1. 如图,河道$l$的同侧有$M,N$两个村庄,计划铺设一条管道将河水引至$M,N$两地,下列四个方案中,管道长度最短的是 （）

1. A

【分析】
我们可以这样思考这道最短路径问题：首先明确管道的铺设逻辑是从河道l取水，连通N、M两个村庄，总管道长度由两部分组成：一是河道l上的取水点到其中一个村庄的距离，二是两个村庄之间的连通路径长度。首先回忆两点之间的路径性质，M和N两点之间的最短路径就是直接连接两点的线段，任何折线绕路的长度都会比这条线段长，所以可以先排除M、N之间不是直接连线的方案。接下来再看点到直线的距离性质：直线外一点到直线的所有连线里，垂线段是最短的，我们只需要让村庄N到河道l的取水点的连线是垂线段，就能让这部分长度取到最小值，最后对比剩余方案就能得到最短的总管道长度。
【解析】
要选出管道长度最短的方案，分步推导如下：
1. 根据基本几何公理“两点之间，线段最短”，M、N两点的最短连通路径就是直接连接M、N的线段。观察选项C和D，M到N的连通路径是折线，长度明显大于线段MN，因此直接排除C、D。
2. 再根据基本几何公理“直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短”，点N到河道l的最短距离，就是从N向l作的垂线段。对比剩余的A、B选项：B中取水点到N的连线是斜线段，长度大于N到l的垂线段，因此B的总管道长度大于A的总长度。
综上，管道长度最短的是选项A。
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短，垂线段最短
【点评】
本题是几何最短路径的基础应用题型，核心考查两个基础几何公理的结合运用，不需要复杂的对称变换操作，直接结合两个公理逐一排除错误选项即可得到答案，易错点是容易误选D，忽略D中M到N的连通路径不是直接线段，长度比真实的MN线段更长。
【难度系数】
0.7

2. 杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表,如图,它的两条斜边都由数字1组成,而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和.通常,我们将行数从0开始,即第0行、第1行、第2行、第3行……则第0行至第9行所有数字之和为.

2. 1 023 提示:由题图可得,第0行的数字之和为1;第1行的数字之和为$1+1=2=2^{1}$;第2行的数字之和为$1+2+1=4=2^{2}$;第3行的数字之和为$1+3+3+1=8=2^{3}$;第4行的数字之和为$1+4+6+4+1=16=2^{4}$……第9行的数字之和为$2^{9}$.所以第0行至第9行所有数字之和为$1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+\dots+2^{9}$.设$S=1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+\dots+2^{9}$ ①,所以$2S=2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots+2^{10}$②,②$-$①,得$S=2^{10}-1=1\ 023$.

【分析】
我们可以先从已知的前几行入手，先计算每一行的数字总和，尝试归纳规律：首先根据杨辉三角的构造规则，下一行的每个非边缘数都等于上一行相邻两个数的和，把下一行所有数相加，总和恰好是上一行总和的2倍，由此可以快速得到第n行的数字和为2ⁿ。接下来要求第0行到第9行的所有数字之和，本质就是求首项为1、公比为2的等比数列前10项的和，用错位相减法即可快速算出结果，不需要逐行硬加所有数字，提升解题效率。
【解析】
1. 推导每行数字和的规律：
第0行仅数字1，总和为$1=2^0$
第1行数字为1、1，总和为$1+1=2=2^1$
第2行数字为1、2、1，总和为$1+2+1=4=2^2$
第3行数字为1、3、3、1，总和为$1+3+3+1=8=2^3$
归纳可得：第k行的所有数字之和为2^k。
2. 计算第0行到第9行的总和：
设第0行到第9行所有数字之和为S，则：
$ S=2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^9 \tag{①} $等式两边同时乘以2，得：$ 2S=2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^9 + 2^{10} \tag{②}$
用②式减去①式，消去中间相同项：
$ 2S - S = 2^{10} - 1 $计算得S=1024 - 1 = 1023。
【答案】
1023
【知识点】
杨辉三角性质，等比数列求和
【点评】
本题重点考察归纳推理能力，不需要死记硬背杨辉三角的相关结论，通过观察前几行的和就能快速发现规律，后续的等比数列求和用错位相减即可完成，整体计算量小，能有效锻炼学生从特殊到一般的归纳思维，避免低效的逐数累加。
【难度系数】
0.7

3. 七年级数学小组开展“三角板中的数学”主题实践活动.
【动手操作】
(1) 小勋同学发现用一副三角板可以拼出一些特殊度数的角,请问用一副三角板可以拼出 $145°$ 的角吗?
.(填“能”或“不能”)
【问题探究】
(2) 如图 1,把一副三角板拼在一起,边$OA,OC$ 在直线 $EF$ 上,其中 $∠ AOB=$
$45°,∠ COD=60°$. 如图 2, 三角板$COD$ 固定不动,将三角板 $AOB$ 绕点$O$ 以每秒 $4°$ 的速度顺时针开始旋转,设三角板 $AOB$ 的旋转时间为 $t\ \mathrm{s}$.
① 当 $t=$时, $OA⊥ OD$;
② 在旋转的过程中,三角板 $AOB$ 一直在 $∠ EOD$ 的内部,当 $t$ 为何值时, $∠ BOE=2∠ BOD?$
【拓展延伸】
(3) 在(2)的条件下,在三角板 $AOB$ 绕点$O$ 旋转的过程中,若三角板 $COD$ 同时以每秒 $2°$ 的速度绕点 $O$ 逆时针旋转,且 $0＜t≤60$. 当 $AB// OD$ 时, $t$ 的值为.

3. (1) 不能 提示:一副三角板中,两块三角板的角度分别为$45°,45°,90°$和$30°,60°,90°$,因为$30°,45°$,$60°,90°$均为$15°$的整数倍,所以用一副三角板可以拼出的角的度数都为$15°$的整数倍.因为$145°÷15°=\dfrac{29}{3}$,不是整数倍,所以用一副三角板不能拼出$145°$的角.
(2) ①$\dfrac{15}{2}$或$\dfrac{105}{2}$ 提示:因为$∠ COD=60°$,所以$∠ DOE=120°$.由题意,得$∠ AOE=(4t)°$,因为$OA⊥ OD$,所以$∠ AOD=90°$.当$OA$在$EF$上方时,如题图2,则$∠ AOD=∠ DOE-∠ AOE=90°$,即$120°-(4t)°=90°$,解得$t=\dfrac{15}{2}$;当$OA$在$EF$下方时,如图1,则$∠ AOD=(4t)°-∠ DOE=90°$,即$(4t)°-120°=90°$,解得$t=\dfrac{105}{2}$.综上,当$t=\dfrac{15}{2}$或$t=\dfrac{105}{2}$时,$OA⊥ OD$.
② 解:由题意,得$∠ AOE=(4t)°$,$∠ DOE=180°-60°=120°$,所以$∠ BOE=∠ AOE+∠ AOB=45°+(4t)°$,$∠ BOD=∠ DOE-∠ AOB-∠ AOE=120°-45°-(4t)°$.因为$∠ BOE=2∠ BOD$,所以$45°+(4t)°=2[120°-45°-(4t)°]$,解得$t=\dfrac{35}{4}$,所以当$t$的值为$\dfrac{35}{4}$时,$∠ BOE=2∠ BOD$.
(3) 5或35 提示:如图2,当三角板AOB在三角板COD左侧时,因为$AB// OD$,$∠ B=45°$,所以$∠ BOD=∠ B=45°$.由题意,得$∠ AOE=(4t)°$,$∠ COF=(2t)°$,所以$∠ AOE+∠ AOB+∠ BOD+∠ DOC+∠ COF=180°$,即$(4t)°+45°+45°+60°+(2t)°=180°$,解得$t=5$;如图3,当三角板AOB在三角板COD右侧时,因为$AB// OD$,$∠ B=45°$,所以$∠ BOD=180°-∠ B=135°$.由题意,得$∠ AOE=(4t)°$,$∠ COF=(2t)°$,所以$∠ AOE+∠ AOB-(180°-∠ DOC-∠ COF)=135°$,即$(4t)°+45°-[180°-60°-(2t)°]=135°$,解得$t=35$.综上,当$AB// OD$时,$t$的值为5或35.

【分析】
我们可以分小问逐步梳理解题思路：
1. 第(1)问：首先明确一副三角板的所有内角分别是30°、45°、60°、90°，所有能拼出的角都是这些角度的和或差，必然是15°的整数倍，只需要判断145°是否为15°的整数倍，即可得出结论。
2. 第(2)问①：先算出初始状态下∠EOD=180°-∠COD=120°，OA绕O顺时针以每秒4°旋转，OA⊥OD存在两种位置情况：第一种是OA旋转后仍在EF上方、位于OD左侧，此时∠AOE + 90°=∠EOD；第二种是OA旋转到EF下方，此时OA转过的总角度等于∠EOD + 90°，分别列方程即可解出对应的t值。
3. 第(2)问②：题目限定三角板AOB始终在∠EOD内部，因此直接用含t的代数式表示出∠BOE和∠BOD：∠BOE是初始的∠AOB加上OA旋转过的角度，∠BOD是∠EOD减去∠BOE，再根据∠BOE=2∠BOD的等量关系列一元一次方程，求解即可得到t。
4. 第(3)问：两个三角板同时反向旋转，AB//OD需要分两种位置讨论：第一种是AOB在COD左侧，此时AB和OD平行，内错角相等得到∠BOD=45°，利用平角180°将所有旋转后的角相加列方程；第二种是AOB旋转到COD右侧，此时AB//OD，同旁内角互补得到∠BOD=135°，再列对应方程求解，最终得到两个符合0＜t≤60的t值。
【解析】
(1) 一副三角板的角度为30°、45°、60°、90°，可拼出的角均为15°的整数倍，145°÷15°=29/3，不是整数，因此不能拼出145°的角。
(2) ① 已知∠COD=60°，因此初始∠EOD=180°-60°=120°，OA每秒顺时针转4°，t秒后∠AOE=4t°：
情况1：OA在EF上方，OA⊥OD时，∠AOD=90°，可得∠AOE=∠EOD - ∠AOD=120°-90°=30°，即4t=30，解得t=15/2；
情况2：OA旋转到EF下方，OA⊥OD时，OA转过的总角度为∠EOD + 90°=120°+90°=210°，即4t=210，解得t=105/2；
综上t为15/2或105/2。
② 由题意，三角板AOB始终在∠EOD内部，因此：
∠BOE = ∠AOE + ∠AOB = 4t° + 45°，
∠BOD = ∠EOD - ∠BOE = 120° - (4t° + 45°) = 75° - 4t°，
根据∠BOE=2∠BOD，列方程：
4t + 45 = 2(75 - 4t)
展开得：4t + 45 = 150 - 8t
移项合并得：12t = 105
解得t=35/4。
(3) 三角板AOB顺时针每秒转4°，三角板COD逆时针每秒转2°，0＜t≤60，AB//OD分两种情况：
情况1：AOB在COD左侧，AB//OD，内错角相等得∠BOD=∠B=45°，此时所有角相加为平角180°：
∠AOE + ∠AOB + ∠BOD + ∠COD + ∠COF = 180°
代入得：4t + 45 + 45 + 60 + 2t = 180
化简得6t=30，解得t=5；
情况2：AOB在COD右侧，AB//OD，同旁内角互补得∠BOD=180°-∠B=135°，列方程：
4t + 45 - (180 - 60 - 2t) = 135
化简得6t=210，解得t=35；
两个解均满足0＜t≤60，因此t为5或35。
【答案】
(1) 不能
(2) ① $\dfrac{15}{2}$或$\dfrac{105}{2}$；② $t=\dfrac{35}{4}$
(3) 5或35
【知识点】
三角板角度特征，旋转角度计算，平行线的性质
【点评】
本题是三角板旋转的几何动点问题，由浅入深逐步考察了特殊角的拼接、旋转过程中的角度和差计算、结合平行线性质的分类讨论求解，解题的核心是用含t的代数式表示出动态变化的角，同时要注意旋转过程中位置的多解情况，避免漏解，整体难度适中，能很好的锻炼学生的几何动态分析能力和分类讨论思维。
【难度系数】
0.4