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1.【感知】(1)对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个因式分解的等式,由图①中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为
【应用】(2)通过不同的方法表示同一个几何体的体积,也可以探求相应的因式分解等式.如图②所示的是棱长为$x+y$的正方体被分割线分成8块.用不同的方法计算这个正方体的体积,则这个等式为$(x+y)^3=$
【拓展】(3)如图③,棱长为$x$的实心大正方体切除一个棱长为$y$的小正方体,剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体,则甲长方体的体积为$y^2(x-y)$,乙长方体的体积为$xy(x-y)$,丙长方体的体积为$x^2(x-y)$,甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为$x^3-y^3=y^2(x-y)+xy(x-y)+x^2(x-y)=(x-y)(y^2+xy+x^2)$.根据(2)和(3)中的结论解答下列问题:若图②与图③中的$x$与$y$的值分别相等,且满足$x+y=4,xy=3$,其中$x＞y$,求$\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}$的值.
2. 根据以下素材,完成任务.
$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$
.【应用】(2)通过不同的方法表示同一个几何体的体积,也可以探求相应的因式分解等式.如图②所示的是棱长为$x+y$的正方体被分割线分成8块.用不同的方法计算这个正方体的体积,则这个等式为$(x+y)^3=$
$x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$
.【拓展】(3)如图③,棱长为$x$的实心大正方体切除一个棱长为$y$的小正方体,剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体,则甲长方体的体积为$y^2(x-y)$,乙长方体的体积为$xy(x-y)$,丙长方体的体积为$x^2(x-y)$,甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为$x^3-y^3=y^2(x-y)+xy(x-y)+x^2(x-y)=(x-y)(y^2+xy+x^2)$.根据(2)和(3)中的结论解答下列问题:若图②与图③中的$x$与$y$的值分别相等,且满足$x+y=4,xy=3$,其中$x＞y$,求$\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}$的值.
2. 根据以下素材,完成任务.
答案
1. (1)$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$
(2)$x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$
(3)$\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}=\frac{14}{13}$
2. (1)$4,72,x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$
(2)$-7,-5,7,5$
(3)整系数二次三项式$ax^2+bx+c(a≠0)$能在有理数范围内因式分解的条件是$b^2-4ac$的值为完全平方数,证明略
(2)$x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$
(3)$\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}=\frac{14}{13}$
2. (1)$4,72,x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$
(2)$-7,-5,7,5$
(3)整系数二次三项式$ax^2+bx+c(a≠0)$能在有理数范围内因式分解的条件是$b^2-4ac$的值为完全平方数,证明略
