sqrt{\frac{144}{25}-\frac{100}{25}}=\sqrt{\frac{44}{25}}=\frac{2\sqrt{11}}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，解题核心是将切线长的最值问题转化为点到直线的距离问题，很好地考查了转化思想和对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
8.如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，若PA=4，求△PCD的周长.
解:因为CD是⊙O的切线，PA，PB也是⊙O的切线，所以CE=AC，DE=.
△PCD的周长为PC+PD+CD=PC+PD+AC+BD=(PC+AC)+()=
2×.又因为PA=4，所以△PCD的周长为.
解:因为CD是⊙O的切线，PA，PB也是⊙O的切线，所以CE=AC，DE=.
△PCD的周长为PC+PD+CD=PC+PD+AC+BD=(PC+AC)+()=
2×.又因为PA=4，所以△PCD的周长为.
答案
解:因为CD是⊙O的切线，PA，PB也是⊙O的切线，所以CE=AC，DE=$\boldsymbol{BD}$.
△PCD的周长为PC+PD+CD=PC+PD+AC+BD=(PC+AC)+($\boldsymbol{PD+BD}$)=
$2× \boldsymbol{PA}$.又因为$PA=4$，所以$△ PCD$的周长为$\boldsymbol{8}$.
△PCD的周长为PC+PD+CD=PC+PD+AC+BD=(PC+AC)+($\boldsymbol{PD+BD}$)=
$2× \boldsymbol{PA}$.又因为$PA=4$，所以$△ PCD$的周长为$\boldsymbol{8}$.
解析
【分析】
解题可围绕切线长定理展开：首先回忆切线长定理内容：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。接着结合图形找相等的线段：点C引⊙O的两条切线为CA、CE，故CE=AC；点D引⊙O的两条切线为DB、DE，可得DE=BD；同时点P引⊙O的两条切线PA、PB长度相等。最后将△PCD的周长表达式中的CD拆分为CE+DE，替换后重新分组，就能把周长转化为PA与PB的和，代入PA的数值即可计算结果。
【解析】
根据切线长定理：
∵PA、PB为⊙O的切线，CD也为⊙O的切线，切点分别为A、B、E
∴同一点引出的两条切线长相等，即CE=AC，DE=BD，且PA=PB=4
△PCD的周长=PC+PD+CD
将CD替换为CE+DE=AC+BD，代入得：
周长=PC+PD+AC+BD
分组整理可得：=(PC+AC)+(PD+BD)
其中PC+AC=PA，PD+BD=PB，因此周长=PA+PB=2PA
代入PA=4，得周长=2×4=8
【答案】
BD；PD+BD；PA；8
【知识点】
切线长定理；周长等量代换
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考察切线长定理的使用，解题的关键是通过切线长相等完成周长的等量转化，熟练掌握定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题可围绕切线长定理展开：首先回忆切线长定理内容：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。接着结合图形找相等的线段：点C引⊙O的两条切线为CA、CE，故CE=AC；点D引⊙O的两条切线为DB、DE，可得DE=BD；同时点P引⊙O的两条切线PA、PB长度相等。最后将△PCD的周长表达式中的CD拆分为CE+DE，替换后重新分组，就能把周长转化为PA与PB的和，代入PA的数值即可计算结果。
【解析】
根据切线长定理：
∵PA、PB为⊙O的切线，CD也为⊙O的切线，切点分别为A、B、E
∴同一点引出的两条切线长相等，即CE=AC，DE=BD，且PA=PB=4
△PCD的周长=PC+PD+CD
将CD替换为CE+DE=AC+BD，代入得：
周长=PC+PD+AC+BD
分组整理可得：=(PC+AC)+(PD+BD)
其中PC+AC=PA，PD+BD=PB，因此周长=PA+PB=2PA
代入PA=4，得周长=2×4=8
【答案】
BD；PD+BD；PA；8
【知识点】
切线长定理；周长等量代换
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考察切线长定理的使用，解题的关键是通过切线长相等完成周长的等量转化，熟练掌握定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
