登录
7. [2026上海普陀区期末]小明的爸爸买了某银行的低风险理财产品(该理财产品分两次取回)，本金为10 000元，1年后返还5 110元，2年后返还5 250元.设该理财产品的收益率为x，则可列方程为 (
A.$10\ 000(1 + x)^2 = 5\ 110 + 5\ 250$
B.$10\ 000(1 + x) + 10\ 000(1 + 2x) = 5\ 110 + 5\ 250$
C.$\frac{5\ 110 + 5\ 250}{(1 + 2x)^2} = 10\ 000$
D.$\frac{5\ 110}{1 + x} + \frac{5\ 250}{(1 + x)^2} = 10\ 000$
A
)A.$10\ 000(1 + x)^2 = 5\ 110 + 5\ 250$
B.$10\ 000(1 + x) + 10\ 000(1 + 2x) = 5\ 110 + 5\ 250$
C.$\frac{5\ 110 + 5\ 250}{(1 + 2x)^2} = 10\ 000$
D.$\frac{5\ 110}{1 + x} + \frac{5\ 250}{(1 + x)^2} = 10\ 000$
答案
根据题意得,一年后该款理财产品的本金和收益共为10 000(1 + x)元(本金为10 000元,收益为10 000x 元),两年后该款理财产品的本金和收益共为10 000(1 + x)²元,故可列方程为10 000(1 + x)² = 5 110 + 5 250.
解析
【分析】
首先明确该理财产品的收益率为年化复利收益率，即每一年的本利和都是上一年本利和的(1+x)倍。解题的核心是找到等量关系：本金经过2年复利计息后的总本利和，等于两次取回的金额之和。我们先计算2年后的总本利和，再计算总共取回的金额，令两者相等即可列出对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
已知本金为10000元，年化收益率为x：
1. 1年后的本利和为$10000(1+x)$元；
2. 2年后的总本利和是在1年本利和的基础上再计息1年，即$10000(1+x)^2$元；
3. 两次取回的总金额为$5110 + 5250$元；
因为2年后的总本利和等于两次取回的总金额，因此可列方程：
$10000(1+x)^2 = 5110 + 5250$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
复利增长率问题、列一元二次方程
【点评】
本题属于利率类应用题，解题的关键是掌握复利计息下本利和的计算公式，准确找到题目中的等量关系，避免混淆单利和复利的计算方式。
【难度系数】
0.7
首先明确该理财产品的收益率为年化复利收益率，即每一年的本利和都是上一年本利和的(1+x)倍。解题的核心是找到等量关系：本金经过2年复利计息后的总本利和，等于两次取回的金额之和。我们先计算2年后的总本利和，再计算总共取回的金额，令两者相等即可列出对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
已知本金为10000元，年化收益率为x：
1. 1年后的本利和为$10000(1+x)$元；
2. 2年后的总本利和是在1年本利和的基础上再计息1年，即$10000(1+x)^2$元；
3. 两次取回的总金额为$5110 + 5250$元；
因为2年后的总本利和等于两次取回的总金额，因此可列方程：
$10000(1+x)^2 = 5110 + 5250$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
复利增长率问题、列一元二次方程
【点评】
本题属于利率类应用题，解题的关键是掌握复利计息下本利和的计算公式，准确找到题目中的等量关系，避免混淆单利和复利的计算方式。
【难度系数】
0.7
8. 教材问题变式 [2025 保定莲池区爱和城学校月考] 某景点有一个长、宽分别为20 m和12 m的矩形水池ABCD，现要在该水池中建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭和连接观赏亭的四条道路. 如图，道路的宽相等，其中两条与AB平行，另两条与BC平行. 已知道路的宽为正方形边长的$\frac{1}{4}$，若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的$\frac{1}{6}$，则道路的宽为
1
m. 答案
设道路的宽为x m,则正方形的边长4x m,
∴ x(12 - 4x) + x(20 - 4x) + 16x² = 1/6 × 20 × 12,
∴ x² + 4x - 5 = 0,解得x₁ = 1,x₂ = -5(舍去).
∴ x(12 - 4x) + x(20 - 4x) + 16x² = 1/6 × 20 × 12,
∴ x² + 4x - 5 = 0,解得x₁ = 1,x₂ = -5(舍去).
解析
【分析】
解题时先根据道路宽与正方形边长的数量关系设未知数，再分别表示出道路和观赏亭的面积，结合面积等量关系列方程求解即可。①设未知数：根据“道路的宽为正方形边长的$\frac{1}{4}$”，设道路宽为$x$ m，则正方形边长为$4x$ m；②算阴影面积：两条与AB平行的竖直道路，除去与正方形重叠的部分，总长度为矩形的宽减去正方形边长，即$(12-4x)$ m，这部分道路面积为$x(12-4x)$；两条与BC平行的水平道路，除去与正方形重叠的部分，总长度为矩形的长减去正方形边长，即$(20-4x)$ m，这部分道路面积为$x(20-4x)$；再加上正方形观赏亭的面积$(4x)^2$，即可得到道路与观赏亭的总面积；③列方程：根据总面积是原矩形面积的$\frac{1}{6}$列方程，求解后舍去不符合实际的负根即可。
【解析】
设道路的宽为$x$ m，则正方形观赏亭的边长为$4x$ m。
根据题意，道路与观赏亭的总面积为原矩形水池面积的$\frac{1}{6}$，可列方程：
$x(12-4x) + x(20-4x) + (4x)^2 = \frac{1}{6} × 20 × 12$
整理方程：
$12x - 4x^2 + 20x - 4x^2 + 16x^2 = 40$
$8x^2 + 32x - 40 = 0$
两边同时除以8得：
$x^2 + 4x - 5 = 0$
因式分解得：
$(x+5)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-5$。
因为道路宽度不能为负数，故舍去$x=-5$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；实际问题解方程
【点评】
本题属于面积类的一元二次方程实际应用题，解题的关键是避免重复计算道路与正方形重叠的部分，同时要注意结合实际意义对根进行取舍，能有效考查学生建立方程模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题时先根据道路宽与正方形边长的数量关系设未知数，再分别表示出道路和观赏亭的面积，结合面积等量关系列方程求解即可。①设未知数：根据“道路的宽为正方形边长的$\frac{1}{4}$”，设道路宽为$x$ m，则正方形边长为$4x$ m；②算阴影面积：两条与AB平行的竖直道路，除去与正方形重叠的部分，总长度为矩形的宽减去正方形边长，即$(12-4x)$ m，这部分道路面积为$x(12-4x)$；两条与BC平行的水平道路，除去与正方形重叠的部分，总长度为矩形的长减去正方形边长，即$(20-4x)$ m，这部分道路面积为$x(20-4x)$；再加上正方形观赏亭的面积$(4x)^2$，即可得到道路与观赏亭的总面积；③列方程：根据总面积是原矩形面积的$\frac{1}{6}$列方程，求解后舍去不符合实际的负根即可。
【解析】
设道路的宽为$x$ m，则正方形观赏亭的边长为$4x$ m。
根据题意，道路与观赏亭的总面积为原矩形水池面积的$\frac{1}{6}$，可列方程：
$x(12-4x) + x(20-4x) + (4x)^2 = \frac{1}{6} × 20 × 12$
整理方程：
$12x - 4x^2 + 20x - 4x^2 + 16x^2 = 40$
$8x^2 + 32x - 40 = 0$
两边同时除以8得：
$x^2 + 4x - 5 = 0$
因式分解得：
$(x+5)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-5$。
因为道路宽度不能为负数，故舍去$x=-5$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；实际问题解方程
【点评】
本题属于面积类的一元二次方程实际应用题，解题的关键是避免重复计算道路与正方形重叠的部分，同时要注意结合实际意义对根进行取舍，能有效考查学生建立方程模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
9. 教材习题变式 [2024 绵阳中考] 超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元. 因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4,5月份按照相同的降价率r连续降价. 已知5月份礼盒的售价为486元，则r=
10%
.答案
根据题意得,500(1 + 20% )(1 - r)² = 486,解得r₁ = 0.1 = 10% ,r₂ = 1.9(舍去).
解析
【分析】
解题时先梳理价格的变化过程：首先原价为500元，3月份提价20%，提价的计算基数是原价，因此3月售价为原价×(1+20%)；接下来4、5月份是在3月售价的基础上连续两次降价，降价率为r，每次降价后的价格是前一次售价×(1-r)，两次降价后价格就是3月售价×(1-r)²，已知5月售价为486元，据此列一元二次方程求解即可，注意降价率需符合实际意义，要舍去不符合要求的根。
【解析】
1. 计算3月份提价后的售价：
3月售价 = 原价×(1+提价率) = $500×(1+20\%)=600$元
2. 根据5月售价列方程：
连续两次降价后5月售价为3月售价×$(1-r)^2$，因此列方程：
$500(1+20\%)(1-r)^2=486$
3. 解方程：
化简得 $600(1-r)^2=486$
两边同除以600得 $(1-r)^2=0.81$
开平方得 $1-r=\pm0.9$
当$1-r=0.9$时，$r=0.1=10\%$；
当$1-r=-0.9$时，$r=1.9$，由于降价率$r$满足$0＜r＜1$，该根不符合实际，舍去。
【答案】
10%（或0.1）
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 增长率问题
【点评】
本题是典型的连续变化率实际应用题，解题核心是明确每一次价格调整的计算基数，准确列出方程，同时要结合实际情况对方程的根进行取舍，是方程实际应用的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理价格的变化过程：首先原价为500元，3月份提价20%，提价的计算基数是原价，因此3月售价为原价×(1+20%)；接下来4、5月份是在3月售价的基础上连续两次降价，降价率为r，每次降价后的价格是前一次售价×(1-r)，两次降价后价格就是3月售价×(1-r)²，已知5月售价为486元，据此列一元二次方程求解即可，注意降价率需符合实际意义，要舍去不符合要求的根。
【解析】
1. 计算3月份提价后的售价：
3月售价 = 原价×(1+提价率) = $500×(1+20\%)=600$元
2. 根据5月售价列方程：
连续两次降价后5月售价为3月售价×$(1-r)^2$，因此列方程：
$500(1+20\%)(1-r)^2=486$
3. 解方程：
化简得 $600(1-r)^2=486$
两边同除以600得 $(1-r)^2=0.81$
开平方得 $1-r=\pm0.9$
当$1-r=0.9$时，$r=0.1=10\%$；
当$1-r=-0.9$时，$r=1.9$，由于降价率$r$满足$0＜r＜1$，该根不符合实际，舍去。
【答案】
10%（或0.1）
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 增长率问题
【点评】
本题是典型的连续变化率实际应用题，解题核心是明确每一次价格调整的计算基数，准确列出方程，同时要结合实际情况对方程的根进行取舍，是方程实际应用的常考题型。
【难度系数】
0.8
10. [2024 淄博中考]“我运动,我健康,我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高,某市参加健身运动的人数逐年增多,从2021年的32万人增加到2023年的50万人.
(1)求该市参加健身运动人数的年平均增长率.
(2)为支持市民的健身运动,市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定:若购买不超过100套,每套售价1600元;若超过100套,每增加10套,售价每套可降低40元,但最低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元,求购买的这种健身器材的套数.
(1)求该市参加健身运动人数的年平均增长率.
(2)为支持市民的健身运动,市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定:若购买不超过100套,每套售价1600元;若超过100套,每增加10套,售价每套可降低40元,但最低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元,求购买的这种健身器材的套数.
答案
解:(1)设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x,
由题意得,32(1 + x)² = 50,
解得x₁ = 0.25 = 25% ,x₂ = -2.25(舍去).
答:该市参加健身运动人数的年平均增长率为25%.
(2)
∵ 1 600 × 100 = 160 000(元),160 000 ＜ 240 000,
∴ 购买这种健身器材超过100套.
设购买这种健身器材m套,
则m(1 600 - (m - 100)/10 × 40) = 240 000,
整理,得m² - 500m + 60 000 = 0,解得m₁ = 200,m₂ = 300.
当m = 200时,售价为240 000 ÷ 200 = 1 200(元).
当m = 300时,售价为240 000 ÷ 300 = 800(元)
∵ 800 ＜ 1 000,1 200 ＞ 1 000,
∴ m = 200.
答:购买的这种健身器材的套数为200.
由题意得,32(1 + x)² = 50,
解得x₁ = 0.25 = 25% ,x₂ = -2.25(舍去).
答:该市参加健身运动人数的年平均增长率为25%.
(2)
∵ 1 600 × 100 = 160 000(元),160 000 ＜ 240 000,
∴ 购买这种健身器材超过100套.
设购买这种健身器材m套,
则m(1 600 - (m - 100)/10 × 40) = 240 000,
整理,得m² - 500m + 60 000 = 0,解得m₁ = 200,m₂ = 300.
当m = 200时,售价为240 000 ÷ 200 = 1 200(元).
当m = 300时,售价为240 000 ÷ 300 = 800(元)
∵ 800 ＜ 1 000,1 200 ＞ 1 000,
∴ m = 200.
答:购买的这种健身器材的套数为200.
解析
【分析】
（1）第一问属于增长率类应用题，解题核心是掌握增长率计算公式：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ=最终量，其中n为增长年数。本题2021年人数是初始量32万，2023年是最终量50万，增长年数为2，设年平均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去负根。
（2）第二问属于分段计费类销售应用题，首先计算购买100套的总价，和支付的24万比较，判断购买套数超过100套；再设购买套数为m，根据“每增加10套售价每套降40元”表示出每套实际售价，结合“总价=单价×数量”列方程，解出方程的根后，要根据“最低售价不得少于1000元”的限制条件验证根是否符合实际，舍去不符合条件的解。
【解析】
(1)设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x，
由题意得，$32(1 + x)^2 = 50$，
解得$x_1 = 0.25 = 25\%$ ，$x_2 = -2.25$（增长率不能为负，舍去）。
答：该市参加健身运动人数的年平均增长率为25%。
(2)先判断购买套数范围：
∵ $1600 × 100 = 160000$元，$160000 ＜ 240000$，
∴ 购买的健身器材套数超过100套。
设购买这种健身器材m套，
则每套的实际售价为$[1600 - \frac{m - 100}{10} × 40]$元，根据总价为24万元列方程：
$m(1600 - \frac{m - 100}{10} × 40) = 240000$，
整理得$m^2 - 500m + 60000 = 0$，
解得$m_1 = 200$，$m_2 = 300$。
验证售价是否符合要求：
当$m = 200$时，每套售价为$240000 ÷ 200 = 1200$元，$1200＞1000$，符合要求；
当$m = 300$时，每套售价为$240000 ÷ 300 = 800$元，$800＜1000$，不符合最低售价要求，舍去。
答：购买的这种健身器材的套数为200。
【答案】
(1)25%；(2)200套
【知识点】
1.一元二次方程的应用 2.增长率问题 3.分段计费问题
【点评】
本题考查一元二次方程的实际应用，第一问是基础增长率问题，牢记增长公式即可快速求解；第二问需要先判断购买量的区间，列方程求解后切记要结合题目给出的限制条件验证根的合理性，避免出现多解错误，整体侧重考查对实际问题的分析能力和方程解的取舍意识。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于增长率类应用题，解题核心是掌握增长率计算公式：初始量×(1+年平均增长率)ⁿ=最终量，其中n为增长年数。本题2021年人数是初始量32万，2023年是最终量50万，增长年数为2，设年平均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去负根。
（2）第二问属于分段计费类销售应用题，首先计算购买100套的总价，和支付的24万比较，判断购买套数超过100套；再设购买套数为m，根据“每增加10套售价每套降40元”表示出每套实际售价，结合“总价=单价×数量”列方程，解出方程的根后，要根据“最低售价不得少于1000元”的限制条件验证根是否符合实际，舍去不符合条件的解。
【解析】
(1)设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x，
由题意得，$32(1 + x)^2 = 50$，
解得$x_1 = 0.25 = 25\%$ ，$x_2 = -2.25$（增长率不能为负，舍去）。
答：该市参加健身运动人数的年平均增长率为25%。
(2)先判断购买套数范围：
∵ $1600 × 100 = 160000$元，$160000 ＜ 240000$，
∴ 购买的健身器材套数超过100套。
设购买这种健身器材m套，
则每套的实际售价为$[1600 - \frac{m - 100}{10} × 40]$元，根据总价为24万元列方程：
$m(1600 - \frac{m - 100}{10} × 40) = 240000$，
整理得$m^2 - 500m + 60000 = 0$，
解得$m_1 = 200$，$m_2 = 300$。
验证售价是否符合要求：
当$m = 200$时，每套售价为$240000 ÷ 200 = 1200$元，$1200＞1000$，符合要求；
当$m = 300$时，每套售价为$240000 ÷ 300 = 800$元，$800＜1000$，不符合最低售价要求，舍去。
答：购买的这种健身器材的套数为200。
【答案】
(1)25%；(2)200套
【知识点】
1.一元二次方程的应用 2.增长率问题 3.分段计费问题
【点评】
本题考查一元二次方程的实际应用，第一问是基础增长率问题，牢记增长公式即可快速求解；第二问需要先判断购买量的区间，列方程求解后切记要结合题目给出的限制条件验证根的合理性，避免出现多解错误，整体侧重考查对实际问题的分析能力和方程解的取舍意识。
【难度系数】
0.7
11. 运算能力 新定义:给定一个矩形的长和宽,若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的$k$倍($k＞0$),则称这个矩形是给定矩形的“$k$倍”矩形.现有一个长为2,宽为1的矩形,若它的“$k$倍”矩形存在,则$k$的最小值为
$\boldsymbol{\frac{8}{9}}$
.答案
原矩形的周长为(2 + 1) × 2 = 6,面积为2 × 1 = 2. 设它的“k倍”矩形的长为x,宽为y,则$\begin{cases}2(x + y) = 6k①,\\ xy = 2k②\end{cases}$,由①,得y = 3k - x③. 将③代入②,得x(3k - x) = 2k,所以x² - 3kx + 2k = 0. 根据题意,得Δ ≥ 0,即9k² - 8k ≥ 0. 因为k ＞ 0,所以9k - 8 ≥ 0,所以k ≥ 8/9,所以k的最小值为8/9.
解析
【分析】
首先要准确理解“k倍”矩形的定义，第一步先计算原矩形的周长和面积；第二步根据定义设“k倍”矩形的长和宽，列出关于长、宽的方程组，将方程组消元后得到关于其中一个边长的一元二次方程；第三步，因为矩形的边长为正数，所以这个一元二次方程必须有正实数根，根据一元二次方程有实根的条件是判别式Δ≥0，列出关于k的不等式，结合k＞0的条件解不等式就能得到k的取值范围，进而求出最小值。
【解析】
首先计算原矩形的周长和面积：
原矩形周长 = $(2+1)×2 = 6$，原矩形面积 = $2×1 = 2$
设“k倍”矩形的长为$x$，宽为$y$，根据题意可得方程组：
$\begin{cases}2(x+y)=6k ①\\xy=2k ②\end{cases}$
由①式化简得：$x+y=3k$，即$y=3k-x$ ③
将③代入②得：$x(3k-x)=2k$
整理为一元二次方程的标准形式：$x^2 - 3kx + 2k = 0$
若存在这样的矩形，则该方程有正实数根，因此判别式$\Delta≥0$：
$\Delta = (-3k)^2 - 4×1×2k = 9k^2 - 8k ≥ 0$
因式分解得：$k(9k - 8) ≥ 0$
已知$k＞0$，因此可得$9k - 8 ≥ 0$，解得$k ≥ \frac{8}{9}$
所以$k$的最小值为$\frac{8}{9}$
【答案】
$\frac{8}{9}$
【知识点】
矩形周长与面积计算、一元二次方程根的判别式、新定义问题处理
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的核心是将陌生的新定义转化为已学的方程与不等式问题，通过判别式建立参数的不等关系求解，侧重考察转化思想和运算能力。
【难度系数】
0.6
首先要准确理解“k倍”矩形的定义，第一步先计算原矩形的周长和面积；第二步根据定义设“k倍”矩形的长和宽，列出关于长、宽的方程组，将方程组消元后得到关于其中一个边长的一元二次方程；第三步，因为矩形的边长为正数，所以这个一元二次方程必须有正实数根，根据一元二次方程有实根的条件是判别式Δ≥0，列出关于k的不等式，结合k＞0的条件解不等式就能得到k的取值范围，进而求出最小值。
【解析】
首先计算原矩形的周长和面积：
原矩形周长 = $(2+1)×2 = 6$，原矩形面积 = $2×1 = 2$
设“k倍”矩形的长为$x$，宽为$y$，根据题意可得方程组：
$\begin{cases}2(x+y)=6k ①\\xy=2k ②\end{cases}$
由①式化简得：$x+y=3k$，即$y=3k-x$ ③
将③代入②得：$x(3k-x)=2k$
整理为一元二次方程的标准形式：$x^2 - 3kx + 2k = 0$
若存在这样的矩形，则该方程有正实数根，因此判别式$\Delta≥0$：
$\Delta = (-3k)^2 - 4×1×2k = 9k^2 - 8k ≥ 0$
因式分解得：$k(9k - 8) ≥ 0$
已知$k＞0$，因此可得$9k - 8 ≥ 0$，解得$k ≥ \frac{8}{9}$
所以$k$的最小值为$\frac{8}{9}$
【答案】
$\frac{8}{9}$
【知识点】
矩形周长与面积计算、一元二次方程根的判别式、新定义问题处理
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的核心是将陌生的新定义转化为已学的方程与不等式问题，通过判别式建立参数的不等关系求解，侧重考察转化思想和运算能力。
【难度系数】
0.6
