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例1 如图，PA，PB是$\odot O$的切线，若$∠ APB=40°$，下列说法不正确的是（）
A.$PA=PB$
B.$∠ APO=20°$
C.$∠ OBP=70°$
D.$∠ AOP=70°$
【思路导析】运用切线长定理来分析解答.
【请你解答】.
A.$PA=PB$
B.$∠ APO=20°$
C.$∠ OBP=70°$
D.$∠ AOP=70°$
【思路导析】运用切线长定理来分析解答.
【请你解答】.
答案
C
解析
【分析】
遇到从圆外一点引圆的两条切线的题型，首先回忆两个核心知识点：1.切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角；2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。接下来结合已知的∠APB=40°，逐个计算各选项涉及的线段长度和角度，判断正误，找出不正确的选项即可。
【解析】
∵PA、PB是$\odot O$的切线，
∴根据切线长定理可得：$PA=PB$，$PO$平分$∠APB$，因此A选项说法正确，不符合题意；
∵$∠APB=40°$，
∴$∠APO=∠BPO=\frac{1}{2}∠APB=\frac{1}{2}×40°=20°$，因此B选项说法正确，不符合题意；
根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得$∠OAP=∠OBP=90°$，因此C选项说$∠OBP=70°$，说法错误，符合题意；
在$Rt△ OAP$中，$∠OAP=90°$，$∠APO=20°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠AOP=180°-90°-20°=70°$，因此D选项说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理、切线的性质、三角形内角和
【点评】
这道题是切线相关性质的基础应用考题，解题的关键是熟练掌握切线长定理和切线的性质，结合三角形内角和计算角度即可快速判断选项。
【难度系数】
0.8
遇到从圆外一点引圆的两条切线的题型，首先回忆两个核心知识点：1.切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角；2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。接下来结合已知的∠APB=40°，逐个计算各选项涉及的线段长度和角度，判断正误，找出不正确的选项即可。
【解析】
∵PA、PB是$\odot O$的切线，
∴根据切线长定理可得：$PA=PB$，$PO$平分$∠APB$，因此A选项说法正确，不符合题意；
∵$∠APB=40°$，
∴$∠APO=∠BPO=\frac{1}{2}∠APB=\frac{1}{2}×40°=20°$，因此B选项说法正确，不符合题意；
根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得$∠OAP=∠OBP=90°$，因此C选项说$∠OBP=70°$，说法错误，符合题意；
在$Rt△ OAP$中，$∠OAP=90°$，$∠APO=20°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠AOP=180°-90°-20°=70°$，因此D选项说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理、切线的性质、三角形内角和
【点评】
这道题是切线相关性质的基础应用考题，解题的关键是熟练掌握切线长定理和切线的性质，结合三角形内角和计算角度即可快速判断选项。
【难度系数】
0.8
例2 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OP，OP长为2，∠APB＝120°，则⊙O的半径为()
A.1
B.2
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
【思路导析】由切线长定理可得∠AOP＝∠POB＝30°。
【请你解答】。
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
A.1
B.2
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
【思路导析】由切线长定理可得∠AOP＝∠POB＝30°。
【请你解答】。
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
C
解析
【分析】
解题时首先结合切线的性质得到直角三角形，再利用切线长定理求出角的度数，最后通过直角三角形的边角关系计算半径：第一步，根据切线垂直于过切点的半径，可得∠OAP=90°，△OAP为直角三角形；第二步，由切线长定理可知OP平分∠APB，结合已知∠APB=120°，可求出∠APO=60°；第三步，在Rt△OAP中，已知斜边OP长为2，借助三角函数或勾股定理即可求出半径OA的长度。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴OA⊥PA，OP平分∠APB
∴∠APO = $\frac{1}{2}$∠APB = $\frac{1}{2}$×120° = 60°
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，OP=2
∴$\sin∠ APO=\frac{OA}{OP}$
则$OA=OP·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
即⊙O的半径为$\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，切线长定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题核心是利用切线相关性质将已知条件转化到直角三角形中，再通过边角关系计算未知量，是圆与直角三角形结合的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合切线的性质得到直角三角形，再利用切线长定理求出角的度数，最后通过直角三角形的边角关系计算半径：第一步，根据切线垂直于过切点的半径，可得∠OAP=90°，△OAP为直角三角形；第二步，由切线长定理可知OP平分∠APB，结合已知∠APB=120°，可求出∠APO=60°；第三步，在Rt△OAP中，已知斜边OP长为2，借助三角函数或勾股定理即可求出半径OA的长度。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴OA⊥PA，OP平分∠APB
∴∠APO = $\frac{1}{2}$∠APB = $\frac{1}{2}$×120° = 60°
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，OP=2
∴$\sin∠ APO=\frac{OA}{OP}$
则$OA=OP·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
即⊙O的半径为$\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，切线长定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题核心是利用切线相关性质将已知条件转化到直角三角形中，再通过边角关系计算未知量，是圆与直角三角形结合的典型考法。
【难度系数】
0.7
例3 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD为半径的弧恰好与BC相切,切点为E,若AB=1,CD=3,求半径AD的长.
【探究点拨】由切线长定理可知∠ABD=∠EBD,再由AB//CD,可得DC=BC.
【规范解答】连接DB,DE.
∵ AD⊥AB,AD是⊙D的半径,
∴ AB是⊙D的切线.
∵ BC是⊙D的切线,
∴ DE⊥BC,AB=BE=1,∠ABD=∠EBD.
∵ AB//CD,
∴ ∠ABD=∠BDC.
∴ ∠EBD=∠BDC,
∴ DC=BC=3,
∴ EC=BC−BE=3−1=2.
在Rt△DEC中,DE=$\sqrt{3^2 - 2^2}$=$\sqrt{5}$,
若AB=1,CD=3,则半径AD=DE=$\sqrt{5}$.
【探究点拨】由切线长定理可知∠ABD=∠EBD,再由AB//CD,可得DC=BC.
【规范解答】连接DB,DE.
∵ AD⊥AB,AD是⊙D的半径,
∴ AB是⊙D的切线.
∵ BC是⊙D的切线,
∴ DE⊥BC,AB=BE=1,∠ABD=∠EBD.
∵ AB//CD,
∴ ∠ABD=∠BDC.
∴ ∠EBD=∠BDC,
∴ DC=BC=3,
∴ EC=BC−BE=3−1=2.
在Rt△DEC中,DE=$\sqrt{3^2 - 2^2}$=$\sqrt{5}$,
若AB=1,CD=3,则半径AD=DE=$\sqrt{5}$.
答案
解：连接DB，DE。
∵ $AD⊥ AB$，$AD$是$\odot D$的半径，
∴ $AB$是$\odot D$的切线。
∵ $BC$是$\odot D$的切线，
∴ $DE⊥ BC$，$AB=BE=1$，$∠ ABD=∠ EBD$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ ABD=∠ BDC$。
∴ $∠ EBD=∠ BDC$，
∴ $DC=BC=3$，
∴ $EC=BC-BE=3-1=2$。
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，由勾股定理得
$DE=\sqrt{CD^2-EC^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$，
∵ $AD$和$DE$都是$\odot D$的半径，
∴ $AD=DE=\sqrt{5}$。
∵ $AD⊥ AB$，$AD$是$\odot D$的半径，
∴ $AB$是$\odot D$的切线。
∵ $BC$是$\odot D$的切线，
∴ $DE⊥ BC$，$AB=BE=1$，$∠ ABD=∠ EBD$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ ABD=∠ BDC$。
∴ $∠ EBD=∠ BDC$，
∴ $DC=BC=3$，
∴ $EC=BC-BE=3-1=2$。
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，由勾股定理得
$DE=\sqrt{CD^2-EC^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$，
∵ $AD$和$DE$都是$\odot D$的半径，
∴ $AD=DE=\sqrt{5}$。
解析
【分析】
解题时首先结合题目中的切线条件思考辅助线的作法：连接DB、DE。首先根据切线的判定，由AD⊥AB且AD是⊙D半径，可得AB是⊙D的切线，结合BC也是⊙D的切线，可利用切线长定理得到AB=BE=1，且∠ABD=∠EBD。再结合AB//CD的条件，利用平行线内错角相等的性质，可得∠ABD=∠BDC，等量代换后得到∠EBD=∠BDC，可推出BC=CD=3，进而求出EC的长度。最后因为AD和DE都是⊙D的半径，所以AD=DE，在Rt△DEC中用勾股定理即可求出DE的长度，也就是AD的长。
【解析】
连接DB，DE。
∵ $AD⊥ AB$，$AD$是$\odot D$的半径，
∴ $AB$是$\odot D$的切线。
∵ $BC$是$\odot D$的切线，
∴ $DE⊥ BC$，$AB=BE=1$，$∠ ABD=∠ EBD$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ ABD=∠ BDC$。
∴ $∠ EBD=∠ BDC$，
∴ $DC=BC=3$，
∴ $EC=BC-BE=3-1=2$。
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，由勾股定理得
$DE=\sqrt{CD^2-EC^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$，
∵ $AD$和$DE$都是$\odot D$的半径，
∴ $AD=DE=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
切线长定理；平行线的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线，将切线条件、平行条件和直角三角形的性质串联起来，逐步推导得到未知线段的长度，需要熟练掌握各知识点之间的关联应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合题目中的切线条件思考辅助线的作法：连接DB、DE。首先根据切线的判定，由AD⊥AB且AD是⊙D半径，可得AB是⊙D的切线，结合BC也是⊙D的切线，可利用切线长定理得到AB=BE=1，且∠ABD=∠EBD。再结合AB//CD的条件，利用平行线内错角相等的性质，可得∠ABD=∠BDC，等量代换后得到∠EBD=∠BDC，可推出BC=CD=3，进而求出EC的长度。最后因为AD和DE都是⊙D的半径，所以AD=DE，在Rt△DEC中用勾股定理即可求出DE的长度，也就是AD的长。
【解析】
连接DB，DE。
∵ $AD⊥ AB$，$AD$是$\odot D$的半径，
∴ $AB$是$\odot D$的切线。
∵ $BC$是$\odot D$的切线，
∴ $DE⊥ BC$，$AB=BE=1$，$∠ ABD=∠ EBD$。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ ABD=∠ BDC$。
∴ $∠ EBD=∠ BDC$，
∴ $DC=BC=3$，
∴ $EC=BC-BE=3-1=2$。
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，由勾股定理得
$DE=\sqrt{CD^2-EC^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$，
∵ $AD$和$DE$都是$\odot D$的半径，
∴ $AD=DE=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
切线长定理；平行线的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线，将切线条件、平行条件和直角三角形的性质串联起来，逐步推导得到未知线段的长度，需要熟练掌握各知识点之间的关联应用。
【难度系数】
0.7
1.如图，AB为$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的一点，连接AC，BC，CD与$\odot O$相切于点C，过点B作$BD ⊥ CD$.若$∠ A = 40°$，则$∠ CBD$的度数为（）
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发：①看到AB是圆的直径，优先联想到直径所对的圆周角为直角，可先求出∠ABC的度数；②看到CD是圆的切线，联想到切线垂直于过切点的半径，因此连接辅助线OC，得到OC⊥CD；再结合BD⊥CD可推出OC与BD平行，利用平行线的内错角相等得到∠CBD和∠OCB的关系；最后结合OC=OB的等腰三角形性质，即可推导得出∠CBD的度数。
【解析】
连接OC，步骤如下：
1. 因为AB为$\odot O$的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得$∠ ACB=90°$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=40°$，因此$∠ ABC=90°-∠ A=90°-40°=50°$。
2. 因为CD与$\odot O$相切于点C，根据切线的性质，得$OC⊥ CD$。
又因为$BD⊥ CD$，垂直于同一直线的两条直线平行，因此$OC// BD$，根据两直线平行内错角相等，得$∠ CBD=∠ OCB$。
3. 因为OC、OB都是$\odot O$的半径，故$OC=OB$，$△ OCB$为等腰三角形，因此$∠ OCB=∠ ABC=50°$。
综上可得$∠ CBD=50°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；切线的性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是圆章节的常考基础题型，核心考查圆的基本性质的应用，解题关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、切线垂直于过切点的半径这两个常用性质，通过合理添加辅助线即可快速推导求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件出发：①看到AB是圆的直径，优先联想到直径所对的圆周角为直角，可先求出∠ABC的度数；②看到CD是圆的切线，联想到切线垂直于过切点的半径，因此连接辅助线OC，得到OC⊥CD；再结合BD⊥CD可推出OC与BD平行，利用平行线的内错角相等得到∠CBD和∠OCB的关系；最后结合OC=OB的等腰三角形性质，即可推导得出∠CBD的度数。
【解析】
连接OC，步骤如下：
1. 因为AB为$\odot O$的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得$∠ ACB=90°$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=40°$，因此$∠ ABC=90°-∠ A=90°-40°=50°$。
2. 因为CD与$\odot O$相切于点C，根据切线的性质，得$OC⊥ CD$。
又因为$BD⊥ CD$，垂直于同一直线的两条直线平行，因此$OC// BD$，根据两直线平行内错角相等，得$∠ CBD=∠ OCB$。
3. 因为OC、OB都是$\odot O$的半径，故$OC=OB$，$△ OCB$为等腰三角形，因此$∠ OCB=∠ ABC=50°$。
综上可得$∠ CBD=50°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；切线的性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是圆章节的常考基础题型，核心考查圆的基本性质的应用，解题关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、切线垂直于过切点的半径这两个常用性质，通过合理添加辅助线即可快速推导求解。
【难度系数】
0.7
2.如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB=60°。
(1)求∠BAC的度数；
(2)若PA=1，求点O到弦AB的距离。
(1)求∠BAC的度数；
(2)若PA=1，求点O到弦AB的距离。
答案
解：
(1) ∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA = PB，PA⊥AC，即∠PAC = 90°。
∵∠APB = 60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠PAB = 60°，
∴∠BAC = ∠PAC - ∠PAB = 90° - 60° = 30°。
(2) 过点O作OD⊥AB于点D，
由(1)知△PAB是等边三角形，
∴AB = PA = 1，
∵OD⊥AB，
∴AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$。
在Rt△AOD中，∠OAD = 30°，∠ODA = 90°，
∴OD = AD·tan30° = $\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$，
即点O到弦AB的距离为$\frac{\sqrt{3}}{6}$。
(1) ∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA = PB，PA⊥AC，即∠PAC = 90°。
∵∠APB = 60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠PAB = 60°，
∴∠BAC = ∠PAC - ∠PAB = 90° - 60° = 30°。
(2) 过点O作OD⊥AB于点D，
由(1)知△PAB是等边三角形，
∴AB = PA = 1，
∵OD⊥AB，
∴AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$。
在Rt△AOD中，∠OAD = 30°，∠ODA = 90°，
∴OD = AD·tan30° = $\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$，
即点O到弦AB的距离为$\frac{\sqrt{3}}{6}$。
解析
【分析】
(1) 求∠BAC的度数，观察图形可得∠BAC=∠PAC-∠PAB。首先根据切线的性质，PA切⊙O于A，因此PA⊥AC，即∠PAC=90°，只需算出∠PAB的度数即可；再由切线长定理可知PA=PB，结合∠APB=60°，可判定△PAB是等边三角形，得到∠PAB=60°，代入计算即可求出∠BAC。
(2) 求点O到弦AB的距离，过O作OD⊥AB于D，OD即为所求距离。首先由等边三角形的性质得AB=PA=1，再根据垂径定理可得AD=$\frac{1}{2}$AB，最后在Rt△OAD中，利用∠OAD=30°的三角函数关系即可算出OD的长度。
【解析】
(1)
∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA = PB，PA⊥AC，即∠PAC = 90°。
∵∠APB = 60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠PAB = 60°，
∴∠BAC = ∠PAC - ∠PAB = 90° - 60° = 30°。
(2) 过点O作OD⊥AB于点D，
由(1)知△PAB是等边三角形，
∴AB = PA = 1，
∵OD⊥AB，
∴AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$。
在Rt△AOD中，∠OAD = 30°，∠ODA = 90°，
∴OD = AD·tan30° = $\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$，
即点O到弦AB的距离为$\frac{\sqrt{3}}{6}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；(2) $\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{6}}$
【知识点】
切线的性质，切线长定理，垂径定理
【点评】
本题是圆的切线相关的典型基础题，综合考查了切线性质、切线长定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理和解直角三角形的知识，解题的关键是熟练掌握切线相关的性质定理，结合三角形的性质逐步推导求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠BAC的度数，观察图形可得∠BAC=∠PAC-∠PAB。首先根据切线的性质，PA切⊙O于A，因此PA⊥AC，即∠PAC=90°，只需算出∠PAB的度数即可；再由切线长定理可知PA=PB，结合∠APB=60°，可判定△PAB是等边三角形，得到∠PAB=60°，代入计算即可求出∠BAC。
(2) 求点O到弦AB的距离，过O作OD⊥AB于D，OD即为所求距离。首先由等边三角形的性质得AB=PA=1，再根据垂径定理可得AD=$\frac{1}{2}$AB，最后在Rt△OAD中，利用∠OAD=30°的三角函数关系即可算出OD的长度。
【解析】
(1)
∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA = PB，PA⊥AC，即∠PAC = 90°。
∵∠APB = 60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠PAB = 60°，
∴∠BAC = ∠PAC - ∠PAB = 90° - 60° = 30°。
(2) 过点O作OD⊥AB于点D，
由(1)知△PAB是等边三角形，
∴AB = PA = 1，
∵OD⊥AB，
∴AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$。
在Rt△AOD中，∠OAD = 30°，∠ODA = 90°，
∴OD = AD·tan30° = $\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$，
即点O到弦AB的距离为$\frac{\sqrt{3}}{6}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；(2) $\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{6}}$
【知识点】
切线的性质，切线长定理，垂径定理
【点评】
本题是圆的切线相关的典型基础题，综合考查了切线性质、切线长定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理和解直角三角形的知识，解题的关键是熟练掌握切线相关的性质定理，结合三角形的性质逐步推导求解。
【难度系数】
0.7
