8. 传统文化 端午节习俗 （2023·内蒙古中考）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2 500元购进的肉粽和用2 000元购进的豆沙粽盒数相同.
(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价.
(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：
A厂家：一律打8折出售；
B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折.
该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂家购买应付$y_1$元，去B厂家购买应付$y_2$元，其函数图象如图所示：
①分别求出$y_1,y_2$与x之间的函数表达式.
②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？

精题详解

(1)设每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为 a 元和 b 元.
根据题意,得$\frac{a}{b}=\frac{2\ 500}{2\ 000}=1.25$,即 a=1.25b,
∴1.25b-b=10,解得 b=40,则 a=50.
∴每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为 50 元、40 元.
(2)①根据题意,得 y₁=0.8×40x=32x.
当0＜x≤25时,y₂=40x;
当x＞25时,y₂=25×40+0.7×40(x-25)=28x+300.
综上所述,y₁=32x,y₂=$\begin{cases}40x(0＜x≤25),\\28x+300(x＞25).\end{cases}$
②设 y₁ 和 y₂ 两函数图象交点的横坐标为 x,则 32x=28x+300,解得 x=75.
根据函数图象可知,
当 x＜75 时,y₁＜y₂;
当 x=75 时,y₁=y₂;
当 x＞75 时,y₂＜y₁,
∴该商家购买豆沙粽礼盒的数量若少于 75 盒,从 A 厂家购买比较划算;若等于 75 盒,从 A 和 B 两个厂家任选一家即可;若超过 75 盒,从 B 厂家购买比较划算.

9. (2024·牡丹江中考)一条公路上依次有 A,B,C 三地,甲车从 A 地出发,沿公路经 B 地到 C 地,乙车从 C 地出发,沿公路驶向 B 地. 甲、乙两车同时出发,匀速行驶,乙车比甲车早$\frac{2}{7}$小时到达目的地. 甲、乙两车之间的路程 $y(\mathrm{km})$与两车行驶时间 $x(\mathrm{h})$的函数关系如图所示,请结合图象信息,解答下列问题:
(1)甲车行驶的速度是$\mathrm{km/h}$,并在图中括号内填上正确的数;
(2)求图中线段 EF 所在直线的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)请直接写出两车出发多少小时,乙车距 B地的路程是甲车距 B 地路程的 3 倍.

(1)由图可知,甲车$\frac{2}{7}$小时行驶的路程为(200-180)km,
∴甲车行驶的速度是$(200-180)÷\frac{2}{7}=70(\mathrm{km/h})$,
$70×(4+\frac{2}{7})=300(\mathrm{km})$.
填图如下：

(2)由图可知 E,F 的坐标分别为$(\frac{5}{2},0)$,(4,180),
设线段 EF 所在直线的函数表达式为 y=kx+b,
则$\begin{cases}\frac{5}{2}k+b=0,\\4k+b=180,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=120,\\b=-300,\end{cases}$
∴线段 EF 所在直线的函数表达式为 y=120x-300.
(3)由题意知,A,C 两地的距离为$(4+\frac{2}{7})×70=300(\mathrm{km})$,
乙车行驶的速度为$300÷\frac{5}{2}-70=50(\mathrm{km/h})$,
C,B 两地的距离为 50×4=200(km),
A,B 两地的距离为 300-200=100(km),
设两车出发 x 小时,乙车距 B 地的路程是甲车距 B 地路程的 3 倍.
分两种情况:
甲在 AB 之间时:200-50x=3(100-70x),解得 x=$\frac{5}{8}$;
甲在 BC 之间时:200-50x=3(70x-100),解得 x=$\frac{25}{13}$.
综上可知,两车出发$\frac{5}{8}\ \mathrm{h}$或$\frac{25}{13}\ \mathrm{h}$时,乙车距 B 地的路程是甲车距 B 地的 3 倍.