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12.求$[(3x+4y)^2 - 3x(3x+4y)] ÷ (-6y)$的值，其中$x=-1,y=3$。
答案
12. 解:原式=$(9x^2+24xy+16y^2-9x^2-12xy)×(-\dfrac{1}{6y})-\dfrac{12xy}{6y}-\dfrac{16y^2}{6y}=-2x-\dfrac{8}{3}y$,当$x=-1,y=3$时,原式=$-2×(-1)-\dfrac{8}{3}×3=-6$。
解析
【分析】
本题是整式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的原则可降低计算难度。首先按照整式混合运算顺序处理中括号内的部分：先展开完全平方式、计算单项式乘多项式，再合并同类项，之后计算多项式除以单项式得到最简整式，最后代入x、y的数值计算结果即可。
【解析】
解：先对原式化简：
原式$=[9x^2+24xy+16y^2 - (9x^2+12xy)] ÷ (-6y)$
$=(9x^2+24xy+16y^2 - 9x^2 -12xy) ÷ (-6y)$
$=(12xy + 16y^2) ÷ (-6y)$
$=12xy÷(-6y) + 16y^2÷(-6y)$
$=-2x - \dfrac{8}{3}y$
将$x=-1$，$y=3$代入化简后的式子：
原式$=-2×(-1) - \dfrac{8}{3}×3$
$=2 - 8$
$=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
整式混合运算、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题重点考察整式运算的熟练度，先化简再求值的思路能有效减少计算量，运算过程中要注意去括号、除法运算的符号变化，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.7
本题是整式化简求值类题目，遵循“先化简，再求值”的原则可降低计算难度。首先按照整式混合运算顺序处理中括号内的部分：先展开完全平方式、计算单项式乘多项式，再合并同类项，之后计算多项式除以单项式得到最简整式，最后代入x、y的数值计算结果即可。
【解析】
解：先对原式化简：
原式$=[9x^2+24xy+16y^2 - (9x^2+12xy)] ÷ (-6y)$
$=(9x^2+24xy+16y^2 - 9x^2 -12xy) ÷ (-6y)$
$=(12xy + 16y^2) ÷ (-6y)$
$=12xy÷(-6y) + 16y^2÷(-6y)$
$=-2x - \dfrac{8}{3}y$
将$x=-1$，$y=3$代入化简后的式子：
原式$=-2×(-1) - \dfrac{8}{3}×3$
$=2 - 8$
$=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
整式混合运算、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题重点考察整式运算的熟练度，先化简再求值的思路能有效减少计算量，运算过程中要注意去括号、除法运算的符号变化，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.7
13.已知$(a+2)^2 + |a+b+5| = 0$，求$3a^2b - [2a^2b - (2ab - a^2b) - 4a^2] - ab$的值。
答案
13. 解:$\because (a+2)^2≥0,|a+b+5|≥0$,由$(a+2)^2+|a+b+5|=0$,得$a+2=0,a+b+5=0$,解得$a=-2,b=-3$。原式化简得$ab+4a^2$,值为22。
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据平方和绝对值的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列方程求出a、b的值；第二步，先对所求整式进行去括号、合并同类项化简，再将a、b的值代入化简后的式子计算结果，先化简再代值可以减少计算量，避免出错。
【解析】
第一步：求a、b的值
∵ 平方和绝对值都具有非负性，即$(a+2)^2≥0$，$|a+b+5|≥0$，且$(a+2)^2 + |a+b+5| = 0$
∴ 可得：$a+2=0$，$a+b+5=0$
解得$a=-2$，将$a=-2$代入$a+b+5=0$，得$-2+b+5=0$，解得$b=-3$
第二步：化简整式
$3a^2b - [2a^2b - (2ab - a^2b) - 4a^2] - ab$
先去小括号：
$=3a^2b - [2a^2b - 2ab + a^2b - 4a^2] - ab$
合并中括号内的同类项：
$=3a^2b - [3a^2b - 2ab - 4a^2] - ab$
去中括号（括号前为负号，括号内各项均变号）：
$=3a^2b - 3a^2b + 2ab + 4a^2 - ab$
合并同类项：
$=ab + 4a^2$
第三步：代值计算
将$a=-2$、$b=-3$代入化简后的式子：
原式$=(-2)×(-3) + 4×(-2)^2=6+16=22$
【答案】
22
【知识点】
非负数的性质、整式的加减、代数式求值
【点评】
本题是整式求值类的典型题，核心在于先利用非负数的性质求出未知字母的值，再通过化简整式简化计算过程，解题时要特别注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步，根据平方和绝对值的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列方程求出a、b的值；第二步，先对所求整式进行去括号、合并同类项化简，再将a、b的值代入化简后的式子计算结果，先化简再代值可以减少计算量，避免出错。
【解析】
第一步：求a、b的值
∵ 平方和绝对值都具有非负性，即$(a+2)^2≥0$，$|a+b+5|≥0$，且$(a+2)^2 + |a+b+5| = 0$
∴ 可得：$a+2=0$，$a+b+5=0$
解得$a=-2$，将$a=-2$代入$a+b+5=0$，得$-2+b+5=0$，解得$b=-3$
第二步：化简整式
$3a^2b - [2a^2b - (2ab - a^2b) - 4a^2] - ab$
先去小括号：
$=3a^2b - [2a^2b - 2ab + a^2b - 4a^2] - ab$
合并中括号内的同类项：
$=3a^2b - [3a^2b - 2ab - 4a^2] - ab$
去中括号（括号前为负号，括号内各项均变号）：
$=3a^2b - 3a^2b + 2ab + 4a^2 - ab$
合并同类项：
$=ab + 4a^2$
第三步：代值计算
将$a=-2$、$b=-3$代入化简后的式子：
原式$=(-2)×(-3) + 4×(-2)^2=6+16=22$
【答案】
22
【知识点】
非负数的性质、整式的加减、代数式求值
【点评】
本题是整式求值类的典型题，核心在于先利用非负数的性质求出未知字母的值，再通过化简整式简化计算过程，解题时要特别注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
14.如下图，直线$AC// BD$，连接$AB$，直线$AC$，$BD$及线段$AB$把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点$P$落在某个部位时，连接$PA$，$PB$构成$∠ PAC$，$∠ APB$，$∠ PBD$三个角。（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是$0°$角）当动点$P$落在第①部分时，试说明：$∠ APB=∠ PAC+∠ PBD$。
答案
证明：
过点P作PQ//AC，交AB于点Q。
∵ PQ//AC，
∴ ∠PAC = ∠APQ（两直线平行，内错角相等）。
又∵ AC//BD，
∴ PQ//BD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∴ ∠PBD = ∠BPQ（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠APB = ∠APQ + ∠BPQ，
∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD。
过点P作PQ//AC，交AB于点Q。
∵ PQ//AC，
∴ ∠PAC = ∠APQ（两直线平行，内错角相等）。
又∵ AC//BD，
∴ PQ//BD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∴ ∠PBD = ∠BPQ（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠APB = ∠APQ + ∠BPQ，
∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD。
解析
【分析】
要证明∠APB=∠PAC+∠PBD，已知AC//BD，但动点P在两条平行直线外，无法直接利用平行线性质建立三个角的关系。我们可以通过作辅助线的方法，过点P作平行于AC的直线，利用平行线的传递性得到该辅助线也平行于BD，再借助平行线内错角相等的性质，将∠APB拆分为两个分别与∠PAC、∠PBD相等的角，最后通过角的和差关系即可推导出结论。
【解析】
证明：过点P作PQ//AC，交AB于点Q。
∵ PQ//AC，
∴ ∠PAC = ∠APQ（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ AC//BD，
∴ PQ//BD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∴ ∠PBD = ∠BPQ（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠APB = ∠APQ + ∠BPQ，
∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD。
【答案】
∠APB=∠PAC+∠PBD
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，核心解题思路是通过构造辅助平行线，将待证的角的和差关系转化为平行线间的内错角相等关系推导，掌握此类辅助线的构造方法和平行线的相关性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明∠APB=∠PAC+∠PBD，已知AC//BD，但动点P在两条平行直线外，无法直接利用平行线性质建立三个角的关系。我们可以通过作辅助线的方法，过点P作平行于AC的直线，利用平行线的传递性得到该辅助线也平行于BD，再借助平行线内错角相等的性质，将∠APB拆分为两个分别与∠PAC、∠PBD相等的角，最后通过角的和差关系即可推导出结论。
【解析】
证明：过点P作PQ//AC，交AB于点Q。
∵ PQ//AC，
∴ ∠PAC = ∠APQ（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ AC//BD，
∴ PQ//BD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∴ ∠PBD = ∠BPQ（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠APB = ∠APQ + ∠BPQ，
∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD。
【答案】
∠APB=∠PAC+∠PBD
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，核心解题思路是通过构造辅助平行线，将待证的角的和差关系转化为平行线间的内错角相等关系推导，掌握此类辅助线的构造方法和平行线的相关性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
