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1. 如图,直线 $a// b$,点 $A,B,C$ 在直线 $a$ 上,直线 $b$ 上有 4 个点,将点 $A,B,C$ 与直线 $b$ 上的 4 个点分别相连,在直线 $a,b$ 之间(不包括在直线 $a,b$ 上)有 $n$ 个交点,则 $n$ 的最大值为
（
A.12
B.16
C.18
D.20
（
C
）A.12
B.16
C.18
D.20
答案
1. C 提示:如图
,在直线a,b之间(不包括在直线a,b上)有n个交点,则n的最大值为18.解析
【分析】
我们要得到直线a、b之间交点的最大值，核心思路是避免多条连线共点，让每一组相交的线段都产生唯一交点。可以利用几何性质推导：任意两个点在直线a上、另外两个点在直线b上，这四个点连接形成的两条线段（对应凸四边形的对角线），会在a、b之间产生且仅产生1个交点。因此只需要分别计算从a上选2个点、从b上选2个点的组合数，二者相乘就是最多的交点数，不用逐个连线数点，能避免重复或遗漏。
【解析】
要使交点数n取最大值，需保证所有连接直线a、b上点的线段，在直线a、b之间不存在三条线段共点的情况：
1. 每一个位于a、b之间的交点，都唯一对应一组选点方式：从直线a的3个点中任选2个，同时从直线b的4个点中任选2个，这4个点构成凸四边形，该四边形的两条对角线的交点就是对应的a、b之间的交点。
2. 计算选点组合数：
从直线a的3个点中选2个的组合数：$C_3^2=\frac{3×2}{2}=3$
从直线b的4个点中选2个的组合数：$C_4^2=\frac{4×3}{2}=6$
3. 总最大交点数：$n = C_3^2 × C_4^2 = 3×6=18$
【答案】
【知识点】
组合计数，相交线交点性质
【点评】
本题是几何与排列组合结合的经典题型，没有要求直接数点，而是需要转化思维，将“求最多交点”的问题转化为“统计四点组合数量”的模型，有效避免了直接连线计数容易出现的重复、漏算问题，对学生的转化思想有一定考察。
【难度系数】
0.4
我们要得到直线a、b之间交点的最大值，核心思路是避免多条连线共点，让每一组相交的线段都产生唯一交点。可以利用几何性质推导：任意两个点在直线a上、另外两个点在直线b上，这四个点连接形成的两条线段（对应凸四边形的对角线），会在a、b之间产生且仅产生1个交点。因此只需要分别计算从a上选2个点、从b上选2个点的组合数，二者相乘就是最多的交点数，不用逐个连线数点，能避免重复或遗漏。
【解析】
要使交点数n取最大值，需保证所有连接直线a、b上点的线段，在直线a、b之间不存在三条线段共点的情况：
1. 每一个位于a、b之间的交点，都唯一对应一组选点方式：从直线a的3个点中任选2个，同时从直线b的4个点中任选2个，这4个点构成凸四边形，该四边形的两条对角线的交点就是对应的a、b之间的交点。
2. 计算选点组合数：
从直线a的3个点中选2个的组合数：$C_3^2=\frac{3×2}{2}=3$
从直线b的4个点中选2个的组合数：$C_4^2=\frac{4×3}{2}=6$
3. 总最大交点数：$n = C_3^2 × C_4^2 = 3×6=18$
【答案】
【知识点】
组合计数，相交线交点性质
【点评】
本题是几何与排列组合结合的经典题型，没有要求直接数点，而是需要转化思维，将“求最多交点”的问题转化为“统计四点组合数量”的模型，有效避免了直接连线计数容易出现的重复、漏算问题，对学生的转化思想有一定考察。
【难度系数】
0.4
2. 如图,直线$l$上从左向右依次有$A,B,C$三点,点$M$从点$B$出发以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度向左运动,同时点$N$从点$C$出发以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度向右运动. 在点$M,N$运动的过程中,总有$AN=3CM$,则$BC:AB=$
1:2
.答案
2. 1:2 提示:设运动时间为t s,AB=x cm,BC=y cm. 因为点M从点B出发以1 cm/s的速度向左运动,所以BM=t cm,所以CM=BC+BM=(y+t)cm. 因为点N从点C出发以3 cm/s的速度向右运动,所以CN=3t cm,所以AN=AC+CN=(x+y+3t)cm. 因为总有AN=3CM,所以x+y+3t=3(y+t),化简,得x=2y,所以BC:AB=y:x=y:2y=1:2.
解析
【分析】
我们可以通过设参数的方法推导比例关系：第一步，设运动时间为t秒，同时设AB长度为x cm，BC长度为y cm，目标是求出y:x的比值。第二步，根据两个点的运动速度和方向，分别把线段CM和AN用x、y、t表示：点M从B向左运动，t秒走了t cm，CM就是BC加BM即y+t；点N从C向右运动，t秒走了3t cm，AN就是AC加CN，AC为AB+BC=x+y，因此AN=x+y+3t。第三步，题目说明运动全程总有AN=3CM，代入两个表达式后两边的t项可以直接抵消，得到x和y的固定关系，最终就能算出BC和AB的比值。
【解析】
解：设运动时间为$ t \, \mathrm{s} $，$ AB = x \, \mathrm{cm} $，$ BC = y \, \mathrm{cm} $。
1. 表示线段CM：点M从B出发以1cm/s向左运动，t秒后运动路程$ BM = t \, \mathrm{cm} $，由线段和差得：
$ CM = BC + BM = (y + t) \, \mathrm{cm} $
2. 表示线段AN：点N从C出发以3cm/s向右运动，t秒后运动路程$ CN = 3t \, \mathrm{cm} $，又$ AC = AB + BC = (x + y) \, \mathrm{cm} $，因此：
$ AN = AC + CN = (x + y + 3t) \, \mathrm{cm} $
3. 代入恒等条件$ AN = 3CM $：
$ x + y + 3t = 3(y + t) $
展开右侧得$ x + y + 3t = 3y + 3t $，两边同时消去$ 3t $，化简得$ x = 2y $。
4. 计算比值：
$ BC:AB = y:x = y:2y = 1:2 $
【答案】$\boldsymbol{1:2}$
【知识点】线段和差运算，动点路程计算，比例求值
【点评】本题是线段上的动点定值类问题，核心利用“运动过程中AN=3CM恒成立”的条件，通过参数代换消去时间t，直接得到AB与BC的固定长度关系，解题时注意两个动点的运动方向，避免线段表达式写错，无需额外赋值就可推导出比例。
【难度系数】0.6
我们可以通过设参数的方法推导比例关系：第一步，设运动时间为t秒，同时设AB长度为x cm，BC长度为y cm，目标是求出y:x的比值。第二步，根据两个点的运动速度和方向，分别把线段CM和AN用x、y、t表示：点M从B向左运动，t秒走了t cm，CM就是BC加BM即y+t；点N从C向右运动，t秒走了3t cm，AN就是AC加CN，AC为AB+BC=x+y，因此AN=x+y+3t。第三步，题目说明运动全程总有AN=3CM，代入两个表达式后两边的t项可以直接抵消，得到x和y的固定关系，最终就能算出BC和AB的比值。
【解析】
解：设运动时间为$ t \, \mathrm{s} $，$ AB = x \, \mathrm{cm} $，$ BC = y \, \mathrm{cm} $。
1. 表示线段CM：点M从B出发以1cm/s向左运动，t秒后运动路程$ BM = t \, \mathrm{cm} $，由线段和差得：
$ CM = BC + BM = (y + t) \, \mathrm{cm} $
2. 表示线段AN：点N从C出发以3cm/s向右运动，t秒后运动路程$ CN = 3t \, \mathrm{cm} $，又$ AC = AB + BC = (x + y) \, \mathrm{cm} $，因此：
$ AN = AC + CN = (x + y + 3t) \, \mathrm{cm} $
3. 代入恒等条件$ AN = 3CM $：
$ x + y + 3t = 3(y + t) $
展开右侧得$ x + y + 3t = 3y + 3t $，两边同时消去$ 3t $，化简得$ x = 2y $。
4. 计算比值：
$ BC:AB = y:x = y:2y = 1:2 $
【答案】$\boldsymbol{1:2}$
【知识点】线段和差运算，动点路程计算，比例求值
【点评】本题是线段上的动点定值类问题，核心利用“运动过程中AN=3CM恒成立”的条件，通过参数代换消去时间t，直接得到AB与BC的固定长度关系，解题时注意两个动点的运动方向，避免线段表达式写错，无需额外赋值就可推导出比例。
【难度系数】0.6
3. 如图 1,在平面上取一点$O$称为极点,从点$O$引一条射线$Ox$称为极轴.将$Ox$绕点$O$逆时针旋转一定的角度$θ(0°≤θ＜360°)$得到$OM$,$θ$叫作射线$OM$的极角.
(1) 如图 2,射线$OP$,$OQ$的极角分别记为$θ_1,θ_2$,且$θ_1＜θ_2$,$0°≤θ_1＜90°$,$0°＜θ_2＜270°$.$OG$是$∠ POQ$(小于平角)的平分线,射线$OG$的极角记为$θ_3$.
① 若$θ_1=40°$,$θ_2=140°$,则$θ_3=$
② 若$θ_1=10°$,$θ_2=240°$,则$θ_3=$
③ 请运用特殊到一般的数学思想和归纳法猜想$θ_1,θ_2,θ_3$的等量关系,并说明理由.
(2) 如图 3,射线$OA$,$OB$,$OC$的极角分别为$α+β$,$2α+β$,$2α+3β$($α,β$为常数),请用无刻度的直尺和圆规在图 3 中作出极角为$β$的射线$OD$和$∠ BOC$的平分线$OE$(不写作法,保留作图痕迹).
(1) 如图 2,射线$OP$,$OQ$的极角分别记为$θ_1,θ_2$,且$θ_1＜θ_2$,$0°≤θ_1＜90°$,$0°＜θ_2＜270°$.$OG$是$∠ POQ$(小于平角)的平分线,射线$OG$的极角记为$θ_3$.
① 若$θ_1=40°$,$θ_2=140°$,则$θ_3=$
90
$°$;② 若$θ_1=10°$,$θ_2=240°$,则$θ_3=$
305
$°$;③ 请运用特殊到一般的数学思想和归纳法猜想$θ_1,θ_2,θ_3$的等量关系,并说明理由.
(2) 如图 3,射线$OA$,$OB$,$OC$的极角分别为$α+β$,$2α+β$,$2α+3β$($α,β$为常数),请用无刻度的直尺和圆规在图 3 中作出极角为$β$的射线$OD$和$∠ BOC$的平分线$OE$(不写作法,保留作图痕迹).
答案
3. (1) ①90 提示:因为$θ_1=40°$,$θ_2=140°$,所以$∠ POQ=θ_2-θ_1=100°$. 因为OG平分$∠ POQ$,所以$∠ POG=\frac{1}{2}∠ POQ=50°$,所以$θ_3=∠ POG+θ_1=90°$.
②305 提示:因为$θ_1=10°$,$θ_2=240°$,所以$∠ POQ=360°-θ_2+θ_1=130°$. 因为OG平分$∠ POQ$,所以$∠ POG=\frac{1}{2}∠ POQ=65°$,所以$θ_3=360°-∠ POG+θ_1=305°$.
③解:当$0°≤θ_2-θ_1≤180°$时,$θ_3=\frac{θ_2+θ_1}{2}$;
当$180°＜θ_2-θ_1＜270°$时,$θ_3=180°+\frac{θ_1}{2}+\frac{θ_2}{2}$.
理由:当$0°≤θ_2-θ_1≤180°$时,$∠ POQ=θ_2-θ_1$,因为OG平分$∠ POQ$,所以$∠ POG=\frac{1}{2}∠ POQ=\frac{θ_2-θ_1}{2}$,所以$θ_3=∠ POG+θ_1=\frac{θ_2+θ_1}{2}$;当$180°＜θ_2-θ_1＜270°$时,$∠ POQ=360°-θ_2+θ_1$,因为OG平分$∠ POQ$,所以$∠ POG=\frac{1}{2}∠ POQ=180°-\frac{θ_2}{2}+\frac{θ_1}{2}$,所以$θ_3=360°-∠ POG+θ_1=180°+\frac{θ_1}{2}+\frac{θ_2}{2}$.
(2) 解:如图
,射线OD,OE即为所求.提示:因为射线OA,OB的极角分别为$α+β$,$2α+β$,所以$∠ AOB=2α+β-(α+β)=α$,所以作$∠ AOD=∠ AOB$,则射线OD的极角为$β$.
解析
【分析】
首先明确题目给出的极角定义：极角是极轴Ox逆时针旋转到对应射线的角度，范围为0°≤θ＜360°。解题思路梳理如下：
1. 对于(1)①：已知θ₁=40°，θ₂=140°，先计算两射线的角度差θ₂-θ₁=100°，该值小于180°，因此小于平角的∠POQ就等于这个差值，结合角平分线定义得到∠POG的度数，加上OP的极角θ₁即可得到OG的极角θ₃。
2. 对于(1)②：θ₁=10°，θ₂=240°，θ₂-θ₁=230°＞180°，因此小于平角的∠POQ不能取该差值，需用360°减去这个大角得到130°，再结合角平分线算出∠POG的度数，推导OG对应的极角即可。
3. 对于(1)③：用特殊到一般的思路分两类讨论：第一类是两射线角度差θ₂-θ₁≤180°，此时小于平角的∠POQ=θ₂-θ₁，推导θ₃的表达式；第二类是180°＜θ₂-θ₁＜270°，此时小于平角的∠POQ=360°-(θ₂-θ₁)，推导对应θ₃的表达式。
4. 对于(2)：先通过极角作差算出∠AOB=(2α+β)-(α+β)=α，要得到极角为β的射线，只需从OA向极轴方向作大小为α的角，即作∠AOD=∠AOB，得到的OD极角就是β；再用常规尺规作角平分线的方法作出∠BOC的平分线OE即可。
【解析】
(1) ① 已知θ₁=40°，θ₂=140°，此时θ₂-θ₁=100°＜180°，因此小于平角的∠POQ=θ₂-θ₁=100°。
因为OG是∠POQ的平分线，所以∠POG=$\frac{1}{2}$∠POQ=50°，
因此θ₃=θ₁+∠POG=40°+50°=90°。
② 已知θ₁=10°，θ₂=240°，此时θ₂-θ₁=230°＞180°，因此小于平角的∠POQ=360°-(θ₂-θ₁)=130°。
因为OG是∠POQ的平分线，所以∠POG=$\frac{1}{2}$∠POQ=65°，
此时OG在OP的顺时针方向65°位置，对应的极角θ₃=θ₁+360°-∠POG=10°+360°-65°=305°。
③ 分两种情况得到θ₁,θ₂,θ₃的等量关系：
当0°≤θ₂-θ₁≤180°时，θ₃=$\frac{θ_1+θ_2}{2}$；
当180°＜θ₂-θ₁＜270°时，θ₃=180°+$\frac{θ_1+θ_2}{2}$。
理由如下：
当0°≤θ₂-θ₁≤180°时，小于平角的∠POQ=θ₂-θ₁，
因为OG平分∠POQ，所以∠POG=$\frac{1}{2}$∠POQ=$\frac{θ_2-θ_1}{2}$，
因此θ₃=θ₁+∠POG=θ₁+$\frac{θ_2-θ_1}{2}$=$\frac{θ_1+θ_2}{2}$。
当180°＜θ₂-θ₁＜270°时，小于平角的∠POQ=360°-(θ₂-θ₁)，
因为OG平分∠POQ，所以∠POG=$\frac{1}{2}$∠POQ=180°-$\frac{θ_2-θ_1}{2}$，
此时OG在OP顺时针方向∠POG的位置，因此θ₃=θ₁+360°-∠POG=θ₁+360°-(180°-$\frac{θ_2-θ_1}{2}$)=180°+$\frac{θ_1+θ_2}{2}$。
(2) 由极角差可得∠AOB=(2α+β)-(α+β)=α，在OA靠近极轴Ox的一侧作∠AOD=∠AOB，得到的射线OD极角为(α+β)-α=β；再用尺规作角平分线的常规方法作出∠BOC的平分线OE，保留作图痕迹即可。
【答案】
①90；②305；③当0°≤θ₂-θ₁≤180°时，θ₃=$\frac{θ_1+θ_2}{2}$；当180°＜θ₂-θ₁＜270°时，θ₃=180°+$\frac{θ_1+θ_2}{2}$，理由见解析；
，射线OD,OE即为所求。
【知识点】
极角新定义，角平分线性质，尺规作角平分线
【点评】
本题属于新定义类几何题，结合极角的新概念考察角的和差运算与分类讨论思想，通过特殊例子归纳一般规律的设计体现了特殊到一般的数学思想，作图部分需要学生先通过极角的差值推导已知角的大小，转化为作等角和作角平分线的基础操作，对学生的知识迁移能力有一定要求，要注意避免忽略“小于平角的∠POQ”的限定导致漏解错解。
【难度系数】
0.4
首先明确题目给出的极角定义：极角是极轴Ox逆时针旋转到对应射线的角度，范围为0°≤θ＜360°。解题思路梳理如下：
1. 对于(1)①：已知θ₁=40°，θ₂=140°，先计算两射线的角度差θ₂-θ₁=100°，该值小于180°，因此小于平角的∠POQ就等于这个差值，结合角平分线定义得到∠POG的度数，加上OP的极角θ₁即可得到OG的极角θ₃。
2. 对于(1)②：θ₁=10°，θ₂=240°，θ₂-θ₁=230°＞180°，因此小于平角的∠POQ不能取该差值，需用360°减去这个大角得到130°，再结合角平分线算出∠POG的度数，推导OG对应的极角即可。
3. 对于(1)③：用特殊到一般的思路分两类讨论：第一类是两射线角度差θ₂-θ₁≤180°，此时小于平角的∠POQ=θ₂-θ₁，推导θ₃的表达式；第二类是180°＜θ₂-θ₁＜270°，此时小于平角的∠POQ=360°-(θ₂-θ₁)，推导对应θ₃的表达式。
4. 对于(2)：先通过极角作差算出∠AOB=(2α+β)-(α+β)=α，要得到极角为β的射线，只需从OA向极轴方向作大小为α的角，即作∠AOD=∠AOB，得到的OD极角就是β；再用常规尺规作角平分线的方法作出∠BOC的平分线OE即可。
【解析】
(1) ① 已知θ₁=40°，θ₂=140°，此时θ₂-θ₁=100°＜180°，因此小于平角的∠POQ=θ₂-θ₁=100°。
因为OG是∠POQ的平分线，所以∠POG=$\frac{1}{2}$∠POQ=50°，
因此θ₃=θ₁+∠POG=40°+50°=90°。
② 已知θ₁=10°，θ₂=240°，此时θ₂-θ₁=230°＞180°，因此小于平角的∠POQ=360°-(θ₂-θ₁)=130°。
因为OG是∠POQ的平分线，所以∠POG=$\frac{1}{2}$∠POQ=65°，
此时OG在OP的顺时针方向65°位置，对应的极角θ₃=θ₁+360°-∠POG=10°+360°-65°=305°。
③ 分两种情况得到θ₁,θ₂,θ₃的等量关系：
当0°≤θ₂-θ₁≤180°时，θ₃=$\frac{θ_1+θ_2}{2}$；
当180°＜θ₂-θ₁＜270°时，θ₃=180°+$\frac{θ_1+θ_2}{2}$。
理由如下：
当0°≤θ₂-θ₁≤180°时，小于平角的∠POQ=θ₂-θ₁，
因为OG平分∠POQ，所以∠POG=$\frac{1}{2}$∠POQ=$\frac{θ_2-θ_1}{2}$，
因此θ₃=θ₁+∠POG=θ₁+$\frac{θ_2-θ_1}{2}$=$\frac{θ_1+θ_2}{2}$。
当180°＜θ₂-θ₁＜270°时，小于平角的∠POQ=360°-(θ₂-θ₁)，
因为OG平分∠POQ，所以∠POG=$\frac{1}{2}$∠POQ=180°-$\frac{θ_2-θ_1}{2}$，
此时OG在OP顺时针方向∠POG的位置，因此θ₃=θ₁+360°-∠POG=θ₁+360°-(180°-$\frac{θ_2-θ_1}{2}$)=180°+$\frac{θ_1+θ_2}{2}$。
(2) 由极角差可得∠AOB=(2α+β)-(α+β)=α，在OA靠近极轴Ox的一侧作∠AOD=∠AOB，得到的射线OD极角为(α+β)-α=β；再用尺规作角平分线的常规方法作出∠BOC的平分线OE，保留作图痕迹即可。
【答案】
①90；②305；③当0°≤θ₂-θ₁≤180°时，θ₃=$\frac{θ_1+θ_2}{2}$；当180°＜θ₂-θ₁＜270°时，θ₃=180°+$\frac{θ_1+θ_2}{2}$，理由见解析；
，射线OD,OE即为所求。【知识点】
极角新定义，角平分线性质，尺规作角平分线
【点评】
本题属于新定义类几何题，结合极角的新概念考察角的和差运算与分类讨论思想，通过特殊例子归纳一般规律的设计体现了特殊到一般的数学思想，作图部分需要学生先通过极角的差值推导已知角的大小，转化为作等角和作角平分线的基础操作，对学生的知识迁移能力有一定要求，要注意避免忽略“小于平角的∠POQ”的限定导致漏解错解。
【难度系数】
0.4
