8. 核心素养模型观念「2024湖北武汉中考，★★★」16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”（如图1），它是二级火箭的始祖。火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行。
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程。如图2，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线$y=ax^2+x$和直线$y=-\frac{1}{2}x+b$。其中，当火箭运行的水平距离为9 km时，自动引发火箭的第二级。


(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km.
①直接写出a,b的值.
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km，求这两个位置之间的距离.
(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km.

(1) ①$a=-\frac{1}{5},b=8.1$。
详解：$\because$ 抛物线 $y=ax^2+x$ 经过点 $(9,3.6)$，
$\therefore 81a+9=3.6$，解得 $a=-\frac{1}{15}$。
$\because$ 直线 $y=-\frac{1}{2}x+b$ 经过点 $(9,3.6)$，
$\therefore 3.6=-\frac{1}{2}×9+b$，解得 $b=8.1$，$\therefore a=-\frac{1}{15},b=8.1$。
②由①得 $y=-\frac{1}{15}x^2+x=-\frac{1}{15}(x^2-15x+\frac{225}{4})+\frac{15}{4}=-\frac{1}{15}(x-\frac{15}{2})^2+\frac{15}{4}(0≤ x≤9)$，
$\therefore$ 火箭运行的最高点的高度是 $\frac{15}{4}\ \mathrm{km}$。
$\frac{15}{4}-1.35=2.4(\mathrm{km})$，令 $2.4=-\frac{1}{15}x^2+x$，
整理，得 $x^2-15x+36=0$，
解得 $x_1=12$(不合题意，舍去)，$x_2=3$。
由①得 $y=-\frac{1}{2}x+8.1$，令 $2.4=-\frac{1}{2}x+8.1$，
解得 $x=11.4$，$11.4-3=8.4(\mathrm{km})$。
答：这两个位置之间的距离为8.4 km。
(2) $-\frac{2}{27}＜a＜0$ 时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km。
详解：当 $x=9$ 时，$y=81a+9$，
$\therefore$ 火箭第二级的引发点的坐标为 $(9,81a+9)$。
设火箭落地点与发射点的水平距离为15 km。
$\because$ 直线 $y=-\frac{1}{2}x+b$ 经过点 $(9,81a+9)$，$(15,0)$，
$\therefore \begin{cases}-\frac{1}{2}×9+b=81a+9,\\-\frac{1}{2}×15+b=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-\frac{2}{27},\\b=7.5,\end{cases}$
$\because a$ 的值越大，点 $(9,81a+9)$ 越靠上，直线 $y=-\frac{1}{2}x+b$ 与 $x$ 轴的交点越靠右，$\therefore -\frac{2}{27}＜a＜0$ 时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km。