登录
1.如图，CD是$\odot O$的直径，AB是$\odot O$的弦，$CD⊥ AB$，垂足为E.下列结论：①$AE=BE$.②$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$.③$OE=DE$.④$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$.其中正确的是________（填序号）.
答案
①②④
解析
【分析】
解答本题需结合垂径定理分析判断：首先明确已知条件为CD是$\odot O$的直径，且CD垂直于弦AB，根据垂径定理的内容逐一验证四个结论是否成立即可，注意结论③没有对应的已知条件支撑，不能直接判定相等。
【解析】
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。
已知CD是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$，垂足为E：
1. 可得直径CD平分弦AB，即$AE=BE$，故①正确；
2. 直径CD平分弦AB所对的两条弧，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，故②④正确；
3. 题目未给出E是OD中点的相关条件，无法推出$OE=DE$，故③错误。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
垂径定理
【点评】
本题核心考查垂径定理的应用，解题时要严格依据给定条件推导，不要随意添加题干未给出的条件，避免误判结论③。
【难度系数】
0.8
解答本题需结合垂径定理分析判断：首先明确已知条件为CD是$\odot O$的直径，且CD垂直于弦AB，根据垂径定理的内容逐一验证四个结论是否成立即可，注意结论③没有对应的已知条件支撑，不能直接判定相等。
【解析】
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。
已知CD是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$，垂足为E：
1. 可得直径CD平分弦AB，即$AE=BE$，故①正确；
2. 直径CD平分弦AB所对的两条弧，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，故②④正确；
3. 题目未给出E是OD中点的相关条件，无法推出$OE=DE$，故③错误。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
垂径定理
【点评】
本题核心考查垂径定理的应用，解题时要严格依据给定条件推导，不要随意添加题干未给出的条件，避免误判结论③。
【难度系数】
0.8
2.凯凯在读完《九章算术》记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一道数学题：如图，CD为$\odot O$的直径，弦$AB⊥ CD$于点E，$ED=4$，$AB=16$，则直径CD的长是
20
。答案
20
解析
【分析】
遇到直径垂直于弦的问题，首先联想到垂径定理，可先得出弦AB被交点E平分后的长度；要求直径长度，可设圆的半径为r，将直角三角形OAE的三边用含r的式子表示，再利用勾股定理列方程求解半径，进而得到直径长度。
【解析】
连接OA，
∵ CD是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$于E，$AB=16$，
∴ 根据垂径定理可得：$AE=\frac{1}{2}AB=8$。
设$\odot O$的半径为r，则$OA=OD=r$，
∵ $ED=4$，
∴ $OE=OD-ED=r-4$。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入数据得：$r^2=(r-4)^2+8^2$，
展开计算：$r^2=r^2-8r+16+64$，
移项化简得：$8r=80$，
解得$r=10$，
∴ 直径$CD=2r=20$。
【答案】
20
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，熟练掌握垂径定理是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.75
遇到直径垂直于弦的问题，首先联想到垂径定理，可先得出弦AB被交点E平分后的长度；要求直径长度，可设圆的半径为r，将直角三角形OAE的三边用含r的式子表示，再利用勾股定理列方程求解半径，进而得到直径长度。
【解析】
连接OA，
∵ CD是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$于E，$AB=16$，
∴ 根据垂径定理可得：$AE=\frac{1}{2}AB=8$。
设$\odot O$的半径为r，则$OA=OD=r$，
∵ $ED=4$，
∴ $OE=OD-ED=r-4$。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入数据得：$r^2=(r-4)^2+8^2$，
展开计算：$r^2=r^2-8r+16+64$，
移项化简得：$8r=80$，
解得$r=10$，
∴ 直径$CD=2r=20$。
【答案】
20
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，熟练掌握垂径定理是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.75
3.如图，AB是$\odot O$的一条弦，CD是直径，若$CD⊥ AB$，垂足为E，$OE=3$，$DE=2$，则AB的长度为
8
。答案
8
解析
【分析】
遇到直径垂直于弦的问题，首先考虑垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此可得AB=2AE，只需算出AE的长度即可求出AB。首先计算圆的半径：CD是直径，OD为半径，由OE=3、DE=2，可得半径OD=OE+DE=5，因此OA=OD=5；再连接OA构造直角三角形，利用勾股定理即可求出AE的长度，进而得到AB的长。
【解析】
连接OA，
∵ CD是$\odot O$的直径，
∴ OA、OD均为$\odot O$的半径，
∵ OE=3，DE=2，
∴ 半径$OD=OE+DE=3+2=5$，即$OA=5$，
∵ $CD⊥AB$，垂足为E，根据垂径定理可得：$AE=EB=\frac{1}{2}AB$，
在$Rt△ OAE$中，$∠ OEA=90°$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$，
∴ $AB=2AE=2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求弦长的基础典型题，解题的关键是连接半径构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理即可求解，掌握这类常规辅助线的做法能快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.8
遇到直径垂直于弦的问题，首先考虑垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此可得AB=2AE，只需算出AE的长度即可求出AB。首先计算圆的半径：CD是直径，OD为半径，由OE=3、DE=2，可得半径OD=OE+DE=5，因此OA=OD=5；再连接OA构造直角三角形，利用勾股定理即可求出AE的长度，进而得到AB的长。
【解析】
连接OA，
∵ CD是$\odot O$的直径，
∴ OA、OD均为$\odot O$的半径，
∵ OE=3，DE=2，
∴ 半径$OD=OE+DE=3+2=5$，即$OA=5$，
∵ $CD⊥AB$，垂足为E，根据垂径定理可得：$AE=EB=\frac{1}{2}AB$，
在$Rt△ OAE$中，$∠ OEA=90°$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$，
∴ $AB=2AE=2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求弦长的基础典型题，解题的关键是连接半径构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理即可求解，掌握这类常规辅助线的做法能快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.8
4.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向300 km的B处，并以每小时$10\sqrt{7}$ km的速度沿北偏东$60°$的BF方向移动，距台风中心200 km的范围内是受台风影响的区域.若A城受到这次台风的影响，则A城遭受这次台风影响的时间为
10
h.答案
10
解析
【分析】
要计算A城受台风影响的时间，需先确定台风移动路径上会对A城造成影响的路段长度：该路段是以A为圆心、200km为半径的圆与直线BF相交所得的弦长，用弦长除以台风移动速度即可得到影响时间。首先过A作BF的垂线，结合方向角求出圆心到直线BF的距离；再利用垂径定理和勾股定理求出弦长；最后根据速度公式计算时间即可。
【解析】
过点A作$AC⊥ BF$于点C，连接AD、AE，令$AD=AE=200\mathrm{km}$（即受台风影响的区域半径）。
由题意得：$AB=300\mathrm{km}$，台风沿北偏东$60°$方向移动，因此$∠ ABF=90°-60°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=30°$，因此：
$AC=AB·\sin30°=300×\frac{1}{2}=150\mathrm{km}$，因$150＜200$，故A城受台风影响。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{200^2-150^2}=\sqrt{17500}=50\sqrt{7}\mathrm{km}$。
由垂径定理可得，受影响的路段长度$DE=2CD=100\sqrt{7}\mathrm{km}$。
因此A城受台风影响的时间$t=\frac{DE}{v}=\frac{100\sqrt{7}}{10\sqrt{7}}=10\mathrm{h}$。
【答案】
10
【知识点】
垂径定理，勾股定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题将实际问题转化为直线与圆相交的几何模型，解题关键是把受台风影响的路径长度转化为圆的弦长，结合解直角三角形、垂径定理即可求解，考查了将实际问题转化为数学模型的应用能力。
【难度系数】
0.6
要计算A城受台风影响的时间，需先确定台风移动路径上会对A城造成影响的路段长度：该路段是以A为圆心、200km为半径的圆与直线BF相交所得的弦长，用弦长除以台风移动速度即可得到影响时间。首先过A作BF的垂线，结合方向角求出圆心到直线BF的距离；再利用垂径定理和勾股定理求出弦长；最后根据速度公式计算时间即可。
【解析】
过点A作$AC⊥ BF$于点C，连接AD、AE，令$AD=AE=200\mathrm{km}$（即受台风影响的区域半径）。
由题意得：$AB=300\mathrm{km}$，台风沿北偏东$60°$方向移动，因此$∠ ABF=90°-60°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=30°$，因此：
$AC=AB·\sin30°=300×\frac{1}{2}=150\mathrm{km}$，因$150＜200$，故A城受台风影响。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{200^2-150^2}=\sqrt{17500}=50\sqrt{7}\mathrm{km}$。
由垂径定理可得，受影响的路段长度$DE=2CD=100\sqrt{7}\mathrm{km}$。
因此A城受台风影响的时间$t=\frac{DE}{v}=\frac{100\sqrt{7}}{10\sqrt{7}}=10\mathrm{h}$。
【答案】
10
【知识点】
垂径定理，勾股定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题将实际问题转化为直线与圆相交的几何模型，解题关键是把受台风影响的路径长度转化为圆的弦长，结合解直角三角形、垂径定理即可求解，考查了将实际问题转化为数学模型的应用能力。
【难度系数】
0.6
5.某桥是有圆弧形桥洞的石拱桥，如图所示，小雅同学测得水面AB宽为8 m，拱顶C到水面AB的距离也为8 m，则这座桥的桥洞半径为
5
m.答案
5
解析
【分析】
这是利用圆的性质解决实际问题的题型，解题思路如下：1. 首先连接半径OA，构造直角三角形；2. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得到弦AB一半的长度；3. 设半径为r，用含r的式子表示出直角三角形的另外两条边长，再利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
解：连接OA，设OC与AB交于点D，设桥洞的半径为r m，则OA=OC=r m。
∵OC⊥AB，AB=8 m，根据垂径定理可得：
$AD = \frac{1}{2}AB = 4\ \mathrm{m}$，
由题意知CD=8 m，
∴$OD = CD - OC = (8 - r)\ \mathrm{m}$，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：$OA^2 = OD^2 + AD^2$，
代入得：$r^2 = (8 - r)^2 + 4^2$，
展开计算：$r^2 = 64 - 16r + r^2 + 16$，
移项化简得：$16r = 80$，
解得：$r = 5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的性质的基础应用题，核心是通过构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理建立方程求解，是圆章节的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
这是利用圆的性质解决实际问题的题型，解题思路如下：1. 首先连接半径OA，构造直角三角形；2. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得到弦AB一半的长度；3. 设半径为r，用含r的式子表示出直角三角形的另外两条边长，再利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
解：连接OA，设OC与AB交于点D，设桥洞的半径为r m，则OA=OC=r m。
∵OC⊥AB，AB=8 m，根据垂径定理可得：
$AD = \frac{1}{2}AB = 4\ \mathrm{m}$，
由题意知CD=8 m，
∴$OD = CD - OC = (8 - r)\ \mathrm{m}$，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：$OA^2 = OD^2 + AD^2$，
代入得：$r^2 = (8 - r)^2 + 4^2$，
展开计算：$r^2 = 64 - 16r + r^2 + 16$，
移项化简得：$16r = 80$，
解得：$r = 5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的性质的基础应用题，核心是通过构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理建立方程求解，是圆章节的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
6.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB=CD，OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N.求证：OM=ON.
答案
证明:连接 $OB$.
由题意可得 $BM=\dfrac{1}{2}AB,CN=\dfrac{1}{2}CD$,
$\because AB=CD,\therefore BM=CN$,
$\because OB=OC,\therefore \mathrm{Rt}△ OMB ≌ \mathrm{Rt}△ ONC(\mathrm{HL}),\therefore OM=ON$.
由题意可得 $BM=\dfrac{1}{2}AB,CN=\dfrac{1}{2}CD$,
$\because AB=CD,\therefore BM=CN$,
$\because OB=OC,\therefore \mathrm{Rt}△ OMB ≌ \mathrm{Rt}△ ONC(\mathrm{HL}),\therefore OM=ON$.
解析
【分析】要证明OM=ON，可通过证明二者所在的直角三角形全等推导。首先，已知OM⊥AB、ON⊥CD，根据垂径定理可得M是AB中点、N是CD中点，因此AB、CD的一半BM和CN相等；其次OB、OC都是圆的半径，长度相等，此时两个直角三角形的斜边和一组直角边对应相等，可通过HL定理证明全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到OM=ON。
【解析】证明：连接OB、OC。
由垂径定理可得：$BM=\dfrac{1}{2}AB$，$CN=\dfrac{1}{2}CD$。
$\because AB=CD$，$\therefore BM=CN$。
$\because OB、OC$都是$\odot O$的半径，$\therefore OB=OC$。
在$\mathrm{Rt}△ OMB$和$\mathrm{Rt}△ ONC$中：
$\begin{cases} BM=CN \\ OB=OC \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OMB ≌ \mathrm{Rt}△ ONC(\mathrm{HL})$，
$\therefore OM=ON$。
【答案】OM=ON，得证。
【知识点】垂径定理；HL全等判定；全等三角形性质
【点评】本题属于圆的性质基础题，解题关键是结合垂径定理转化相等的弦长，再利用圆半径相等的隐含条件证明直角三角形全等，是圆相关性质的基础应用题型，需熟练掌握。
【难度系数】0.85
【解析】证明：连接OB、OC。
由垂径定理可得：$BM=\dfrac{1}{2}AB$，$CN=\dfrac{1}{2}CD$。
$\because AB=CD$，$\therefore BM=CN$。
$\because OB、OC$都是$\odot O$的半径，$\therefore OB=OC$。
在$\mathrm{Rt}△ OMB$和$\mathrm{Rt}△ ONC$中：
$\begin{cases} BM=CN \\ OB=OC \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OMB ≌ \mathrm{Rt}△ ONC(\mathrm{HL})$，
$\therefore OM=ON$。
【答案】OM=ON，得证。
【知识点】垂径定理；HL全等判定；全等三角形性质
【点评】本题属于圆的性质基础题，解题关键是结合垂径定理转化相等的弦长，再利用圆半径相等的隐含条件证明直角三角形全等，是圆相关性质的基础应用题型，需熟练掌握。
【难度系数】0.85
