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8.已知$∠ AOB=60°$，OC是$∠ AOB$的平分线，点D为OC上一点，过D作直线$DE⊥ OA$，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示。若$DE=2$，则$DF=$
4
。答案
8.4
解析
【分析】
解题时首先根据角平分线的定义求出∠AOC和∠BOC的度数，再在Rt△ODE中利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出OD的长度，接着通过直角三角形两锐角互余求出∠OFE的度数，发现∠OFE和∠DOF相等，最后利用等角对等边得到DF=OD，即可求出DF的长度。
【解析】
解：
∵OC是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°。
∵DE⊥OA，
∴∠OED=90°，
在Rt△ODE中，∠EOD=30°，DE=2，
根据含30°角的直角三角形的性质，得OD=2DE=4。
在Rt△OEF中，∠EOF=60°，∠OEF=90°，
∴∠OFE=90°-60°=30°，
∴∠DOF=∠OFE=30°，
根据等角对等边，得DF=OD=4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的定义；含30°角的直角三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题的关键是熟练掌握角平分线、特殊直角三角形和等腰三角形的相关性质，通过角度推导建立线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据角平分线的定义求出∠AOC和∠BOC的度数，再在Rt△ODE中利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出OD的长度，接着通过直角三角形两锐角互余求出∠OFE的度数，发现∠OFE和∠DOF相等，最后利用等角对等边得到DF=OD，即可求出DF的长度。
【解析】
解：
∵OC是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°。
∵DE⊥OA，
∴∠OED=90°，
在Rt△ODE中，∠EOD=30°，DE=2，
根据含30°角的直角三角形的性质，得OD=2DE=4。
在Rt△OEF中，∠EOF=60°，∠OEF=90°，
∴∠OFE=90°-60°=30°，
∴∠DOF=∠OFE=30°，
根据等角对等边，得DF=OD=4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的定义；含30°角的直角三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题的关键是熟练掌握角平分线、特殊直角三角形和等腰三角形的相关性质，通过角度推导建立线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
9.如图，BN平分∠ABC，P为BN上的一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD. 求证：∠BAP+∠BCP=180°.
答案
9. 证明:过点P作PE⊥AB于点E.
∵BN平分∠ABC,PE⊥AB,PD⊥BC,
∴PE=PD. 在Rt△PBE和Rt△PBD中,
∵$\begin{cases} BP=BP, \\ PE=PD, \end{cases}$
∴Rt△PBE≌Rt△PBD,(HL),
∴BE=BD.
∵AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE-AE,
∴BE-AE+CD+BD=2BD,
∴AE=CD.
在△PAE和△PCD中，
∵$\begin{cases} PE=PD, \\ ∠PEA=∠PDC, \\ AE=CD, \end{cases}$
∴△PAE≌△PCD,(SAS).
∴∠EAP=∠DCP.
∵∠BAP + ∠EAP = 180°,
∴∠BAP+∠BCP=180°.
∵BN平分∠ABC,PE⊥AB,PD⊥BC,
∴PE=PD. 在Rt△PBE和Rt△PBD中,
∵$\begin{cases} BP=BP, \\ PE=PD, \end{cases}$
∴Rt△PBE≌Rt△PBD,(HL),
∴BE=BD.
∵AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE-AE,
∴BE-AE+CD+BD=2BD,
∴AE=CD.
在△PAE和△PCD中，
∵$\begin{cases} PE=PD, \\ ∠PEA=∠PDC, \\ AE=CD, \end{cases}$
∴△PAE≌△PCD,(SAS).
∴∠EAP=∠DCP.
∵∠BAP + ∠EAP = 180°,
∴∠BAP+∠BCP=180°.
解析
【分析】
要证明∠BAP与∠BCP互补，可通过证明∠BCP和∠BAP的邻补角相等来推导。首先看到BN是∠ABC的角平分线，且PD⊥BC，根据角平分线的性质，可过P作PE⊥AB于点E，得到PE=PD，先证Rt△PBE和Rt△PBD全等，推得BE=BD；再结合已知条件AB+BC=2BD，将AB、BC拆分为含AE、CD的线段形式，通过等量代换得到AE=CD；最后证明△PAE和△PCD全等，得到∠EAP=∠BCP，结合∠BAP与∠EAP是邻补角的关系即可完成证明。
【解析】
证明：过点P作PE⊥AB于点E。
∵BN平分∠ABC，PE⊥AB，PD⊥BC，
∴PE=PD。
在Rt△PBE和Rt△PBD中，
$\begin{cases} BP=BP, \\ PE=PD, \end{cases}$
∴Rt△PBE≌Rt△PBD（HL），
∴BE=BD。
∵AB+BC=2BD，BC=CD+BD，AB=BE-AE，
∴BE-AE+CD+BD=2BD，
化简得AE=CD。
在△PAE和△PCD中，
$\begin{cases} PE=PD, \\ ∠PEA=∠PDC=90°, \\ AE=CD, \end{cases}$
∴△PAE≌△PCD（SAS），
∴∠EAP=∠DCP，即∠EAP=∠BCP。
∵∠BAP + ∠EAP = 180°，
∴∠BAP+∠BCP=180°。
【答案】
∠BAP+∠BCP=180°
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、补角的定义
【点评】
本题是角平分线与全等三角形结合的典型题型，解题关键是利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，学会将已知的线段和条件通过等量代换转化为证明全等的线段条件，最终实现线段关系到角关系的推导。
【难度系数】
0.6
要证明∠BAP与∠BCP互补，可通过证明∠BCP和∠BAP的邻补角相等来推导。首先看到BN是∠ABC的角平分线，且PD⊥BC，根据角平分线的性质，可过P作PE⊥AB于点E，得到PE=PD，先证Rt△PBE和Rt△PBD全等，推得BE=BD；再结合已知条件AB+BC=2BD，将AB、BC拆分为含AE、CD的线段形式，通过等量代换得到AE=CD；最后证明△PAE和△PCD全等，得到∠EAP=∠BCP，结合∠BAP与∠EAP是邻补角的关系即可完成证明。
【解析】
证明：过点P作PE⊥AB于点E。
∵BN平分∠ABC，PE⊥AB，PD⊥BC，
∴PE=PD。
在Rt△PBE和Rt△PBD中，
$\begin{cases} BP=BP, \\ PE=PD, \end{cases}$
∴Rt△PBE≌Rt△PBD（HL），
∴BE=BD。
∵AB+BC=2BD，BC=CD+BD，AB=BE-AE，
∴BE-AE+CD+BD=2BD，
化简得AE=CD。
在△PAE和△PCD中，
$\begin{cases} PE=PD, \\ ∠PEA=∠PDC=90°, \\ AE=CD, \end{cases}$
∴△PAE≌△PCD（SAS），
∴∠EAP=∠DCP，即∠EAP=∠BCP。
∵∠BAP + ∠EAP = 180°，
∴∠BAP+∠BCP=180°。
【答案】
∠BAP+∠BCP=180°
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、补角的定义
【点评】
本题是角平分线与全等三角形结合的典型题型，解题关键是利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，学会将已知的线段和条件通过等量代换转化为证明全等的线段条件，最终实现线段关系到角关系的推导。
【难度系数】
0.6
10.（兰州市中考）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=130°$，$DA⊥ AC$，则$∠ ADB=$（
A.$100°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$145°$
B
）A.$100°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$145°$
答案
10.B
解析
【分析】
首先根据已知条件AB=AC可判断△ABC为等腰三角形，结合顶角∠BAC的度数，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，先计算出底角∠C的度数。再根据DA⊥AC得到∠DAC=90°，观察∠ADB是△ADC的外角，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=130°
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-130°)÷2=25°
∵DA⊥AC
∴∠DAC=90°
∵∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠ADB=∠C + ∠DAC = 25° + 90° = 115°
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形角度计算的相关定理，通过已知条件逐步推导未知角的度数即可求解。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件AB=AC可判断△ABC为等腰三角形，结合顶角∠BAC的度数，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，先计算出底角∠C的度数。再根据DA⊥AC得到∠DAC=90°，观察∠ADB是△ADC的外角，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=130°
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-130°)÷2=25°
∵DA⊥AC
∴∠DAC=90°
∵∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠ADB=∠C + ∠DAC = 25° + 90° = 115°
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形角度计算的相关定理，通过已知条件逐步推导未知角的度数即可求解。
【难度系数】
0.7
11.如图,在等边△ABC中,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,且PQ=3,PE=1,则AD的长为
7
.答案
11.7
解析
【分析】
首先利用等边三角形的性质得到边、角的相等关系，通过SAS判定证明△ABE≌△CAD，可得BE=AD以及角的等量关系；再结合三角形外角性质求出∠BPQ的度数，利用直角三角形30°角的性质求出BP的长度，最后计算BE的长度即可得到AD的长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ BAE=∠ C\\ AE=CD\end{array} $
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD，∠ABE=∠CAD。
∵∠BPQ是△ABP的外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD，即∠BQP=90°，
∴∠PBQ=30°，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=2×3=6，
∴BE=BP+PE=6+1=7，
又
∵BE=AD，
∴AD=7。
【答案】
7
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是常见的几何综合题，解题核心是通过全等三角形转换线段的等量关系，结合特殊直角三角形的性质求解线段长度，需要熟练掌握三角形相关的基础性质。
【难度系数】
0.65
首先利用等边三角形的性质得到边、角的相等关系，通过SAS判定证明△ABE≌△CAD，可得BE=AD以及角的等量关系；再结合三角形外角性质求出∠BPQ的度数，利用直角三角形30°角的性质求出BP的长度，最后计算BE的长度即可得到AD的长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ BAE=∠ C\\ AE=CD\end{array} $
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD，∠ABE=∠CAD。
∵∠BPQ是△ABP的外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD，即∠BQP=90°，
∴∠PBQ=30°，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=2×3=6，
∴BE=BP+PE=6+1=7，
又
∵BE=AD，
∴AD=7。
【答案】
7
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是常见的几何综合题，解题核心是通过全等三角形转换线段的等量关系，结合特殊直角三角形的性质求解线段长度，需要熟练掌握三角形相关的基础性质。
【难度系数】
0.65
12.如图,已知$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$于D,$∠ BAC$的平分线分别交BC,CD于E、F.
(1)试说明$△ CEF$是等腰三角形.
(2)若点E恰好在线段AB的垂直平分线上,试说明线段AC与线段AB之间的数量关系.
(1)试说明$△ CEF$是等腰三角形.
(2)若点E恰好在线段AB的垂直平分线上,试说明线段AC与线段AB之间的数量关系.
答案
12. (1)解
∵∠ACB=90°,
∴∠B+∠BAC=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠ACD=∠B,
∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠CAE=∠EAB,
∵∠EAB+∠B=∠CEA,∠CAE+∠ACD=∠CFE,
∴∠CFE=∠CEF,
∴CF=CE,
∴△CEF是等腰三角形;
(2)
∵点E恰好在线段AB的垂直平分线上,
∴AE=BE,
∴∠EAB=∠B,
∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠CAE=∠EAB,
∴∠CAB=2∠B,
∵∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠B=90°,
∴∠B=30°,
∴AC=$\frac{1}{2}$AB.
∵∠ACB=90°,
∴∠B+∠BAC=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠ACD=∠B,
∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠CAE=∠EAB,
∵∠EAB+∠B=∠CEA,∠CAE+∠ACD=∠CFE,
∴∠CFE=∠CEF,
∴CF=CE,
∴△CEF是等腰三角形;
(2)
∵点E恰好在线段AB的垂直平分线上,
∴AE=BE,
∴∠EAB=∠B,
∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠CAE=∠EAB,
∴∠CAB=2∠B,
∵∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠B=90°,
∴∠B=30°,
∴AC=$\frac{1}{2}$AB.
解析
【分析】
(1)要证明△CEF是等腰三角形，需证明CF=CE，即证明∠CFE=∠CEF。首先利用直角三角形两锐角互余推出∠ACD=∠B，再结合角平分线的性质得到∠CAE=∠EAB，最后利用三角形外角的性质分别表示∠CEF和∠CFE，即可推出两角相等，完成证明。
(2)要推导AC和AB的数量关系，先根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，推出∠EAB=∠B，结合角平分线的性质可得∠CAB=2∠B，再在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余求出∠B=30°，最后根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”即可得到两者的数量关系。
【解析】
(1)证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B（同角的余角相等），
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=∠EAB，
∵根据三角形外角的性质，∠CEA=∠EAB+∠B，∠CFE=∠CAE+∠ACD，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE，
∴△CEF是等腰三角形。
(2)解：
∵点E在线段AB的垂直平分线上，
∴AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠EAB=∠B，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=∠EAB，
∴∠CAE=∠EAB=∠B，即∠CAB=2∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
代入得2∠B+∠B=90°，解得∠B=30°，
∵在Rt△ABC中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，∠B对的直角边是AC，斜边是AB，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB。
【答案】
(1)△CEF是等腰三角形；(2)AC=$\frac{1}{2}$AB
【知识点】
等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，综合考察了角平分线、垂直平分线、等腰三角形判定及直角三角形的相关性质，解题核心是通过角的等量代换推导角度关系，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△CEF是等腰三角形，需证明CF=CE，即证明∠CFE=∠CEF。首先利用直角三角形两锐角互余推出∠ACD=∠B，再结合角平分线的性质得到∠CAE=∠EAB，最后利用三角形外角的性质分别表示∠CEF和∠CFE，即可推出两角相等，完成证明。
(2)要推导AC和AB的数量关系，先根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，推出∠EAB=∠B，结合角平分线的性质可得∠CAB=2∠B，再在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余求出∠B=30°，最后根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”即可得到两者的数量关系。
【解析】
(1)证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B（同角的余角相等），
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=∠EAB，
∵根据三角形外角的性质，∠CEA=∠EAB+∠B，∠CFE=∠CAE+∠ACD，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE，
∴△CEF是等腰三角形。
(2)解：
∵点E在线段AB的垂直平分线上，
∴AE=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠EAB=∠B，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=∠EAB，
∴∠CAE=∠EAB=∠B，即∠CAB=2∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
代入得2∠B+∠B=90°，解得∠B=30°，
∵在Rt△ABC中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，∠B对的直角边是AC，斜边是AB，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB。
【答案】
(1)△CEF是等腰三角形；(2)AC=$\frac{1}{2}$AB
【知识点】
等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，综合考察了角平分线、垂直平分线、等腰三角形判定及直角三角形的相关性质，解题核心是通过角的等量代换推导角度关系，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图，等边三角形ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AB边上一点，若BF=4，当BE+EF取得最小值时，∠EBC的度数为（
A.$15°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$45°$
C
）A.$15°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$45°$
答案
13.C
解析
【分析】
本题属于最短路径类几何题，解题思路如下：①首先利用等边三角形三线合一的性质，可知AD是BC的垂直平分线，因此点B和点C关于AD对称，可将BE转化为CE，那么BE+EF就转化为CE+EF；②根据两点之间线段最短，当C、E、F三点共线时，CE+EF取得最小值，也就是BE+EF最小；③结合F是AB中点的条件，利用等边三角形三线合一求出对应角的度数即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，边长为8，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，AD垂直平分BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∴点B与点C关于AD对称，即BE=CE，
∴BE+EF=CE+EF，
根据两点之间线段最短，当C、E、F三点共线时，CE+EF的值最小，即BE+EF取得最小值。
∵AB=8，BF=4，
∴F是AB的中点，
∴CF是等边△ABC中AB边上的中线，根据等边三角形三线合一，CF⊥AB，
在Rt△BFC中，∠FBC=60°，
∴∠BCF=90°-60°=30°，
∵E在BC的垂直平分线AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB=30°。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；等边三角形的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题将轴对称最短路径模型和等边三角形的性质结合考查，解题的核心是利用轴对称将两条线段的和转化为可直接用“两点之间线段最短”判断的形式，再结合特殊三角形的性质计算角度，需要学生熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
本题属于最短路径类几何题，解题思路如下：①首先利用等边三角形三线合一的性质，可知AD是BC的垂直平分线，因此点B和点C关于AD对称，可将BE转化为CE，那么BE+EF就转化为CE+EF；②根据两点之间线段最短，当C、E、F三点共线时，CE+EF取得最小值，也就是BE+EF最小；③结合F是AB中点的条件，利用等边三角形三线合一求出对应角的度数即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，边长为8，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，AD垂直平分BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∴点B与点C关于AD对称，即BE=CE，
∴BE+EF=CE+EF，
根据两点之间线段最短，当C、E、F三点共线时，CE+EF的值最小，即BE+EF取得最小值。
∵AB=8，BF=4，
∴F是AB的中点，
∴CF是等边△ABC中AB边上的中线，根据等边三角形三线合一，CF⊥AB，
在Rt△BFC中，∠FBC=60°，
∴∠BCF=90°-60°=30°，
∵E在BC的垂直平分线AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB=30°。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；等边三角形的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题将轴对称最短路径模型和等边三角形的性质结合考查，解题的核心是利用轴对称将两条线段的和转化为可直接用“两点之间线段最短”判断的形式，再结合特殊三角形的性质计算角度，需要学生熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
