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1. （2026·淮安期末）“绿水青山，就是金山银山”.某旅游景区为了保护环境，需购买A,B两种型号的垃圾处理设备，已知3台A型设备和2台B型设备日处理能力一共为54吨；5台A型设备和1台B型设备日处理能力一共为62吨.
(1)求1台A型设备、1台B型设备日处理能力各多少吨？
(2)若购买A,B两种型号的垃圾处理设备共20台(A,B两种型号均购买)，并且它们的日处理能力不低于235吨.请你为该景区设计购买A,B两种设备的方案.
(3)已知每台A型设备价格为5万元，每台B型设备价格为7万元.厂家为了促销产品，规定货款不低于137万元时，则按9.5折优惠；问:采用(2)中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由.
(1)求1台A型设备、1台B型设备日处理能力各多少吨？
(2)若购买A,B两种型号的垃圾处理设备共20台(A,B两种型号均购买)，并且它们的日处理能力不低于235吨.请你为该景区设计购买A,B两种设备的方案.
(3)已知每台A型设备价格为5万元，每台B型设备价格为7万元.厂家为了促销产品，规定货款不低于137万元时，则按9.5折优惠；问:采用(2)中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由.
答案
(1)设1台A型设备日处理能力为x吨,1台B型设备日处理能力为y吨,由题意得$\begin{cases}3x+2y=54,\\5x+y=62,\end{cases}$由5x+y=62得y=62-5x,代入3x+2y=54,得3x+2(62-5x)=54,解得x=10,则y=62-5×10=12.答:1台A型设备日处理能力为10吨,1台B型设备日处理能力为12吨.
(2)设购买A型设备m台,则购买B型设备(20-m)台,由题意得10m+12(20-m)≥235,解得m≤2.5.
∵m为正整数(A,B两种型号均购买),
∴m=1或2,对应的购买方案方案①:购买A型设备1台,B型设备19台;方案②:购买A型设备2台,B型设备18台.答:两种方案分别为购买A型设备1台、B型设备19台和A型设备2台、B型设备18台.
(3)方案①:货款=1×5+19×7=138(万元),
∵138≥137,享受9.5折优惠,实际付款=138×0.95=131.1(万元);方案②:货款=2×5+18×7=136(万元),
∵136＜137,不享受优惠,实际付款=136万元.
∵131.1＜136,
∴方案①(购买A型设备1台、B型设备19台)费用最少.答:采用购买A型设备1台、B型设备19台的方案,购买费用最少.
(2)设购买A型设备m台,则购买B型设备(20-m)台,由题意得10m+12(20-m)≥235,解得m≤2.5.
∵m为正整数(A,B两种型号均购买),
∴m=1或2,对应的购买方案方案①:购买A型设备1台,B型设备19台;方案②:购买A型设备2台,B型设备18台.答:两种方案分别为购买A型设备1台、B型设备19台和A型设备2台、B型设备18台.
(3)方案①:货款=1×5+19×7=138(万元),
∵138≥137,享受9.5折优惠,实际付款=138×0.95=131.1(万元);方案②:货款=2×5+18×7=136(万元),
∵136＜137,不享受优惠,实际付款=136万元.
∵131.1＜136,
∴方案①(购买A型设备1台、B型设备19台)费用最少.答:采用购买A型设备1台、B型设备19台的方案,购买费用最少.
2. 根据以下信息1~3,探索完成设计购买方案的任务1~3.
信息1:某校初一举办了科技比赛,学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品,奖品分为A,B,C三类.
信息2:若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元;购买3份A奖品和2份B奖品共需230元.单独购买一份C奖品需要15元.
信息3:计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数.购买时有优惠活动:每购买1份A奖品就赠送一份C奖品.
任务1:求A奖品和B奖品的单价;
任务2:若获A奖品的人数等于获C奖品的人数,且获得A奖品的人数超过10人,求此次购买A奖品有几种方案;
任务3:若购买奖品的总预算不超过1150元,要让获A奖品的人数尽量多,请你直接写出符合条件的购买方案.
信息1:某校初一举办了科技比赛,学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品,奖品分为A,B,C三类.
信息2:若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元;购买3份A奖品和2份B奖品共需230元.单独购买一份C奖品需要15元.
信息3:计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数.购买时有优惠活动:每购买1份A奖品就赠送一份C奖品.
任务1:求A奖品和B奖品的单价;
任务2:若获A奖品的人数等于获C奖品的人数,且获得A奖品的人数超过10人,求此次购买A奖品有几种方案;
任务3:若购买奖品的总预算不超过1150元,要让获A奖品的人数尽量多,请你直接写出符合条件的购买方案.
答案
任务1:设A奖品单价为x元,B奖品单价为y元,由题意可得$\begin{cases}2x+3y=220,\\3x+2y=230,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=50,\\y=40.\end{cases}$
答:A奖品单价为50元,B奖品单价为40元.
任务2:设购买A奖品a份,则购买B奖品(40-2a)份,由题意可得$\begin{cases}a＞10,\\a＜40-2a,\end{cases}$解得10＜a＜$\frac{40}{3}$.
∵a为正整数,
∴a可取的值有11,12,13.答:此次购买A奖品共有3种购买方案.
任务3:购买11份A奖品,12份B奖品,6份C奖品或购买11份A奖品,13份B奖品,5份C奖品. 解析:设购买A奖品m份,C奖品n份,则购买B奖品的份数为40-m-(m+n)=40-2m-n,依题意得$\begin{cases}50m+40(40-2m-n)+15n≤1150,\\m＜40-2m-n,\end{cases}$解得$\begin{cases}n≥18-\frac{6}{5}m,\\n＜40-3m,\end{cases}$即18-$\frac{6}{5}m$≤n＜40-3m,
∴18-$\frac{6}{5}m$＜40-3m,
∴m＜$\frac{110}{9}$.
∵m,n均为正整数,
∴m可以取的值有12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1.当m=12时,18-$\frac{6}{5}$×12≤n＜40-3×12,即$\frac{18}{5}$≤n＜4,无解,当m=11时,18-$\frac{6}{5}$×11≤n＜40-3×11,即$\frac{24}{5}$≤n＜7,
∴n=5或6.当m=11,n=6时,购买方案为购买A奖品11份,C奖品6份,B奖品12份,此时预算为11×50+6×15+12×40=1120(元),符合题意.当m=11,n=5时,购买方案为购买A奖品11份,C奖品5份,B奖品13份,此时预算为11×50+5×15+13×40=1145(元),符合题意.
答:A奖品单价为50元,B奖品单价为40元.
任务2:设购买A奖品a份,则购买B奖品(40-2a)份,由题意可得$\begin{cases}a＞10,\\a＜40-2a,\end{cases}$解得10＜a＜$\frac{40}{3}$.
∵a为正整数,
∴a可取的值有11,12,13.答:此次购买A奖品共有3种购买方案.
任务3:购买11份A奖品,12份B奖品,6份C奖品或购买11份A奖品,13份B奖品,5份C奖品. 解析:设购买A奖品m份,C奖品n份,则购买B奖品的份数为40-m-(m+n)=40-2m-n,依题意得$\begin{cases}50m+40(40-2m-n)+15n≤1150,\\m＜40-2m-n,\end{cases}$解得$\begin{cases}n≥18-\frac{6}{5}m,\\n＜40-3m,\end{cases}$即18-$\frac{6}{5}m$≤n＜40-3m,
∴18-$\frac{6}{5}m$＜40-3m,
∴m＜$\frac{110}{9}$.
∵m,n均为正整数,
∴m可以取的值有12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1.当m=12时,18-$\frac{6}{5}$×12≤n＜40-3×12,即$\frac{18}{5}$≤n＜4,无解,当m=11时,18-$\frac{6}{5}$×11≤n＜40-3×11,即$\frac{24}{5}$≤n＜7,
∴n=5或6.当m=11,n=6时,购买方案为购买A奖品11份,C奖品6份,B奖品12份,此时预算为11×50+6×15+12×40=1120(元),符合题意.当m=11,n=5时,购买方案为购买A奖品11份,C奖品5份,B奖品13份,此时预算为11×50+5×15+13×40=1145(元),符合题意.
