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11. (2025·连云港期中)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=$$90°,∠ A=52°$,将其折叠,使点$A$落在边$BC$上的点$E$处,$CA$与$CE$重合,折痕为$CD$,则$∠ EDB$的度数是
14°
.答案
11. 14° 解析：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=52°，
∴∠B=90°-52°=38°，
由题意，可知△ECD≌△ACD，
∴∠CED=∠A=52°，
由图可知，∠CED是△EBD的外角，
∴∠CED=∠B+∠EDB，
∴52°=38°+∠EDB，
∴∠EDB=14°。
∴∠B=90°-52°=38°，
由题意，可知△ECD≌△ACD，
∴∠CED=∠A=52°，
由图可知，∠CED是△EBD的外角，
∴∠CED=∠B+∠EDB，
∴52°=38°+∠EDB，
∴∠EDB=14°。
12. (2024·牡丹江中考)如图,在$△ ABC$中,$D$是$AB$上一点,$CF// AB$,$D,E,F$三点共线,请添加一个条件
DE=EF（或AD=CF，答案不唯一）
，使得$AE=CE$.(只需填一种情况即可)答案
12. DE=EF 或 AD=CF（答案不唯一） 解析：
∵CF//AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，
∴添加条件DE=EF，可以使得△ADE≌△CFE(AAS)，
添加条件AD=CF，可以使得△ADE≌△CFE(ASA)。
∵CF//AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，
∴添加条件DE=EF，可以使得△ADE≌△CFE(AAS)，
添加条件AD=CF，可以使得△ADE≌△CFE(ASA)。
13. 如图，D，C 为 AF 上两点，$AD=CF$，$∠ A=$$∠ EDF$，要用 ASA 判定$△ ABC ≌ △ DEF$，需补充角的条件是
∠ACB=∠F
.答案
13. ∠ACB=∠F 解析：
∵AD=CF，
∴AC=DF。
∵∠A=∠EDF，
∴要用ASA判定△ABC≌△DEF，需补充角的条件是∠ACB=∠F。
∵AD=CF，
∴AC=DF。
∵∠A=∠EDF，
∴要用ASA判定△ABC≌△DEF，需补充角的条件是∠ACB=∠F。
14. 如图,在$△ ABC$和$△ ADC$中,$AB=AD$,$AC$平分$∠ DAB$,$∠ B=120°$,$∠ DAB=66°$,则$∠ DCA$的度数是
27°
.答案
14. 27° 解析：
∵AC平分∠DAB，∠DAB=66°，
∴∠DAC=∠BAC=33°。
在△ADC和△ABC中，$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠DAC=∠BAC, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ADC≌△ABC(SAS)，
∴∠ACD=∠ACB。
∵∠B=120°，
∴∠DCA=∠ACB=180°-120°-33°=27°。
∵AC平分∠DAB，∠DAB=66°，
∴∠DAC=∠BAC=33°。
在△ADC和△ABC中，$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠DAC=∠BAC, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ADC≌△ABC(SAS)，
∴∠ACD=∠ACB。
∵∠B=120°，
∴∠DCA=∠ACB=180°-120°-33°=27°。
15. 在 $△ ABC$ 中, 已知 $AB = BC ≠ AC$, 作与$△ ABC$ 只有一条公共边, 且与 $△ ABC$ 全等的三角形,这样的三角形一共能作出
7
个.答案
15. 7 解析：如图，以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，
所以一共能作出7个。
归纳总结 本题考查了全等三角形的作法。作三角形时要根据全等三角形的判定方法的要求，正确对每种情况进行讨论是解决本题的关键。
16. 中考新考法 满足结论的条件开放 如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作$\mathrm{Rt}△ ABQ$，使$∠ BAQ=90°,AQ:AB=3:4.$直线l上有一点C在点P右侧，$PC=4\ \mathrm{cm},$过点C作射线$CD⊥ l,$点F为射线CD上的一个动点，连接AF. 当$△ AFC$与$△ ABQ$全等时，$AQ=$
12或2或$\dfrac{12}{7}$
cm.答案
16. 12或2或$\frac{12}{7}$ 解析：当点P在点A的右侧时，AC不可能等于AQ，要使三角形全等，只能AC=AB。
要使△AFC与△ABQ全等，则应满足$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠BAQ=∠ACF, \\ AQ=CF. \end{cases}$
∵AQ:AB=3:4，AQ=AP，PC=4 cm，
∴设AQ=3x cm，AB=4x cm，则有4x-3x=4，
∴x=4，
∴AQ=12 cm。
当点P在点A的左侧时，若AC=AQ（即C，Q重合），可得AQ=2 cm；
若AC=AB，可得AQ=$\frac{12}{7}$ cm。
故当△AFC与△ABQ全等时，AQ=12 cm 或 2 cm 或 $\frac{12}{7}$ cm。
要使△AFC与△ABQ全等，则应满足$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠BAQ=∠ACF, \\ AQ=CF. \end{cases}$
∵AQ:AB=3:4，AQ=AP，PC=4 cm，
∴设AQ=3x cm，AB=4x cm，则有4x-3x=4，
∴x=4，
∴AQ=12 cm。
当点P在点A的左侧时，若AC=AQ（即C，Q重合），可得AQ=2 cm；
若AC=AB，可得AQ=$\frac{12}{7}$ cm。
故当△AFC与△ABQ全等时，AQ=12 cm 或 2 cm 或 $\frac{12}{7}$ cm。
17. (2024·南京联合体期中) 在 $△ ABC$ 中, $∠ A = 30°$, $AB = 2$. 若对于 $BC$ 的每一个值, 对应的 $△ ABC$ 的形状、大小都唯一确定, 则 $BC$ 长的取值范围是
BC=1或BC≥2
.答案
17. BC=1 或 BC≥2 解析：当BC⊥AC时，由“HL”判定△ABC的形状、大小都唯一确定。
∵∠A=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2=1。
以B为圆心，大于或等于AB的长为半径画弧，与射线BC只有一个交点（A除外），此时△ABC的形状、大小都唯一确定，
∴BC≥2，
∴BC长的取值范围是BC=1或BC≥2。
∵∠A=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2=1。
以B为圆心，大于或等于AB的长为半径画弧，与射线BC只有一个交点（A除外），此时△ABC的形状、大小都唯一确定，
∴BC≥2，
∴BC长的取值范围是BC=1或BC≥2。
18. 如图, 在 $△ A B C$ 中, $∠ A=90°, A B=A C$, $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 交 $A C$ 于点 $D, C E ⊥$ $B D$, 交 $B D$ 的延长线于点 $E$, 若 $B D=7$, 则 $C E=$
3.5
.答案
18. 3.5 解析：如图，延长BA，CE相交于点F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD。
在△BCE和△BFE中，$\begin{cases} ∠CBE=∠FBE, \\ BE=BE, \\ ∠BEC=∠BEF=90°, \end{cases}$
∴△BCE≌△BFE(ASA)，
∴EC=EF。
∵∠BAC=90°，CE⊥BD，
∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF。
在△ABD和△ACF中，$\begin{cases} ∠ABD=∠ACF, \\ AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAF=90°, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACF(ASA)，
∴BD=CF。
∵CF=CE+EF=2CE，
∴BD=2CE=7，
∴CE=3.5。
19. (2025·无锡江阴期中) 如图，四边形 $ABCD$ 中，$AC=BC,∠ ACB=∠ ADC=90°,CD=8$，则 $△ BCD$ 的面积为
32
。答案
19. 32 解析：如图，过点B作BH⊥DC交DC的延长线于点H。
∵∠H=∠ACB=∠ADC=90°，
∴∠BCH+∠ACD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCH=∠CAD。
在△BHC和△CDA中，$\begin{cases} ∠H=∠ADC, \\ ∠BCH=∠CAD, \\ CB=AC, \end{cases}$
∴△BHC≌△CDA(AAS)，
∴BH=CD=8，
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2}CD·BH=\frac{1}{2}×8×8=32$。
20. (2025·南京中华中学初中部期中) 在 $△ ABC$ 中，$AC=5$，中线 $AD=4$，则边 $AB$ 的取值范围是
3＜AB＜13
.答案
20. 3＜AB＜13 解析：如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
在△ABD和△ECD中，$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ADB=∠EDC, \\ AD=DE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴AB=EC。
∵AD=4，
∴AE=4+4=8。
∵8+5=13，8-5=3，
∴3＜EC＜13，即3＜AB＜13。
方法诠释 本题主要考查了全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系，在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键。
三、解答题
21. 如图，$△ ABC$ 的顶点都在小正方形的顶点上，试在网格纸上按下列要求画格点三角形.
(1)画一个三角形与$△ ABC$ 全等且只有一个公共点；
(2)画一个三角形与$△ ABC$ 全等且只有一条公共边.
21. 如图，$△ ABC$ 的顶点都在小正方形的顶点上，试在网格纸上按下列要求画格点三角形.
(1)画一个三角形与$△ ABC$ 全等且只有一个公共点；
(2)画一个三角形与$△ ABC$ 全等且只有一条公共边.
答案
21. (1)如图，△A₁BC₁即为所求。（答案不唯一）
(2)如图，△ABC₂即为所求。（答案不唯一）
22. (2024·南通一模) 如图,已知 A,D,C,E 在同一直线上,BC 和 DF 相交于点 O,$AD=CE$,$AB// DF$,$AB=DF$.
(1)求证:$△ ABC≌△ DFE$;
(2)连接 CF,若$∠ BCF=54°$,$∠ DFC=20°$,求$∠ DFE$的度数.
(1)求证:$△ ABC≌△ DFE$;
(2)连接 CF,若$∠ BCF=54°$,$∠ DFC=20°$,求$∠ DFE$的度数.
答案
22. (1)
∵AB//DF，
∴∠A=∠EDF。
∵AD=CE，
∴AD+CD=CE+CD，即AC=DE。
在△ABC和△DFE中，$\begin{cases} AB=DF, \\ ∠A=∠FDE, \\ AC=DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△DFE(SAS)。
(2)
∵∠BCF=54°，∠DFC=20°，
∴∠DOC=∠BCF+∠DFC=54°+20°=74°。
∵AB//DF，
∴∠B=∠DOC=74°。
∵△ABC≌△DFE，
∴∠DFE=∠B=74°。
∵AB//DF，
∴∠A=∠EDF。
∵AD=CE，
∴AD+CD=CE+CD，即AC=DE。
在△ABC和△DFE中，$\begin{cases} AB=DF, \\ ∠A=∠FDE, \\ AC=DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△DFE(SAS)。
(2)
∵∠BCF=54°，∠DFC=20°，
∴∠DOC=∠BCF+∠DFC=54°+20°=74°。
∵AB//DF，
∴∠B=∠DOC=74°。
∵△ABC≌△DFE，
∴∠DFE=∠B=74°。
