1. (1)如图①,在$△ ABC$中,$BO$平分外角$∠ CBP$,$CO$平分外角$∠ BCQ$,猜想$∠ O$和$∠ A$之间有什么数量关系?并证明你的结论.
(2)如图②,在锐角$△ ABC$中,$BD$和$BE$三等分外角$∠ PBC$,$CD$和$CE$三等分外角$∠ QCB$,请分别写出$∠ A$和$∠ D$,$∠ A$和$∠ E$的数量关系并证明.

1. (1)$∠ O=90°-\frac{1}{2}∠A$,证明:$\because ∠PBC=∠A+∠ACB,∠QCB=∠A+∠ABC,\therefore ∠PBC+∠QCB=2∠A+∠ACB+∠ABC=2∠A+(180°-∠A)=180°+∠A.\because BO$平分外角$∠CBP,CO$平分外角$∠BCQ,\therefore ∠O=180°-(∠CBO+∠BCO)=180°-\frac{1}{2}(∠PBC+∠QCB)=180°-\frac{1}{2}(180°+∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A.$
(2)$∠D=60°-\frac{2}{3}∠A,∠E=120°-\frac{1}{3}∠A.$ 证明:$\because BE$和$BD$三等分外角$∠PBC,CE$和$CD$三等分外角$∠QCB,\therefore ∠CBE=\frac{1}{3}∠CBP,∠BCE=\frac{1}{3}∠BCQ,\therefore ∠E=180°-\frac{1}{3}(∠CBP+∠BCQ)=180°-\frac{1}{3}(360°-∠ABC-∠ACB)=180°-120°+\frac{1}{3}(180°-∠A)=120°-\frac{1}{3}∠A.$ 同理,$∠D=180°-\frac{2}{3}(∠CBP+∠BCQ)=180°-\frac{2}{3}(360°-∠ABC-∠ACB)=180°-240°+\frac{2}{3}(180°-∠A)=60°-\frac{2}{3}∠A.$ 综上,$∠A$和$∠D$的数量关系为$∠D=60°-\frac{2}{3}∠A$,$∠A$和$∠E$的数量关系为$∠E=120°-\frac{1}{3}∠A.$

2. 如图①，$△ ABC$的外角平分线$BF$，$CF$交于点$F$.
(1)若$∠ A=50°$,求$∠ F$的度数.
(2)过点$F$作直线$MN$,交射线$AB$,$AC$于点$M$,$N$,并将直线$MN$绕点$F$转动.
①如图②,当直线$MN$与线段$BC$没有交点时,若设$∠ MFB=α$,$∠ NFC=β$,试探索$∠ A$与$α$,$β$之间满足的数量关系,并说明理由.
②当直线$MN$与线段$BC$有交点时,试问①中$∠ A$与$α$,$β$之间的数量关系是否仍然成立?若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出三者之间满足的数量关系.

2. (1)$\because BF,CF$分别是$∠DBC$和$∠BCE$的平分线,$\therefore ∠CBF=\frac{1}{2}∠DBC,∠BCF=\frac{1}{2}∠BCE.\because ∠A+∠ABC+∠ACB=180°$,$\therefore ∠ABC+∠ACB=180°-∠A.\because ∠DBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,∠CBF+∠BCF+∠F=180°,\therefore ∠F=180°-(∠CBF+∠BCF)=180°-\frac{1}{2}(∠DBC+∠BCE)=180°-\frac{1}{2}(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=180°-\frac{1}{2}∠A-90°=90°-\frac{1}{2}∠A.\because ∠A=50°,\therefore ∠F=65°.$
(2)①由(1)可知$∠BFC=90°-\frac{1}{2}∠A,∠MFB=α,∠NFC=β$,$\because ∠BFC+∠MFB+∠NFC=180°,\therefore α+β+90°-\frac{1}{2}∠A=180°$,$\therefore α+β-\frac{1}{2}∠A=90°.$
②不成立,$α-β-\frac{1}{2}∠A=90°$或$β-α-\frac{1}{2}∠A=90°.$
解析:
如图①,当N在线段AC上,M在AB延长线上时,由(1)可知$∠BFC=90°-\frac{1}{2}∠A,∠MFB=α,∠NFC=β$,$\because ∠BFN+∠NFC=∠BFC,\therefore ∠BFN=90°-\frac{1}{2}∠A-β.\because ∠BFN+∠MFB=180°,\therefore 90°-\frac{1}{2}∠A-β+α=180°,\therefore α-β-\frac{1}{2}∠A=90°.$
如图②,当M在线段AB上,N在AC延长线上时,由(1)可得,$∠BFC=90°-\frac{1}{2}∠A$,$\because ∠BFC-∠MFB+∠NFC=180°,\therefore 90°-\frac{1}{2}∠A-α+β=180°$,即$β-α-\frac{1}{2}∠A=90°.$