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1. 如图所示的图形的面积为24,则x的值为
单位：cm
4
。单位：cm
答案
观察题图可知,该图形是一个边长为x + 1的正方形截去一个边长为1的小正方形剩下的图形. 根据题意,得(x + 1)² - 1² = 24,解得x₁ = 4,x₂ = -6(不合题意,舍去),
∴ x 的值为4.
∴ x 的值为4.
解析
【分析】
求解本题的核心是把不规则图形的面积转化为规则图形的面积差。首先观察图形特征，可将原图形补成边长为$x+1$的大正方形，不难发现原图形是大正方形截去一个边长为1的小正方形得到的，因此原图形面积等于大正方形面积减去小正方形面积。结合已知面积为24的条件列出一元二次方程，解方程后根据长度为正的实际意义舍去不合要求的根，即可得到x的值。
【解析】
由图可知，该图形的面积等价于边长为$x+1$的大正方形面积减去边长为1的小正方形面积。
根据题意列方程：
$(x+1)^2 - 1^2 = 24$
整理得：
$(x+1)^2 = 25$
开平方得：
$x+1 = 5$ 或 $x+1 = -5$
解得：$x_1=4$，$x_2=-6$
因为x表示线段长度，为正数，故$x=-6$不符合题意，舍去。
【答案】
4
【知识点】
割补法求面积，一元二次方程的应用
【点评】
本题是几何与方程结合的基础题，解题关键是利用割补法将不规则图形转化为规则图形建立等量关系，要注意实际问题中未知数的取值需符合实际意义，需对求解出的方程根进行检验取舍。
【难度系数】
0.7
求解本题的核心是把不规则图形的面积转化为规则图形的面积差。首先观察图形特征，可将原图形补成边长为$x+1$的大正方形，不难发现原图形是大正方形截去一个边长为1的小正方形得到的，因此原图形面积等于大正方形面积减去小正方形面积。结合已知面积为24的条件列出一元二次方程，解方程后根据长度为正的实际意义舍去不合要求的根，即可得到x的值。
【解析】
由图可知，该图形的面积等价于边长为$x+1$的大正方形面积减去边长为1的小正方形面积。
根据题意列方程：
$(x+1)^2 - 1^2 = 24$
整理得：
$(x+1)^2 = 25$
开平方得：
$x+1 = 5$ 或 $x+1 = -5$
解得：$x_1=4$，$x_2=-6$
因为x表示线段长度，为正数，故$x=-6$不符合题意，舍去。
【答案】
4
【知识点】
割补法求面积，一元二次方程的应用
【点评】
本题是几何与方程结合的基础题，解题关键是利用割补法将不规则图形转化为规则图形建立等量关系，要注意实际问题中未知数的取值需符合实际意义，需对求解出的方程根进行检验取舍。
【难度系数】
0.7
2. 教材问题变式 [2025合肥五十中期中] 将一个容积为$360\ \mathrm{cm}^3$的长方体包装盒剪开铺平，纸样如图所示，则$x$的值为
4或6
。答案
由题意可得,长方体的高为15 cm,宽(或长)为x cm,长(或宽)为[(20 - 2x) ÷ 2] = (10 - x) cm,则列出的方程为15x(10 - x) = 360,解得x₁ = 4,x₂ = 6.
解析
【分析】
解决本题首先要明确长方体容积公式为容积=长×宽×高。先从展开图中提取棱长信息：可直接得到长方体的高为15cm；再观察横向总长度20cm，它由2个x和2个底面的另一条边长组成，可推导出底面另一条边长为$(20-2x)÷2=10-x$ cm；最后结合已知容积360cm³，代入公式列一元二次方程求解，注意最终的解要满足棱长为正的实际要求。
【解析】
解：由展开图可得，长方体的高为15 cm，其中一条底面边长为$x$ cm，
另一条底面边长为：$\frac{20-2x}{2}=10-x$（cm）。
根据长方体容积公式列方程：
$15x(10-x)=360$
两边同时除以15化简得：
$x(10-x)=24$
整理为一元二次方程标准形式：
$x^2-10x+24=0$
因式分解得：
$(x-4)(x-6)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=6$。
验证：当$x=4$时，$10-x=6＞0$；当$x=6$时，$10-x=4＞0$，均符合棱长为正的实际意义。
【答案】
4或6
【知识点】
一元二次方程应用；长方体展开图；长方体容积计算
【点评】
本题结合几何展开图考查方程的实际应用，解题核心是准确从展开图中梳理出各棱长的数量关系，求出的解要注意验证是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确长方体容积公式为容积=长×宽×高。先从展开图中提取棱长信息：可直接得到长方体的高为15cm；再观察横向总长度20cm，它由2个x和2个底面的另一条边长组成，可推导出底面另一条边长为$(20-2x)÷2=10-x$ cm；最后结合已知容积360cm³，代入公式列一元二次方程求解，注意最终的解要满足棱长为正的实际要求。
【解析】
解：由展开图可得，长方体的高为15 cm，其中一条底面边长为$x$ cm，
另一条底面边长为：$\frac{20-2x}{2}=10-x$（cm）。
根据长方体容积公式列方程：
$15x(10-x)=360$
两边同时除以15化简得：
$x(10-x)=24$
整理为一元二次方程标准形式：
$x^2-10x+24=0$
因式分解得：
$(x-4)(x-6)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=6$。
验证：当$x=4$时，$10-x=6＞0$；当$x=6$时，$10-x=4＞0$，均符合棱长为正的实际意义。
【答案】
4或6
【知识点】
一元二次方程应用；长方体展开图；长方体容积计算
【点评】
本题结合几何展开图考查方程的实际应用，解题核心是准确从展开图中梳理出各棱长的数量关系，求出的解要注意验证是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
3. 教材习题变式 [2025 南充顺庆区月考] 如图,老李想用长为70 m 的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈 ABCD,并在边 BC上留一个2 m 宽的门(建在 EF 处,另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈?
(2)羊圈的面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈?
(2)羊圈的面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
答案
解:(1)设AB = x m,则BC = 70 - 2x + 2 = (72 - 2x) m.
根据题意,得x(72 - 2x) = 640,解得x₁ = 16,x₂ = 20.
当x = 16时,72 - 2x = 72 - 32 = 40;
当x = 20时,72 - 2x = 72 - 40 = 32.
答:当羊圈的长为40 m、宽为16 m 或长为32 m、宽为20 m时,能围成一个面积为640 m²的羊圈.
(2)不能. 理由如下:
由题意得,x(72 - 2x) = 650,整理,得x² - 36x + 325 = 0.
∵ Δ = (-36)² - 4×325 = -4 ＜ 0,
∴ 该方程没有实数根,
∴ 羊圈的面积不能达到650 m².
根据题意,得x(72 - 2x) = 640,解得x₁ = 16,x₂ = 20.
当x = 16时,72 - 2x = 72 - 32 = 40;
当x = 20时,72 - 2x = 72 - 40 = 32.
答:当羊圈的长为40 m、宽为16 m 或长为32 m、宽为20 m时,能围成一个面积为640 m²的羊圈.
(2)不能. 理由如下:
由题意得,x(72 - 2x) = 650,整理,得x² - 36x + 325 = 0.
∵ Δ = (-36)² - 4×325 = -4 ＜ 0,
∴ 该方程没有实数根,
∴ 羊圈的面积不能达到650 m².
解析
【分析】
本题是一元二次方程在实际面积问题中的应用，解题思路如下：
1. 第一问：首先明确栅栏仅围矩形的3条边，且BC边2m宽的门不需要使用本题给出的栅栏。设垂直于外墙的边长AB为x m，那么平行于外墙的边长BC的长度=栅栏总长度-2条垂直边的长度+门的宽度，即(72-2x)m，再根据“矩形面积=长×宽”列方程求解，最后验证解的合理性即可。
2. 第二问：和第一问同理列方程，将面积替换为650m²，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式≥0则面积能达到，否则不能达到。
【解析】
(1) 设垂直于外墙的边AB的长度为x m，则平行于外墙的边BC的长度为$70 - 2x + 2 = (72 - 2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式列方程：
$x(72 - 2x) = 640$
整理得$x^2 - 36x + 320 = 0$，解得$x_1=16$，$x_2=20$。
当$x=16$时，$BC=72 - 2×16 = 40\ \mathrm{m}$；
当$x=20$时，$BC=72 - 2×20 = 32\ \mathrm{m}$。
(2) 不能达到$650\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
假设面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(72 - 2x) = 650$
整理得$x^2 - 36x + 325 = 0$。
计算根的判别式：$\Delta = (-36)^2 - 4×1×325 = 1296 - 1300 = -4 ＜ 0$，
因此该一元二次方程没有实数根，即羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时，能围成面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈；
(2) 羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程应用，根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题结合生活中围栏搭建的实际场景出题，解题的易错点是容易忽略门的宽度不需要占用给定栅栏长度，从而错误表示平行于墙的边长；第二问利用一元二次方程根的判别式判断方案是否可行，体现了方程思想在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程在实际面积问题中的应用，解题思路如下：
1. 第一问：首先明确栅栏仅围矩形的3条边，且BC边2m宽的门不需要使用本题给出的栅栏。设垂直于外墙的边长AB为x m，那么平行于外墙的边长BC的长度=栅栏总长度-2条垂直边的长度+门的宽度，即(72-2x)m，再根据“矩形面积=长×宽”列方程求解，最后验证解的合理性即可。
2. 第二问：和第一问同理列方程，将面积替换为650m²，通过计算一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式≥0则面积能达到，否则不能达到。
【解析】
(1) 设垂直于外墙的边AB的长度为x m，则平行于外墙的边BC的长度为$70 - 2x + 2 = (72 - 2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式列方程：
$x(72 - 2x) = 640$
整理得$x^2 - 36x + 320 = 0$，解得$x_1=16$，$x_2=20$。
当$x=16$时，$BC=72 - 2×16 = 40\ \mathrm{m}$；
当$x=20$时，$BC=72 - 2×20 = 32\ \mathrm{m}$。
(2) 不能达到$650\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
假设面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(72 - 2x) = 650$
整理得$x^2 - 36x + 325 = 0$。
计算根的判别式：$\Delta = (-36)^2 - 4×1×325 = 1296 - 1300 = -4 ＜ 0$，
因此该一元二次方程没有实数根，即羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时，能围成面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈；
(2) 羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程应用，根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题结合生活中围栏搭建的实际场景出题，解题的易错点是容易忽略门的宽度不需要占用给定栅栏长度，从而错误表示平行于墙的边长；第二问利用一元二次方程根的判别式判断方案是否可行，体现了方程思想在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.7
4. [2026绥化北林区期末]某工厂生产某种产品，今年的产量为200件，计划通过技术改革，使得之后两年的产量逐年增加，这三年的总产量达到1400件。设每年的平均增长率为x，则可列方程为（
A.$200(1+x)^2 = 1400$
B.$200 + 200(1+x)^2 = 1400$
C.$200(1+x) + 200(1+x)^2 = 1400$
D.$200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 1400$
D
）A.$200(1+x)^2 = 1400$
B.$200 + 200(1+x)^2 = 1400$
C.$200(1+x) + 200(1+x)^2 = 1400$
D.$200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 1400$
答案
根据题意得,今年的产量为200件,明年的产量为200(1 + x)件,后年的产量为200(1 + x)²件,且这三年的总产量为1 400件,故可列方程为200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)² = 1 400.
解析
【分析】
解题时首先要明确题目所求为三年总产量对应的方程，核心是先分别表示出三年各自的产量：已知今年产量为200件，按照平均增长率x的定义，第二年（明年）的产量是今年产量乘以(1+x)，第三年（后年）的产量是第二年产量再乘以(1+x)；再根据“三年总产量为1400件”的等量关系，将三年产量相加等于1400即可列出方程，注意不要漏算今年的产量。
【解析】
第一步：表示各年的产量
①今年产量：题目直接给出为200件；
②明年产量：在今年基础上增长x，因此为$200(1+x)$件；
③后年产量：在明年基础上再增长x，因此为$200(1+x) × (1+x) = 200(1+x)^2$件。
第二步：根据总产量列方程
三年总产量为1400件，即三年产量之和等于1400，因此列方程：
$200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 1400$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
平均增长率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类应用题的常见基础题型，解题关键是准确根据增长率的定义写出不同时期的量，同时要注意题干中“总产量”是各年数量的和，避免遗漏初始年份的量选错选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确题目所求为三年总产量对应的方程，核心是先分别表示出三年各自的产量：已知今年产量为200件，按照平均增长率x的定义，第二年（明年）的产量是今年产量乘以(1+x)，第三年（后年）的产量是第二年产量再乘以(1+x)；再根据“三年总产量为1400件”的等量关系，将三年产量相加等于1400即可列出方程，注意不要漏算今年的产量。
【解析】
第一步：表示各年的产量
①今年产量：题目直接给出为200件；
②明年产量：在今年基础上增长x，因此为$200(1+x)$件；
③后年产量：在明年基础上再增长x，因此为$200(1+x) × (1+x) = 200(1+x)^2$件。
第二步：根据总产量列方程
三年总产量为1400件，即三年产量之和等于1400，因此列方程：
$200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 1400$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
平均增长率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率类应用题的常见基础题型，解题关键是准确根据增长率的定义写出不同时期的量，同时要注意题干中“总产量”是各年数量的和，避免遗漏初始年份的量选错选项。
【难度系数】
0.8
5. [2026营口期末]某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销,这款帐篷原来的价格是每套300元,经过两次降价后,变为每套243元.若该店铺两次降价的百分率相同,则该款帐篷价格每次下降的百分率为
10%
.答案
设每次降价的百分率为x,则300(1 - x)² = 243,解得x₁ = 0.1 = 10% ,x₂ = 1.9(舍去)(注意:降低率和增长率都为正数,且不大于100% ),故该款帐篷价格每次下降10%.
解析
【分析】
这是平均下降率的实际应用问题，解题思路如下：首先明确平均变化率的等量关系：若商品原价为a，每次下降的百分率为x，经过两次降价后的价格为$a(1-x)^2$。本题已知帐篷原价和两次降价后的售价，我们可以先设每次下降的百分率为x，代入等量关系列出一元二次方程，求解后根据下降率的实际意义（大于0且小于1）舍去不符合要求的根，即可得到正确结果。
【解析】
设该款帐篷价格每次下降的百分率为x。
第一次降价后的价格为$300(1-x)$元，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降x，因此两次降价后的价格为$300(1-x)^2$元，根据题意列方程：
$300(1 - x)^2 = 243$
方程两边同时除以300，得：$(1 - x)^2 = 0.81$
开平方，得：$1 - x = ±0.9$
解得：$x_1 = 0.1 = 10\%$，$x_2 = 1.9$
由于下降的百分率需满足大于0且小于1，因此$x_2=1.9$不符合实际意义，舍去。
【答案】
10%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率类的基础应用题，解题核心是牢记变化率的计算公式，同时注意求解后需结合实际情况对一元二次方程的根进行取舍，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.8
这是平均下降率的实际应用问题，解题思路如下：首先明确平均变化率的等量关系：若商品原价为a，每次下降的百分率为x，经过两次降价后的价格为$a(1-x)^2$。本题已知帐篷原价和两次降价后的售价，我们可以先设每次下降的百分率为x，代入等量关系列出一元二次方程，求解后根据下降率的实际意义（大于0且小于1）舍去不符合要求的根，即可得到正确结果。
【解析】
设该款帐篷价格每次下降的百分率为x。
第一次降价后的价格为$300(1-x)$元，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降x，因此两次降价后的价格为$300(1-x)^2$元，根据题意列方程：
$300(1 - x)^2 = 243$
方程两边同时除以300，得：$(1 - x)^2 = 0.81$
开平方，得：$1 - x = ±0.9$
解得：$x_1 = 0.1 = 10\%$，$x_2 = 1.9$
由于下降的百分率需满足大于0且小于1，因此$x_2=1.9$不符合实际意义，舍去。
【答案】
10%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率类的基础应用题，解题核心是牢记变化率的计算公式，同时注意求解后需结合实际情况对一元二次方程的根进行取舍，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.8
6. 教材问题变式 [2026大连期末]某芯片公司引进了一条内存芯片生产线,开工第一季度生产芯片64万个,第三季度生产芯片100万个.
(1)求该芯片公司生产量的季度平均增长率.
(2)按照(1)中的平均增长率,该公司期望第四季度的芯片生产量达到130万个,该目标能否实现?请说明理由.
(1)求该芯片公司生产量的季度平均增长率.
(2)按照(1)中的平均增长率,该公司期望第四季度的芯片生产量达到130万个,该目标能否实现?请说明理由.
答案
解:(1)设该芯片公司生产量的季度平均增长率为x,
根据题意,得64(1 + x)² = 100,
解得x₁ = 1/4 = 25% ,x₂ = -9/4(舍去).
答:该芯片公司生产量的季度平均增长率为25%.
(2)不能实现. 理由如下:
该公司第四季度的芯片生产量为100 × (1 + 25% ) = 125(万个),
125 ＜ 130,故该目标不能实现.
根据题意,得64(1 + x)² = 100,
解得x₁ = 1/4 = 25% ,x₂ = -9/4(舍去).
答:该芯片公司生产量的季度平均增长率为25%.
(2)不能实现. 理由如下:
该公司第四季度的芯片生产量为100 × (1 + 25% ) = 125(万个),
125 ＜ 130,故该目标不能实现.
解析
【分析】
(1) 本题为平均增长率类应用题，解题思路如下：首先设季度平均增长率为x，已知第一季度产量为初始量64万个，从第一季度到第三季度共经过2个季度，根据平均增长率的通用公式“n期后产量=初始产量×(1+增长率)^n”即可列出一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际要求，舍去不符合题意的负根，就能得到平均增长率。
(2) 要判断目标能否实现，只需用第三季度的产量乘以(1+平均增长率)计算出第四季度的预计产量，再将预计产量和130万个比较大小，即可得出结论。
【解析】
(1) 设该芯片公司生产量的季度平均增长率为x，
根据题意列方程得：$64(1 + x)^2 = 100$
对方程进行求解：
$(1+x)^2=\frac{100}{64}$
开平方得$1+x=\pm\frac{5}{4}$
解得$x_1=\frac{1}{4}=25\%$，$x_2=-\frac{9}{4}$
由于增长率不能为负数，因此舍去$x_2=-\frac{9}{4}$。
答：该芯片公司生产量的季度平均增长率为25%。
(2) 该目标不能实现，理由如下：
按照(1)中求得的平均增长率，第四季度的芯片生产量为：
$100×(1+25\%)=125$（万个）
因为$125＜130$，所以该目标无法实现。
【答案】
(1) 该芯片公司生产量的季度平均增长率为25%；(2) 不能实现。
【知识点】
平均增长率问题，一元二次方程的应用，有理数大小比较
【点评】
本题是结合产业生产实际的应用型题目，考察学生列方程解决实际问题的能力，解题时需注意增长次数的准确判断，以及对求解结果的实际意义校验，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 本题为平均增长率类应用题，解题思路如下：首先设季度平均增长率为x，已知第一季度产量为初始量64万个，从第一季度到第三季度共经过2个季度，根据平均增长率的通用公式“n期后产量=初始产量×(1+增长率)^n”即可列出一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际要求，舍去不符合题意的负根，就能得到平均增长率。
(2) 要判断目标能否实现，只需用第三季度的产量乘以(1+平均增长率)计算出第四季度的预计产量，再将预计产量和130万个比较大小，即可得出结论。
【解析】
(1) 设该芯片公司生产量的季度平均增长率为x，
根据题意列方程得：$64(1 + x)^2 = 100$
对方程进行求解：
$(1+x)^2=\frac{100}{64}$
开平方得$1+x=\pm\frac{5}{4}$
解得$x_1=\frac{1}{4}=25\%$，$x_2=-\frac{9}{4}$
由于增长率不能为负数，因此舍去$x_2=-\frac{9}{4}$。
答：该芯片公司生产量的季度平均增长率为25%。
(2) 该目标不能实现，理由如下：
按照(1)中求得的平均增长率，第四季度的芯片生产量为：
$100×(1+25\%)=125$（万个）
因为$125＜130$，所以该目标无法实现。
【答案】
(1) 该芯片公司生产量的季度平均增长率为25%；(2) 不能实现。
【知识点】
平均增长率问题，一元二次方程的应用，有理数大小比较
【点评】
本题是结合产业生产实际的应用型题目，考察学生列方程解决实际问题的能力，解题时需注意增长次数的准确判断，以及对求解结果的实际意义校验，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
