登录
1. 一项任务，甲单独做需7.5小时完成，乙单独做需6小时完成. 先由甲、乙合做1小时，然后剩下的部分由乙单独做，还需多少小时完成任务？
答案
设乙还需x小时完成任务，
由题意，得$(\frac{1}{7.5}+\frac{1}{6})×1+\frac{x}{6}=1$，解得$x=\frac{21}{5}$。
故还需$\frac{21}{5}$小时完成任务。
由题意，得$(\frac{1}{7.5}+\frac{1}{6})×1+\frac{x}{6}=1$，解得$x=\frac{21}{5}$。
故还需$\frac{21}{5}$小时完成任务。
解析
【分析】
工程问题中，通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=总工作量÷单独完成的时间。先分别求出甲、乙的工作效率，再根据“甲乙合作1小时的工作量 + 乙单独做x小时的工作量 = 总工作量1”这一等量关系，设乙还需x小时完成任务，列出一元一次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
设乙还需$ x $小时完成任务。
甲的工作效率为$ \frac{1}{7.5} $，乙的工作效率为$ \frac{1}{6} $。
根据题意，甲乙合作1小时的工作量为$ ( \frac{1}{7.5} + \frac{1}{6} ) × 1 $，乙单独做$ x $小时的工作量为$ \frac{x}{6} $，两者之和等于总工作量1，可列方程：
$( \frac{1}{7.5} + \frac{1}{6} ) × 1 + \frac{x}{6} = 1$
化简计算：$ \frac{1}{7.5} = \frac{2}{15} $，则$ \frac{2}{15} + \frac{1}{6} = \frac{4}{30} + \frac{5}{30} = \frac{3}{10} $，方程变为：
$\frac{3}{10} + \frac{x}{6} = 1$
移项得：$ \frac{x}{6} = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10} $，解得：
$x = \frac{7}{10} × 6 = \frac{21}{5}$
【答案】
$\frac{21}{5}$小时
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的工程类一元一次方程应用题，核心是利用“工作量=工作效率×工作时间”的关系，通过设未知数列方程求解，关键是找准等量关系，将总工作量设为1简化计算，适合学生巩固一元一次方程的实际应用。
【难度系数】
0.6
工程问题中，通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=总工作量÷单独完成的时间。先分别求出甲、乙的工作效率，再根据“甲乙合作1小时的工作量 + 乙单独做x小时的工作量 = 总工作量1”这一等量关系，设乙还需x小时完成任务，列出一元一次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
设乙还需$ x $小时完成任务。
甲的工作效率为$ \frac{1}{7.5} $，乙的工作效率为$ \frac{1}{6} $。
根据题意，甲乙合作1小时的工作量为$ ( \frac{1}{7.5} + \frac{1}{6} ) × 1 $，乙单独做$ x $小时的工作量为$ \frac{x}{6} $，两者之和等于总工作量1，可列方程：
$( \frac{1}{7.5} + \frac{1}{6} ) × 1 + \frac{x}{6} = 1$
化简计算：$ \frac{1}{7.5} = \frac{2}{15} $，则$ \frac{2}{15} + \frac{1}{6} = \frac{4}{30} + \frac{5}{30} = \frac{3}{10} $，方程变为：
$\frac{3}{10} + \frac{x}{6} = 1$
移项得：$ \frac{x}{6} = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10} $，解得：
$x = \frac{7}{10} × 6 = \frac{21}{5}$
【答案】
$\frac{21}{5}$小时
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的工程类一元一次方程应用题，核心是利用“工作量=工作效率×工作时间”的关系，通过设未知数列方程求解，关键是找准等量关系，将总工作量设为1简化计算，适合学生巩固一元一次方程的实际应用。
【难度系数】
0.6
2. 某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为每小时15千米，下坡的速度是每小时30千米，求汽车的平均速度.
答案
设这段坡路长为a千米，平均速度为x千米/时，则上坡行驶的时间为$\frac{a}{15}$小时，下坡行驶的时间为$\frac{a}{30}$小时。根据题意，得$(\frac{a}{15}+\frac{a}{30})x=2a$，解得$x=20$。
故汽车的平均速度为20千米/时。
故汽车的平均速度为20千米/时。
解析
【分析】
要计算往返的平均速度，需牢记平均速度的定义：平均速度=总路程÷总时间，而非上坡速度与下坡速度的平均值。题目未给出坡路长度，可设坡路长为$a$千米，方便表示上坡和下坡的时间，且$a$在后续计算中可约去，不影响结果。先分别算出上坡、下坡的时间，再求出总时间，最后用往返总路程除以总时间即可得到平均速度。
【解析】
设这段坡路长为$a$千米，汽车的平均速度为$x$千米/时。
1. 计算上坡时间：根据时间=路程÷速度，上坡时间为$\frac{a}{15}$小时；
2. 计算下坡时间：下坡时间为$\frac{a}{30}$小时；
3. 计算总路程与总时间：往返总路程为$2a$千米，总时间为$\frac{a}{15}+\frac{a}{30}$小时；
4. 根据平均速度公式列方程：$x=\frac{总路程}{总时间}$，即$x=\frac{2a}{\frac{a}{15}+\frac{a}{30}}$；
5. 化简计算：分母通分后为$\frac{2a+a}{30}=\frac{a}{10}$，代入得$x=\frac{2a}{\frac{a}{10}}=20$（千米/时，$a≠0$可约去）。
【答案】
20千米/时
【知识点】
平均速度计算、路程速度时间关系
【点评】
本题核心是明确平均速度的定义，避免直接对两个速度求平均的常见错误。通过设参数$a$消元简化计算，是解决未知路程问题的常用代数技巧，体现了概念理解与代数运算的结合。
【难度系数】
0.6
要计算往返的平均速度，需牢记平均速度的定义：平均速度=总路程÷总时间，而非上坡速度与下坡速度的平均值。题目未给出坡路长度，可设坡路长为$a$千米，方便表示上坡和下坡的时间，且$a$在后续计算中可约去，不影响结果。先分别算出上坡、下坡的时间，再求出总时间，最后用往返总路程除以总时间即可得到平均速度。
【解析】
设这段坡路长为$a$千米，汽车的平均速度为$x$千米/时。
1. 计算上坡时间：根据时间=路程÷速度，上坡时间为$\frac{a}{15}$小时；
2. 计算下坡时间：下坡时间为$\frac{a}{30}$小时；
3. 计算总路程与总时间：往返总路程为$2a$千米，总时间为$\frac{a}{15}+\frac{a}{30}$小时；
4. 根据平均速度公式列方程：$x=\frac{总路程}{总时间}$，即$x=\frac{2a}{\frac{a}{15}+\frac{a}{30}}$；
5. 化简计算：分母通分后为$\frac{2a+a}{30}=\frac{a}{10}$，代入得$x=\frac{2a}{\frac{a}{10}}=20$（千米/时，$a≠0$可约去）。
【答案】
20千米/时
【知识点】
平均速度计算、路程速度时间关系
【点评】
本题核心是明确平均速度的定义，避免直接对两个速度求平均的常见错误。通过设参数$a$消元简化计算，是解决未知路程问题的常用代数技巧，体现了概念理解与代数运算的结合。
【难度系数】
0.6
3. 一次远足活动中,一部分人步行,另一部分人乘坐汽车,两部分人同地出发.汽车的行驶速度为 60 千米/时,步行的速度为 5 千米/时,步行者比汽车提前1小时出发,这辆汽车到达目的地后,再回头接步行这部分人.出发地到目的地的距离是 60 千米.步行者在出发后经多少时间与回头接他们的汽车相遇(汽车掉头的时间忽略不计)?
答案
设相遇时步行者行走的路程为x千米，
由题意，得$\frac{x}{5}=\frac{60+60-x}{60}+1$，
解得$x=\frac{180}{13}$，$\therefore \frac{x}{5}=\frac{36}{13}$(小时)。
故步行者在出发后经过$\frac{36}{13}$小时与回头接他们的汽车相遇。
一题多解 设步行者在出发后经x小时与回头接他们的汽车相遇，由题意，得$5x+60(x-1)=2×60$，
解得$x=\frac{36}{13}$。故步行者在出发后$\frac{36}{13}$小时与回头接他们的汽车相遇。
由题意，得$\frac{x}{5}=\frac{60+60-x}{60}+1$，
解得$x=\frac{180}{13}$，$\therefore \frac{x}{5}=\frac{36}{13}$(小时)。
故步行者在出发后经过$\frac{36}{13}$小时与回头接他们的汽车相遇。
一题多解 设步行者在出发后经x小时与回头接他们的汽车相遇，由题意，得$5x+60(x-1)=2×60$，
解得$x=\frac{36}{13}$。故步行者在出发后$\frac{36}{13}$小时与回头接他们的汽车相遇。
解析
【分析】
本题属于行程中的相遇问题，解题关键是明确相遇时步行者与汽车的路程关系。步行者比汽车提前1小时出发，设步行者出发后$x$小时相遇，则汽车行驶时间为$(x-1)$小时；相遇时汽车从出发地到目的地再回头接步行者，因此两者路程和等于2倍的出发地到目的地的距离，据此建立方程求解。
【解析】
设步行者在出发后经过$x$小时与回头接他们的汽车相遇。
步行者的路程为$5x$千米，汽车行驶时间为$(x-1)$小时，汽车的路程为$60(x-1)$千米。
相遇时两者路程和为$2×60=120$千米，列方程：
$5x + 60(x - 1) = 120$
解方程：
$5x + 60x - 60 = 120 \\65x = 180 \x = \frac{36}{13}$
【答案】
$\frac{36}{13}$小时
【知识点】
一元一次方程的应用、行程问题（相遇问题）
【点评】
本题是一元一次方程在行程问题中的典型应用，核心是找准相遇时的路程等量关系，需注意汽车行驶时间比步行时间少1小时，难度适中，能有效考查学生对一元一次方程应用的掌握情况。
【难度系数】
0.6
本题属于行程中的相遇问题，解题关键是明确相遇时步行者与汽车的路程关系。步行者比汽车提前1小时出发，设步行者出发后$x$小时相遇，则汽车行驶时间为$(x-1)$小时；相遇时汽车从出发地到目的地再回头接步行者，因此两者路程和等于2倍的出发地到目的地的距离，据此建立方程求解。
【解析】
设步行者在出发后经过$x$小时与回头接他们的汽车相遇。
步行者的路程为$5x$千米，汽车行驶时间为$(x-1)$小时，汽车的路程为$60(x-1)$千米。
相遇时两者路程和为$2×60=120$千米，列方程：
$5x + 60(x - 1) = 120$
解方程：
$5x + 60x - 60 = 120 \\65x = 180 \x = \frac{36}{13}$
【答案】
$\frac{36}{13}$小时
【知识点】
一元一次方程的应用、行程问题（相遇问题）
【点评】
本题是一元一次方程在行程问题中的典型应用，核心是找准相遇时的路程等量关系，需注意汽车行驶时间比步行时间少1小时，难度适中，能有效考查学生对一元一次方程应用的掌握情况。
【难度系数】
0.6
4. 一个六位数 $2abcde$ 的 3 倍等于 $abcde9$，求这个六位数.
答案
设$\overline{abcde}=x$，则$3(200000+x)=10x+9$，
解得$x=85713$。所以这个六位数是285713。
解得$x=85713$。所以这个六位数是285713。
解析
【分析】
本题的关键是将六位数的后五位设为整体未知数，把抽象的数位问题转化为一元一次方程问题。首先，把六位数$\overline{2abcde}$的后五位$\overline{abcde}$设为未知数$x$，这样原六位数可表示为含$x$的代数式；其次，新数$\overline{abcde9}$是在$x$后加数字9，也能用含$x$的代数式表示；最后根据“原数的3倍等于新数”的等量关系列方程，求解后即可得到原六位数。
【解析】
设五位数$\overline{abcde}=x$，则原六位数为$200000 + x$，新数$\overline{abcde9}=10x + 9$。
根据题意列方程：
$3(200000 + x) = 10x + 9$
展开左边：$600000 + 3x = 10x + 9$
移项合并同类项：$7x = 599991$
解得：$x = 85713$
因此原六位数为$200000 + 85713 = 285713$。
【答案】
285713
【知识点】
一元一次方程应用、多位数的表示
【点评】
本题通过设整体未知数简化多位数的数位表示，核心是掌握“多位数=高位部分数值×进制+低位部分数值”的规则，将数位问题转化为常规方程求解，属于基础方程应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题的关键是将六位数的后五位设为整体未知数，把抽象的数位问题转化为一元一次方程问题。首先，把六位数$\overline{2abcde}$的后五位$\overline{abcde}$设为未知数$x$，这样原六位数可表示为含$x$的代数式；其次，新数$\overline{abcde9}$是在$x$后加数字9，也能用含$x$的代数式表示；最后根据“原数的3倍等于新数”的等量关系列方程，求解后即可得到原六位数。
【解析】
设五位数$\overline{abcde}=x$，则原六位数为$200000 + x$，新数$\overline{abcde9}=10x + 9$。
根据题意列方程：
$3(200000 + x) = 10x + 9$
展开左边：$600000 + 3x = 10x + 9$
移项合并同类项：$7x = 599991$
解得：$x = 85713$
因此原六位数为$200000 + 85713 = 285713$。
【答案】
285713
【知识点】
一元一次方程应用、多位数的表示
【点评】
本题通过设整体未知数简化多位数的数位表示，核心是掌握“多位数=高位部分数值×进制+低位部分数值”的规则，将数位问题转化为常规方程求解，属于基础方程应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
