7. 如图,正五边形 $ABCDE$ 和正三角形 $APQ$ 都内接于 $\odot O$,则 $\overset{\frown}{PC}$ 的度数为.

7.$24°$

【分析】
要计算弧PC的度数，本质是求该弧对应的圆心角的度数。解题思路是：1. 利用圆内接正多边形的性质，正n边形每条边对应的劣弧度数等于360°除以n，先算出正五边形单段边对应的弧度数，进而得到劣弧AC的度数；2. 同理算出正三角形APQ的边AP对应的劣弧AP的度数；3. 结合图形中各段弧的位置关系，用劣弧AC的度数减去劣弧AP的度数，即可得到弧PC的度数。
【解析】
∵ 正五边形ABCDE内接于⊙O，圆周总度数为360°
∴ 正五边形每条边对应的劣弧的度数为：$\frac{360°}{5}=72°$
∴ 劣弧AC对应的度数为：$2×72°=144°$
又
∵ 正三角形APQ内接于⊙O
∴ 正三角形每条边对应的劣弧的度数为：$\frac{360°}{3}=120°$，即劣弧AP的度数为$120°$
由图中弧的位置关系可得：$\overset{\frown}{PC}$的度数 = $\overset{\frown}{AC}$的度数 - $\overset{\frown}{AP}$的度数
代入数值计算得：$\overset{\frown}{PC}$的度数 = $144° - 120° = 24°$
【答案】
$24°$
【知识点】
正多边形与圆，弧的度数
【点评】
本题属于圆内接正多边形的基础计算题，核心是掌握“圆内接正n边形的中心角（对应边所对的圆心角）为$\frac{360°}{n}$”的性质，无需添加复杂辅助线，理清各段劣弧的和差关系即可快速求解，侧重考察学生对基础性质的理解应用。
【难度系数】
0.7

8.(2025·梁溪区月考)如图,A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,若$∠ ADB=$$30°$,则这个多边形的边数是;若这个多边形的边长为2,则多边形的面积是.

8.六 $6\sqrt{3}$

【分析】
首先明确正多边形的所有顶点都在其外接圆上，中心O就是外接圆的圆心。第一步，已知∠ADB=30°，这是弧AB对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧对应的圆心角是圆周角的2倍，可算出弧AB对应的中心角为60°。第二步，正n边形所有中心角的总和为360°，用360°除以单个中心角的度数就能得到正多边形的边数。第三步，正六边形可以拆分为6个全等的等边三角形，等边三角形的边长等于正六边形的边长，算出单个等边三角形的面积再乘6即可得到正多边形的总面积。
【解析】
1. 计算正多边形边数：
因为A、B、C、D是正多边形的顶点，O是正多边形的中心，因此A、B、C、D都在以O为圆心的正多边形外接圆上。
已知∠ADB=30°，∠ADB是弧AB所对的圆周角，由圆周角定理可得，弧AB对应的圆心角∠AOB=2∠ADB=2×30°=60°。
正多边形所有中心角之和为360°，因此边数$n=\frac{360°}{∠ AOB}=\frac{360°}{60°}=6$，该正多边形为正六边形。
2. 计算正多边形面积：
正六边形可以被中心与各顶点的连线分割为6个完全全等的等边三角形，每个等边三角形的边长等于正六边形的边长2。
单个等边三角形的面积为：$S_0=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$
因此正六边形的总面积为：$S=6× S_0=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
【答案】6；$6\sqrt{3}$
【知识点】圆周角定理，正多边形性质，等边三角形面积
【点评】本题是正多边形相关计算的典型基础题，结合圆周角定理将已知角转化为正多边形的中心角求出边数，再利用正六边形可拆分为6个全等等边三角形的特性简化面积计算，考察了正多边形和外接圆的关联性质。
【难度系数】0.7

9. (2025·建邺区月考)如图,圆心$O$恰好为正六边形$ABCDEF$的中心,已知$AB=12$,$\odot O$的半径为$\sqrt{3}$,现将$\odot O$在正六边形内部沿某一方向平移,当它与正六边形$ABCDEF$的某条边相切时停止平移,设此时平移的距离为$d$,则$d$的取值范围是.

9.$5\sqrt{3}≤ d≤ 10$

【分析】
我们首先要明确：圆平移的距离d，就是原圆心O到平移后新圆心的移动距离，也就是两点间的线段长度。解题思路分两步走：第一步先利用正六边形的基础性质，算出正六边形的边心距（中心到任意边的距离）、中心到顶点的距离；第二步分别找平移距离的最小值和最大值：最小值对应沿着中心向某条边垂直平移、刚相切的情况，用边心距减去圆半径即可得到；最大值对应平移后圆同时和两条相邻边相切的情况，此时新圆心在中心指向顶点的对称轴上，结合120°内角的几何特征算出该点到原中心的距离，就能得到最大值，最终确定d的取值范围。
【解析】
解：1. 计算正六边形基础参数
已知正六边形边长AB=12，正六边形的边心距（中心O到任意一条边的距离）为：
$边心距 = \frac{\sqrt{3}}{2} × 边长 = \frac{\sqrt{3}}{2} × 12 = 6\sqrt{3}$
同时正六边形中心到任意顶点的距离等于边长，即O到各顶点的距离为12。
2. 求平移距离的最小值
平移后圆与某条边相切，说明新圆心到该边的距离等于⊙O的半径$\sqrt{3}$。当沿着中心向边的垂线方向平移时，平移距离最短：
$d_{min} = 6\sqrt{3} - \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$
3. 求平移距离的最大值
当平移后圆同时与正六边形的两条相邻边相切时，新圆心位于两条边120°内角的角平分线上，也就是正六边形过中心和对应顶点的对称轴上。
设新圆心为P，对应相邻边的公共顶点为B，连接BP，BP将120°内角分为两个60°角。在P向边AB作垂线形成的直角三角形中：
$\sin60° = \frac{\sqrt{3}}{BP}$
解得$BP=\frac{\sqrt{3}}{\sin60°}=2$，又因为O、P、B三点共线，OB=12，因此：
$OP = OB - BP = 12 - 2 = 10$
即平移距离的最大值$d_{max}=10$。
综上可得d的取值范围。
【答案】$5\sqrt{3} ≤ d ≤ 10$
【知识点】正六边形性质，直线与圆相切
【点评】本题将平移问题转化为圆心的动点距离问题，通过分析两种极端相切场景求解范围，容易出错的点是误将边心距减半径作为最大值，忽略靠近正六边形顶点区域可以平移更远距离的情况，需要结合正六边形的轴对称特征分析。
【难度系数】0.4

10. (2025·工业园区期中) 如图, 等边$△ ABC$内接于$\odot O$, $BD$为内接正十二边形的一边, $CD=$$5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$, 求$\odot O$的半径$R$.

10.解:如答图,连接$OB,OC,OD$,
$\because$等边$△ ABC$内接于$\odot O$,$BD$为内接正十二边形的一边,
$\therefore ∠ BOC=\frac{1}{3}×360°=120°$,$∠ BOD=\frac{1}{12}×360°=30°$,
$\therefore ∠ COD=∠ BOC-∠ BOD=120°-30°=90°$.
$\because OC=OD$,$\therefore ∠ OCD=45°$,
$\therefore OC=CD·\cos45°=5\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=5(\mathrm{cm})$.
即$\odot O$的半径$R$为$5\ \mathrm{cm}$.

【分析】
我们的解题思路是把待求的圆半径放到可解的特殊三角形中：首先看到题目给出了圆的两个内接正多边形，回忆圆内接正n边形的每条边对应的圆心角为$\frac{360°}{n}$，因此先作辅助线连接OB、OC、OD三条半径，分别算出等边△ABC的边BC对应的圆心角∠BOC，以及正十二边形的边BD对应的圆心角∠BOD，两角相减即可得到OC、OD的夹角∠COD=90°，此时△COD是等腰直角三角形，代入已知的斜边CD长度，就能直接求出作为直角边的半径长度。
【解析】
解：连接$OB,OC,OD$，
$\because$等边$△ ABC$内接于$\odot O$，圆被等边三角形的三条边三等分，
$\therefore ∠ BOC=\frac{1}{3}×360°=120°$，
又$\because BD$为$\odot O$内接正十二边形的一边，圆被正十二边形的十二条边十二等分，
$\therefore ∠ BOD=\frac{1}{12}×360°=30°$，
$\therefore ∠ COD=∠ BOC-∠ BOD=120°-30°=90°$。
$\because OC$和$OD$都是$\odot O$的半径，即$OC=OD$，
$\therefore △COD$是等腰直角三角形，$∠ OCD=45°$，
代入$CD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$计算得：
$OC=CD·\cos45°=5\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=5(\mathrm{cm})$。
即$\odot O$的半径$R$为$5\ \mathrm{cm}$。
【答案】

$\odot O$的半径$R$为$5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
正多边形与圆，圆心角计算，等腰直角三角形性质
【点评】
本题的核心突破口是利用圆内接正多边形的中心角公式，推导出△COD为等腰直角三角形，将求半径的问题转化为已知斜边求直角边的简单计算，构造辅助线连接圆心和各顶点，把分散的条件集中到同一个三角形中，是圆内接正多边形的经典基础题型。
【难度系数】
0.6

11. 如图,正六边形 $ABCDEF$ 为$\odot O$ 的内接正六边形.
(1)若$\odot O$ 的半径为 4 cm,求正六边形 $ABCDEF$ 的周长和面积;
(2)点 $G$ 在 $\overgroup{CD}$ 上,$CG$ 恰好是$\odot O$ 内接正十边形的一边,$DG$ 恰好是$\odot O$ 内接正 $n$ 边形的一边,求 $n$ 的值.

11.解:(1)如答图,连接$OC,OD$.
$\because$六边形$ABCDEF$是圆内接正六边形,
$\therefore ∠ COD=\frac{360°}{6}=60°$.
$\because OC=OD$,$\therefore △ COD$是正三角形,
$\therefore CD=OC=OD=4\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$正六边形$ABCDEF$的周长为$4×6=24(\mathrm{cm})$.
$\because S_{△ COD}=\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}×4=4\sqrt{3}\,(\mathrm{cm}^2)$,
$\therefore S_{\mathrm{正六边形}ABCDEF}=6S_{△ COD}=24\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$.
即正六边形$ABCDEF$的周长为$24\ \mathrm{cm}$,面积为$24\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$.

(2)如答图,连接$OG$.
$\because CG$是$\odot O$内接正十边形的一边,$\therefore ∠ COG=\frac{360°}{10}=36°$,
$\therefore ∠ DOG=∠ COD-∠ COG=60°-36°=24°$.
$\because DG$是$\odot O$内接正$n$边形的一边,$\therefore \frac{360°}{n}=24°$,
解得$n=15$.

【分析】
解题思路：
1. 第(1)问：首先回忆圆内接正六边形的性质，正六边形每条边对应的中心角为360°/6=60°，连接圆心O与相邻顶点C、D，得到的△COD中OC=OD，且夹角为60°，因此△COD是等边三角形，边长CD就等于圆的半径，由此直接算出正六边形的周长。再将正六边形拆分为6个完全相同的等边三角形，先计算单个等边三角形的面积，乘以6即可得到正六边形的总面积。
2. 第(2)问：利用圆内接正n边形的中心角公式：中心角=360°/n，先算出正十边形的边CG对应的中心角∠COG=360°/10=36°，已知正六边形的边CD对应的中心角∠COD=60°，二者作差即可得到DG对应的中心角∠DOG的度数，再代入中心角公式反推n的值即可。
【解析】
(1) 连接OC,OD。
∵ 六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴ 正六边形每条边对应的中心角∠COD = 360°/6 = 60°，
又
∵ OC=OD=4cm，
∴ △COD是等边三角形，
∴ CD=OC=OD=4cm，
∴ 正六边形ABCDEF的周长 = 6×CD = 6×4 = 24 cm。
等边△COD的高为：OC·sin60° = 4×(√3/2) = 2√3 cm，
∴ S△COD = 1/2 × CD × 高 = 1/2 ×4 ×2√3 = 4√3 cm²，
∴ 正六边形ABCDEF的面积 = 6×S△COD = 6×4√3 = 24√3 cm²。
(2) 连接OG。
∵ CG是⊙O内接正十边形的一边，
∴ CG对应的中心角∠COG = 360°/10 = 36°，
由(1)已知∠COD=60°，
∴ ∠DOG = ∠COD - ∠COG = 60° - 36° = 24°，
∵ DG是⊙O内接正n边形的一边，
∴ DG对应的中心角满足 360°/n = 24°，
解得n=15。
【答案】
(1) 正六边形ABCDEF的周长为24 cm，面积为24√3 cm²；
(2) n的值为15。

【知识点】
圆内接正多边形，正多边形中心角，等边三角形判定
【点评】
本题是圆内接正多边形的基础常考题，核心考察正n边形中心角等于360°/n的核心性质，第一问通过将正六边形拆分为6个全等等边三角形简化边长和面积计算，第二问通过中心角的差值推导未知正多边形的边数，整体难度不大，能够有效巩固学生对正多边形和圆相关基础概念的掌握。
【难度系数】
0.7