14.过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为。。

14.36°或45°

【分析】
本题需结合等腰三角形的性质和分类讨论思想求解。首先设原等腰三角形的底角为x，可表示出其顶角为(180-2x)°，过顶角顶点的直线将原三角形分为两个等腰三角形，存在两种不同的边相等情况，分别对应两种角度关系，结合三角形内角和定理、外角性质列方程求解即可，注意排除不符合三角形角度规则的情况。
【解析】
设原等腰三角形为△ABC，AB=AC，∠B=∠C=x，则顶角∠BAC=(180-2x)°，过点A的直线交BC于点D，且△ABD和△ACD均为等腰三角形，分两种情况讨论：
情况1：AD=BD，AD=CD
此时∠BAD=∠B=x，∠CAD=∠C=x，因此∠BAC=∠BAD+∠CAD=2x
根据三角形内角和为180°，得：$x+x+2x=180°$
解得：$x=45°$
情况2：AB=BD，AD=CD
此时∠ADB=∠BAD，∠CAD=∠C=x
∵∠ADB是△ACD的外角，
∴$∠ ADB=∠ C+∠ CAD=2x$，即$∠ BAD=2x$
因此$∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=2x+x=3x$
根据三角形内角和为180°，得：$x+x+3x=180°$
解得：$x=36°$
其余分类情况要么与上述两种结果一致，要么不符合三角形内角和规则，均舍去。
【答案】
36°或45°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时要结合分割后两个三角形均为等腰的条件，全面考虑所有可能的边相等情况，结合角度关系列方程求解，避免漏解。
【难度系数】
0.6

15.（1）操作实践:如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$∠ B=22.5°$,请画出一条直线,把$△ ABC$分割成两个等腰三角形,并标出分割成的两个等腰三角形底角的度数;(要求用两种不同的分割方法)
（2）分类探究:在$△ ABC$中,最小内角$∠ B=24°$,若$△ ABC$被一直线分割成两个等腰三角形,请画出相应示意图,并写出$△ ABC$最大内角的所有可能值.

15. (1)解:如图所示.
(2)设分割线为AD,相应的角度如图所示:
图1的最大内角为39°+78°=117°;图2的最大内角为24°+180°-2×48°=108°;图3的最大内角为24°+66°=90°;图4的最大内角为180°-24°-24°-48°=84°.
∴△ABC的最大内角可能是117°或108°或90°或84°.

【分析】
（1）要将含22.5°角的直角三角形分割为两个等腰三角形，先利用三角形内角和算出∠C=67.5°，核心思路是构造相等的角：①从直角顶点A分割，将90°拆为22.5°和67.5°，分别与∠B、∠C相等，即可得到两个等腰三角形；②从顶点C分割，将67.5°拆为22.5°和45°，22.5°与∠B相等，45°与分割后形成的外角相等，即可得到两个等腰三角形。
（2）已知最小内角∠B=24°，分割线为AD，需分类讨论△ABD为等腰三角形的不同情况，再结合△ADC也为等腰三角形的条件，利用三角形内角和、外角性质计算各角度，最终得到最大内角的所有可能值，分类时需做到不重不漏。
【解析】
（1）先计算△ABC的内角度数：
∵∠BAC=90°，∠B=22.5°，
∴∠C=180°-90°-22.5°=67.5°。
分割方法1：过点A作AD交BC于D，使∠BAD=22.5°，则∠B=∠BAD，故△ABD为等腰三角形，底角为22.5°；此时∠DAC=90°-22.5°=67.5°=∠C，故△ADC为等腰三角形，底角为67.5°。
分割方法2：过点C作CD交AB于D，使∠BCD=22.5°，则∠B=∠BCD，故△BCD为等腰三角形，底角为22.5°；此时∠ADC是△BCD的外角，∠ADC=22.5°+22.5°=45°，∠ACD=67.5°-22.5°=45°=∠ADC，故△ACD为等腰三角形，底角为45°。
（2）设分割线为AD，分四种情况计算：
图1：△ABD为等腰三角形，∠ADB=78°，△ADC为等腰三角形，∠DAC=39°，最大内角=39°+78°=117°；
图2：△ABD为等腰三角形，∠BAD=24°，△ADC为等腰三角形，∠DAC=180°-2×48°=84°，最大内角=24°+84°=108°；
图3：△ABD为等腰三角形，∠BAD=24°，△ADC为等腰三角形，∠C=66°，最大内角=24°+66°=90°；
图4：△ABD为等腰三角形，∠BAD=24°，△ADC为等腰三角形，∠C=48°，最大内角=180°-24°-24°-48°=84°。
【答案】
15. (1)解:如图所示。
(2)设分割线为AD,相应的角度如图所示:
图1的最大内角为39°+78°=117°;图2的最大内角为24°+180°-2×48°=108°;图3的最大内角为24°+66°=90°;图4的最大内角为180°-24°-24°-48°=84°。
∴△ABC的最大内角可能是117°或108°或90°或84°。
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角性质
【点评】
本题侧重考查动手操作能力和分类讨论的数学思想，解题时要结合等腰三角形等角对等边的性质，通过角度计算验证分割的合理性，分类讨论时需覆盖所有可能的等腰情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5

16. (1)观察与发现：
小明将三角形纸片$ABC(AB＞AC)$沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，AD与EF相交于点O，展平纸片后得到$△ AEF$(如图②).小明认为$△ AEF$是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.
(2)实践与运用：
将长方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点$D'$处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片(如图⑤)，求图⑤中α的大小.

16. 解:同意,理由如下:(1)连接DE,DF.由第一次折叠,可知AD为∠CAB的平分线,
∴∠EAD=∠FAD.由第二次折叠,可知∠CAB = ∠EDF,∠EAD = ∠EDA,∠FAD = ∠FDA.
∵∠EAD = ∠FAD,
∴∠EDA = ∠FDA. 在△AED与△AFD中，$\begin{cases} ∠EAD=∠FAD, \\ AD=AD, \\ ∠EDA=∠FDA, \end{cases}$
∴△AED ≌ △AFD,(ASA),
∴AE=AF,
∴△AEF是等腰三角形.
(2)由折叠知,四边形ABFE是正方形,∠AEB=45°,
∴∠BED=180°-45°=135°.又由折叠知,∠BEG=∠DEG=$\frac{1}{2}$∠BED=67.5°,
∴α=90°-67.5°=22.5°.

【分析】
(1)要判断△AEF是否为等腰三角形，核心是证明该三角形有两条边相等或两个底角相等。首先结合折叠的性质，第一次折叠可推出AD是∠CAB的角平分线，第二次折叠点A与D重合可得到多组对应角相等，再通过证明△AED和△AFD全等得到AE=AF，即可得出结论。
(2)求α的度数时，先利用第一次折叠的性质，结合矩形内角为90°的特征，推出四边形ABFE是正方形，得到∠AEB的度数，再根据第二次折叠的角平分性质算出∠BEG的度数，最后结合直角的性质即可求出α的大小。
【解析】
(1)同意，理由如下：
连接DE、DF。
由第一次折叠，可知AD为∠CAB的平分线，
∴∠EAD=∠FAD。
由第二次折叠，可知点A和点D重合，
∴∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA。
∵∠EAD=∠FAD，
∴∠EDA=∠FDA。
在△AED与△AFD中：
$\begin{cases} ∠EAD=∠FAD \\ AD=AD \\ ∠EDA=∠FDA \end{cases}$
∴△AED ≌ △AFD（ASA），
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形。
(2)由折叠的性质可知，第一次折叠后点A落在BC上的F处，
∴AB=BF，∠A=∠BFE=90°，
又
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ABF=∠A=90°，
∴四边形ABFE是正方形，
∴∠AEB=45°，
∴∠BED=180°-45°=135°。
由第二次折叠可知，EG平分∠BED，
∴∠BEG=∠DEG=$\frac{1}{2}$∠BED=67.5°，
∴α=90°-67.5°=22.5°。
【答案】
(1)同意，△AEF是等腰三角形；
(2)α=22.5°
【知识点】
折叠的性质，全等三角形的判定，矩形的性质
【点评】
本题属于几何操作类题型，重点考查折叠变换的性质，结合了全等三角形、特殊四边形的相关知识，解题时要抓住折叠前后对应边、对应角相等的核心特征，逐步推导边或角的等量关系即可求解。
【难度系数】
0.7