6. 跨学科 测算沸点 （2023·宜昌中考）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度.小聪想用刻度不超过$100\ °\mathrm{C}$的温度计测算出这种食用油沸点的温度.在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔$10\ \mathrm{s}$测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：

(1)小聪在平面直角坐标系中描出了表中数据对应的点.经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温$y$（单位：$°\mathrm{C}$）与加热的时间$t$（单位：$\mathrm{s}$）符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是函数关系(请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”)；
(2)根据以上判断，求$y$关于$t$的函数表达式；
(3)当加热$110\ \mathrm{s}$时，油沸腾了，请推算沸点的温度.

(1)根据表格中两个变量对应值变化的规律可知,时间每增加 10 s,油的温度就升高 20 ℃.故锅中油温 y 与加热的时间 t 可能是一次函数关系.
(2)设锅中油温 y 与加热的时间 t 的函数表达式为 y=kt+b(k≠0),将点(0,10),(10,30)代入,
得$\begin{cases}b=10,\\10k+b=30,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=10,\end{cases}$
∴y=2t+10.
(3)当 t=110 时,y=2×110+10=230,
∴经过推算,该油的沸点温度是 230 ℃.
归纳总结 本题主要考查了一次函数的应用、用待定系数法求一次函数表达式,利用待定系数法正确求出一次函数的表达式是解题关键.

7. (2023·襄阳中考)在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下.每到傍晚,市内某网红烧烤店就食客如云,这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销,店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售,其中海鲜串的成本为$m$元/支,肉串的成本为$n$元/支;两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示(成本包括进价和其他费用):

针对团体消费,店主决定每次消费海鲜串不超过200支时,每支售价5元;超过200支时,不超过200支的部分按原价,超过200支的部分打8折.每支肉串的售价为3.5元.
(1)求$m,n$的值;
(2)五一当天,一个旅游团去此店吃烧烤,一次性消费海鲜串和肉串共1000支,且海鲜串不超过400支.在本次消费中,设该旅游团消费海鲜串$x$支,店主获得海鲜串的总利润为$y$元,求$y$与$x$的函数表达式,并写出自变量$x$的取值范围;
(3)在(2)的条件下,该旅游团消费的海鲜串超过了200支,店主决定给该旅游团更多优惠,对每支肉串降价$a$($0＜a＜1$)元,但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润,求$a$的最大值.

(1)根据表格,可得
$\begin{cases}3\ 000m+4\ 000n=17\ 000,\\4\ 000m+3\ 000n=18\ 000,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=3,\\n=2,\end{cases}$
∴m 的值为 3,n 的值为 2.
(2)当0＜x≤200时,店主获得海鲜串的总利润 y=(5-3)x=2x;
当200＜x≤400时,店主获得海鲜串的总利润 y=(5-3)×200+(5×0.8-3)(x-200)=x+200,
∴y=$\begin{cases}2x(0＜x≤200),\\x+200(200＜x≤400).\end{cases}$
(3)设降价后获得肉串的总利润为 z 元,令 W=z-y.
∵200＜x≤400,
∴z=(3.5-a-2)(1 000-x)=(a-1.5)x+1 500-1 000a,
∴W=z-y=(a-2.5)x+1 300-1 000a.
∵0＜a＜1,
∴a-2.5＜0,
∴W 随 x 的增大而减小.
当 x=400 时,W 的值最小.
由题意,可得 z≥y,
∴W≥0,
即(a-2.5)×400+1 300-1 000a≥0,
解得 a≤0.5,
∴a 的最大值是 0.5.