1. （2026·南宁月考）如图①，已知△ABC是等边三角形，点D在△ABC内部，连结BD，CD，在CD的右侧构造等边三角形CDE，连结AE.
(1)求证:AE=BD;
(2)如图②，当B,D,E三点共线时，求∠AED的度数;
(3)如图③，在(2)的条件下，取BC中点F，连结AD,DF，试判断AD与DF之间的数量关系并证明.

(1)
∵ △ABC与△CDE均为等边三角形,
∴ BC=AC,DC=CE,且∠ACB=∠DCE=60°.
∵ ∠ACB=∠BCD+∠DCA,∠DCE=∠DCA+∠ACE,
∴ ∠ACE = ∠BCD,结合 BC = AC,DC = CE,
∴ △BCD≌△ACE(SAS),
∴ AE=BD.
(2)若B,D,E三点共线,则∠BDC=180°-∠EDC=120°.由(1)知△BCD≌△ACE,
∴ ∠BDC=∠AEC=120°.
∵ ∠AEC=∠DEC+∠AED,∠DEC=60°,
∴ ∠AED=60°.
(3)AD=2DF.证明:延长 DF 至点 M,使得 FM=DF,连结 BM,如图所示,
∵ 点 F 为 BC 中点,
∴ BF = FC.又
∵ DF = FM,∠BFM=∠DFC,
∴ △BFM≌△CFD(SAS),
∴ BM=DC,∠FBM=∠DCF.
∵ ∠BDC=120°,
∴ ∠DBC+∠DCB=60°,
∴ ∠DBC+∠FBM=60°,即∠DBM=60°.
∵ △CDE为等边三角形,
∴ DC=DE=BM,由(1)知△BCD≌△ACE,
∴ BD=AE,结合 DE=BM,∠DBM=∠AED=60°,
∴ △DBM≌△AED(SAS),
∴ DM=AD.
∵ DM=2DF,
∴ AD=2DF.

2. （黑龙江中考）$△ ABC$和$△ ADE$都是等边三角形.
(1)将$△ ADE$绕点$A$旋转到图①的位置时,连结$BD$,$CE$并延长相交于点$P$(点$P$与点$A$重合),有$PA+PB=PC$(或$PA+PC=PB$)成立.(不需证明)
(2)将$△ ADE$绕点$A$旋转到图②的位置时,连结$BD$,$CE$相交于点$P$,连结$PA$,猜想线段$PA$,$PB$,$PC$之间有怎样的数量关系?并加以证明.
(3)将$△ ADE$绕点$A$旋转到图③的位置时,连结$BD$,$CE$相交于点$P$,连结$PA$,猜想线段$PA$,$PB$,$PC$之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不需要证明.

$\gg$进一步挑战进阶专题:P100专题22~P102专题24

(2)PB=PA+PC,证明如下：
如图①,在 BP 上截取 BF=PC,连结 AF.
∵ △ABC,△ADE都是等边三角形,
∴ AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴ ∠BAC+∠CAD = ∠CAD+∠DAE,即∠DAB=∠EAC,
∴ △ABD≌△ACE(SAS),
∴ ∠ABD=∠ACE.
∵ AB=AC,BF=CP,
∴ △BAF≌△CAP(SAS),
∴ AF=AP,∠BAF=∠CAP,
∴ ∠BAC=∠PAF=60°,
∴ △AFP是等边三角形,
∴ PF=PA,
∴ PB=BF+PF=PC+PA.
(3)PC=PA+PB. 解析:如图②,在 PC 上截取 CM=PB,连结AM.同理得△ABD≌△ACE(SAS),
∴ ∠ABD=∠ACE.
∵ AB=AC,PB=CM,
∴ △AMC≌△APB(SAS),
∴ AM=AP,∠BAP=∠CAM,
∴ ∠BAC=∠PAM=60°,
∴ △AMP是等边三角形,
∴ PM=PA,
∴ PC=PM+CM=PA+PB.