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1.如图，CD是$\odot O$的直径，AB是$\odot O$的弦，$CD⊥ AB$，垂足为E.下列结论：①$AE=BE$.②$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$.③$OE=DE$.④$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$.其中正确的是________（填序号）.
答案
①②④
解析
【分析】
解题时先结合已知条件回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。接下来逐一判断各个结论：首先看结论①，对应垂径定理中平分弦的结论，可直接判断正误；结论②和④对应垂径定理中平分弦所对弧的结论，判断是否符合；结论③需要注意，题干未给出E是OD中点的相关条件，无法推出OE和DE相等，即可判断其正误。
【解析】
已知CD是$\odot O$的直径，且$CD ⊥ AB$，垂足为E，根据垂径定理：
1. 垂直于弦的直径平分弦，因此$AE=BE$，故①正确；
2. 垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，因此弦AB所对的优弧$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，所对的劣弧$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，故②④正确；
3. 题干仅给出$CD ⊥ AB$，没有条件能证明E是OD的中点，因此$OE=DE$不一定成立，故③错误。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
垂径定理；圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理的基础应用题目，核心是牢记垂径定理的内容，注意区分定理成立的条件，不要默认E为OD中点，避免不必要的错误。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知条件回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。接下来逐一判断各个结论：首先看结论①，对应垂径定理中平分弦的结论，可直接判断正误；结论②和④对应垂径定理中平分弦所对弧的结论，判断是否符合；结论③需要注意，题干未给出E是OD中点的相关条件，无法推出OE和DE相等，即可判断其正误。
【解析】
已知CD是$\odot O$的直径，且$CD ⊥ AB$，垂足为E，根据垂径定理：
1. 垂直于弦的直径平分弦，因此$AE=BE$，故①正确；
2. 垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，因此弦AB所对的优弧$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，所对的劣弧$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，故②④正确；
3. 题干仅给出$CD ⊥ AB$，没有条件能证明E是OD的中点，因此$OE=DE$不一定成立，故③错误。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
垂径定理；圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理的基础应用题目，核心是牢记垂径定理的内容，注意区分定理成立的条件，不要默认E为OD中点，避免不必要的错误。
【难度系数】
0.8
2.凯凯在读完《九章算术》记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一道数学题：如图，CD为$\odot O$的直径，弦$AB⊥ CD$于点E，$ED=4$，$AB=16$，则直径CD的长是
20
。答案
20
解析
【分析】
遇到直径垂直于弦的问题，首先想到垂径定理，可得弦AB被交点E平分，先求出AE的长度。要求直径CD，可设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形OAE的各边长度，再利用勾股定理列方程求出半径，进而得到直径长度。
【解析】
解：连接OA，设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$。
$\because ED=4$，$\therefore OE=OD-ED=r-4$。
$\because CD$是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，$AB=16$，
根据垂径定理得：$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入得：$r^2=(r-4)^2+8^2$，
展开计算：$r^2=r^2-8r+16+64$，
移项化简得：$8r=80$，
解得$r=10$，
$\therefore$直径$CD=2r=2×10=20$。
【答案】
20
【知识点】
1.垂径定理 2.勾股定理 3.圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的经典题型，解题的关键是结合垂径定理构造直角三角形，再利用勾股定理列方程求解，这种“设半径列方程”的思路是解决这类问题的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
遇到直径垂直于弦的问题，首先想到垂径定理，可得弦AB被交点E平分，先求出AE的长度。要求直径CD，可设圆的半径为r，用含r的式子表示出直角三角形OAE的各边长度，再利用勾股定理列方程求出半径，进而得到直径长度。
【解析】
解：连接OA，设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$。
$\because ED=4$，$\therefore OE=OD-ED=r-4$。
$\because CD$是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，$AB=16$，
根据垂径定理得：$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入得：$r^2=(r-4)^2+8^2$，
展开计算：$r^2=r^2-8r+16+64$，
移项化简得：$8r=80$，
解得$r=10$，
$\therefore$直径$CD=2r=2×10=20$。
【答案】
20
【知识点】
1.垂径定理 2.勾股定理 3.圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的经典题型，解题的关键是结合垂径定理构造直角三角形，再利用勾股定理列方程求解，这种“设半径列方程”的思路是解决这类问题的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
3.如图，AB是$\odot O$的一条弦，CD是直径，若$CD⊥ AB$，垂足为E，$OE=3$，$DE=2$，则AB的长度为
8
。答案
8
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：CD是直径且垂直于弦AB，可联想到垂径定理，可知AB=2AE，因此只需计算出AE的长度即可得到AB的长。要计算AE，可连接半径OA构造直角三角形OAE，先求出圆的半径，再利用勾股定理计算AE的长度，最终得到AB的长度。
【解析】
连接OA，
∵CD是⊙O的直径，
∴OA、OD均为⊙O的半径，
已知OE=3，DE=2，
∴半径OA=OD=OE+DE=3+2=5，
又
∵CD⊥AB，根据垂径定理可得：AE=EB=$\frac{1}{2}$AB，且△OAE为直角三角形，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$，
∴AB=2AE=2×4=8。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求弦长的基础题型，解题关键是通过连接半径构造直角三角形，将垂径定理和勾股定理结合使用即可求解，考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件：CD是直径且垂直于弦AB，可联想到垂径定理，可知AB=2AE，因此只需计算出AE的长度即可得到AB的长。要计算AE，可连接半径OA构造直角三角形OAE，先求出圆的半径，再利用勾股定理计算AE的长度，最终得到AB的长度。
【解析】
连接OA，
∵CD是⊙O的直径，
∴OA、OD均为⊙O的半径，
已知OE=3，DE=2，
∴半径OA=OD=OE+DE=3+2=5，
又
∵CD⊥AB，根据垂径定理可得：AE=EB=$\frac{1}{2}$AB，且△OAE为直角三角形，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$，
∴AB=2AE=2×4=8。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求弦长的基础题型，解题关键是通过连接半径构造直角三角形，将垂径定理和勾股定理结合使用即可求解，考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
4.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向300 km的B处，并以每小时$10\sqrt{7}$ km的速度沿北偏东$60°$的BF方向移动，距台风中心200 km的范围内是受台风影响的区域.若A城受到这次台风的影响，则A城遭受这次台风影响的时间为
10
h.答案
10
解析
【分析】
要计算A城受台风影响的时间，首先需明确：当台风中心到A城的距离≤200km时，A城受影响。解题思路如下：
1. 过A作台风移动路径BF的垂线AC，求出A到BF的最短距离，验证A城确实受影响；
2. 以A为圆心、200km为半径作圆，交BF于D、E两点，线段DE就是台风影响A城的移动路径；
3. 用垂径定理和勾股定理求出DE的长度，再除以台风移动速度，即可得到影响时间。
【解析】
解：过点A作AC⊥BF于点C，连接AD、AE，令AD=AE=200km（受台风影响的临界距离）。
由题意得：AB=300km，台风沿北偏东60°方向移动，故∠ABC=90°-60°=30°。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴$AC=AB·\sin30°=300×\frac{1}{2}=150\mathrm{km}＜200\mathrm{km}$，故A城会受台风影响。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AD^2 - AC^2}=\sqrt{200^2 - 150^2}=50\sqrt{7}\mathrm{km}$。
∵AC⊥DE，根据垂径定理，$DE=2CD=2×50\sqrt{7}=100\sqrt{7}\mathrm{km}$。
台风移动速度为每小时$10\sqrt{7}\mathrm{km}$，
∴影响时间$t=\frac{DE}{v}=\frac{100\sqrt{7}}{10\sqrt{7}}=10\mathrm{h}$。
【答案】
10
【知识点】
垂径定理，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题结合实际台风影响场景，考查了将实际问题转化为几何模型的能力，解题核心是找到台风影响A城的路径长度，综合运用直角三角形性质和圆的性质即可求解。
【难度系数】
0.7
要计算A城受台风影响的时间，首先需明确：当台风中心到A城的距离≤200km时，A城受影响。解题思路如下：
1. 过A作台风移动路径BF的垂线AC，求出A到BF的最短距离，验证A城确实受影响；
2. 以A为圆心、200km为半径作圆，交BF于D、E两点，线段DE就是台风影响A城的移动路径；
3. 用垂径定理和勾股定理求出DE的长度，再除以台风移动速度，即可得到影响时间。
【解析】
解：过点A作AC⊥BF于点C，连接AD、AE，令AD=AE=200km（受台风影响的临界距离）。
由题意得：AB=300km，台风沿北偏东60°方向移动，故∠ABC=90°-60°=30°。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴$AC=AB·\sin30°=300×\frac{1}{2}=150\mathrm{km}＜200\mathrm{km}$，故A城会受台风影响。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AD^2 - AC^2}=\sqrt{200^2 - 150^2}=50\sqrt{7}\mathrm{km}$。
∵AC⊥DE，根据垂径定理，$DE=2CD=2×50\sqrt{7}=100\sqrt{7}\mathrm{km}$。
台风移动速度为每小时$10\sqrt{7}\mathrm{km}$，
∴影响时间$t=\frac{DE}{v}=\frac{100\sqrt{7}}{10\sqrt{7}}=10\mathrm{h}$。
【答案】
10
【知识点】
垂径定理，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题结合实际台风影响场景，考查了将实际问题转化为几何模型的能力，解题核心是找到台风影响A城的路径长度，综合运用直角三角形性质和圆的性质即可求解。
【难度系数】
0.7
5.某桥是有圆弧形桥洞的石拱桥，如图所示，小雅同学测得水面AB宽为8 m，拱顶C到水面AB的距离也为8 m，则这座桥的桥洞半径为
5
m.答案
5
解析
【分析】
本题可利用垂径定理结合勾股定理求解，解题思路如下：首先连接半径OA，设桥洞半径为r m；由拱顶C到水面AB的距离可知OC垂直AB，根据垂径定理可得到AB一半的长度；再用含r的式子表示出圆心O到AB的距离，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
解：连接OA，设桥洞的半径为$ r \, \mathrm{m} $，记OC与AB的交点为D。
由题意得：$ OC ⊥ AB $，$ AB=8 \, \mathrm{m} $，$ CD=8 \, \mathrm{m} $。
根据垂径定理，得$ AD = \frac{1}{2}AB = 4 \, \mathrm{m} $。
∵OA、OC是圆的半径，
∴$ OA=OC=r \, \mathrm{m} $，
∴圆心O到AB的距离$ OD = CD - OC = (8 - r) \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $
代入数据：$ r^2 = 4^2 + (8 - r)^2 $
展开得：$ r^2 = 16 + 64 - 16r + r^2 $
化简移项得：$ 16r = 80 $
解得：$ r=5 $
【答案】
5
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆的实际应用类基础题，解题关键是通过垂径定理构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，是圆的性质章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题可利用垂径定理结合勾股定理求解，解题思路如下：首先连接半径OA，设桥洞半径为r m；由拱顶C到水面AB的距离可知OC垂直AB，根据垂径定理可得到AB一半的长度；再用含r的式子表示出圆心O到AB的距离，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
解：连接OA，设桥洞的半径为$ r \, \mathrm{m} $，记OC与AB的交点为D。
由题意得：$ OC ⊥ AB $，$ AB=8 \, \mathrm{m} $，$ CD=8 \, \mathrm{m} $。
根据垂径定理，得$ AD = \frac{1}{2}AB = 4 \, \mathrm{m} $。
∵OA、OC是圆的半径，
∴$ OA=OC=r \, \mathrm{m} $，
∴圆心O到AB的距离$ OD = CD - OC = (8 - r) \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = AD^2 + OD^2 $
代入数据：$ r^2 = 4^2 + (8 - r)^2 $
展开得：$ r^2 = 16 + 64 - 16r + r^2 $
化简移项得：$ 16r = 80 $
解得：$ r=5 $
【答案】
5
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆的实际应用类基础题，解题关键是通过垂径定理构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，是圆的性质章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
6.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB=CD，OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N.求证：OM=ON.
答案
证明:连接 $OB$.
由题意可得 $BM=\dfrac{1}{2}AB,CN=\dfrac{1}{2}CD$,
$\because AB=CD,\therefore BM=CN$,
$\because OB=OC,\therefore \mathrm{Rt}△ OMB ≌ \mathrm{Rt}△ ONC(\mathrm{HL}),\therefore OM=ON$.
由题意可得 $BM=\dfrac{1}{2}AB,CN=\dfrac{1}{2}CD$,
$\because AB=CD,\therefore BM=CN$,
$\because OB=OC,\therefore \mathrm{Rt}△ OMB ≌ \mathrm{Rt}△ ONC(\mathrm{HL}),\therefore OM=ON$.
解析
【分析】
要证明OM=ON，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等来推导。首先利用垂径定理，圆心到弦的垂线会平分弦，因此已知AB、CD长度相等，它们的一半也相等；再结合圆的半径处处相等的隐含性质，可得两个直角三角形的斜边相等，最后用HL定理判定直角三角形全等，即可推出对应边OM=ON。
【解析】
证明：连接$OB$、$OC$。
根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，可得$BM=\dfrac{1}{2}AB$，$CN=\dfrac{1}{2}CD$。
$\because AB=CD$，$\therefore BM=CN$。
$\because OB$和$OC$都是$\odot O$的半径，$\therefore OB=OC$。
$△ OMB$和$△ ONC$均为直角三角形，在$\mathrm{Rt}△ OMB$和$\mathrm{Rt}△ ONC$中：
$\begin{cases} BM=CN \\ OB=OC \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OMB ≌ \mathrm{Rt}△ ONC(\mathrm{HL})$，根据全等三角形对应边相等，得$OM=ON$。
【答案】
证明:连接 $OB$.
由题意可得 $BM=\dfrac{1}{2}AB,CN=\dfrac{1}{2}CD$,
$\because AB=CD,\therefore BM=CN$,
$\because OB=OC,\therefore \mathrm{Rt}△ OMB ≌ \mathrm{Rt}△ ONC(\mathrm{HL}),\therefore OM=ON$.
【知识点】
垂径定理，HL全等判定，圆的性质
【点评】
本题是圆有关性质的基础题型，解题关键是挖掘圆半径相等的隐含条件，结合垂径定理得到全等所需的等线段，将线段相等的证明转化为直角三角形全等的证明，需要熟练掌握垂径定理和直角三角形全等的判定方法。
【难度系数】
0.8
要证明OM=ON，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等来推导。首先利用垂径定理，圆心到弦的垂线会平分弦，因此已知AB、CD长度相等，它们的一半也相等；再结合圆的半径处处相等的隐含性质，可得两个直角三角形的斜边相等，最后用HL定理判定直角三角形全等，即可推出对应边OM=ON。
【解析】
证明：连接$OB$、$OC$。
根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，可得$BM=\dfrac{1}{2}AB$，$CN=\dfrac{1}{2}CD$。
$\because AB=CD$，$\therefore BM=CN$。
$\because OB$和$OC$都是$\odot O$的半径，$\therefore OB=OC$。
$△ OMB$和$△ ONC$均为直角三角形，在$\mathrm{Rt}△ OMB$和$\mathrm{Rt}△ ONC$中：
$\begin{cases} BM=CN \\ OB=OC \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OMB ≌ \mathrm{Rt}△ ONC(\mathrm{HL})$，根据全等三角形对应边相等，得$OM=ON$。
【答案】
证明:连接 $OB$.
由题意可得 $BM=\dfrac{1}{2}AB,CN=\dfrac{1}{2}CD$,
$\because AB=CD,\therefore BM=CN$,
$\because OB=OC,\therefore \mathrm{Rt}△ OMB ≌ \mathrm{Rt}△ ONC(\mathrm{HL}),\therefore OM=ON$.
【知识点】
垂径定理，HL全等判定，圆的性质
【点评】
本题是圆有关性质的基础题型，解题关键是挖掘圆半径相等的隐含条件，结合垂径定理得到全等所需的等线段，将线段相等的证明转化为直角三角形全等的证明，需要熟练掌握垂径定理和直角三角形全等的判定方法。
【难度系数】
0.8
