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1. 新情境 (2025·盱眙县期中)如图①是博物馆屋顶的图片,屋顶由图②中的瓦片构成,瓦片横截面如图③所示,$\overset{\frown}{AB}$是以点$O$为圆心,18 cm 为半径的弧,弦$AB$的长为18 cm,则$\overset{\frown}{AB}$的长是 （
A.$24π \ \mathrm{cm}$
B.$12π \ \mathrm{cm}$
C.$10π \ \mathrm{cm}$
D.$6π \ \mathrm{cm}$
D
）A.$24π \ \mathrm{cm}$
B.$12π \ \mathrm{cm}$
C.$10π \ \mathrm{cm}$
D.$6π \ \mathrm{cm}$
答案
1.D
解析
【分析】
要计算弧$\overset{\frown}{AB}$的长度，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ R}{180}$，其中$n$是弧对应的圆心角度数，$R$是圆弧所在圆的半径。题目已经给出半径$R=18\ \mathrm{cm}$，因此只需要求出圆心角$∠ AOB$的度数即可完成计算。已知$OA$、$OB$都是圆$O$的半径，长度均为$18\ \mathrm{cm}$，又已知弦$AB$长为$18\ \mathrm{cm}$，三边相等的三角形是等边三角形，由此可推出$∠ AOB=60°$，将数值代入弧长公式即可得到结果。
【解析】
1. 判定三角形形状：
已知$OA=OB=18\ \mathrm{cm}$，$AB=18\ \mathrm{cm}$，可得$OA=OB=AB$，因此$△ OAB$是等边三角形，由此得到圆心角$∠ AOB=60°$。
2. 代入弧长公式计算：
将$n=60$，$R=18\ \mathrm{cm}$代入弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，可得：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{60×π×18}{180}=6π\ \mathrm{cm}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形判定，弧长计算公式
【点评】
本题结合现实中建筑瓦片的新情境，考察弧长的基础运算，解题核心是通过三边相等的条件先判定等边三角形，得到圆心角的度数，再代入弧长公式计算，属于基础应用题型，只要掌握等边三角形判定和弧长公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要计算弧$\overset{\frown}{AB}$的长度，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ R}{180}$，其中$n$是弧对应的圆心角度数，$R$是圆弧所在圆的半径。题目已经给出半径$R=18\ \mathrm{cm}$，因此只需要求出圆心角$∠ AOB$的度数即可完成计算。已知$OA$、$OB$都是圆$O$的半径，长度均为$18\ \mathrm{cm}$，又已知弦$AB$长为$18\ \mathrm{cm}$，三边相等的三角形是等边三角形，由此可推出$∠ AOB=60°$，将数值代入弧长公式即可得到结果。
【解析】
1. 判定三角形形状：
已知$OA=OB=18\ \mathrm{cm}$，$AB=18\ \mathrm{cm}$，可得$OA=OB=AB$，因此$△ OAB$是等边三角形，由此得到圆心角$∠ AOB=60°$。
2. 代入弧长公式计算：
将$n=60$，$R=18\ \mathrm{cm}$代入弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，可得：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{60×π×18}{180}=6π\ \mathrm{cm}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形判定，弧长计算公式
【点评】
本题结合现实中建筑瓦片的新情境，考察弧长的基础运算，解题核心是通过三边相等的条件先判定等边三角形，得到圆心角的度数，再代入弧长公式计算，属于基础应用题型，只要掌握等边三角形判定和弧长公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
2.(2025·连云港一模)如图,用一个半径为 10 cm 的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点 P 旋转了$36°$,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了（
A.$\dfrac{3π}{2}\ \mathrm{cm}$
B.$2π\ \mathrm{cm}$
C.$\dfrac{5π}{2}\ \mathrm{cm}$
D.$3π\ \mathrm{cm}$
B
）A.$\dfrac{3π}{2}\ \mathrm{cm}$
B.$2π\ \mathrm{cm}$
C.$\dfrac{5π}{2}\ \mathrm{cm}$
D.$3π\ \mathrm{cm}$
答案
2.B
解析
【分析】
这道题的核心是建立物理场景和数学计算的关联：由于绳索和定滑轮之间没有相对滑动，重物上升的距离就等于滑轮边缘上点P旋转扫过的对应弧长。我们只需要明确这个等量关系，再代入弧长计算公式，把已知的旋转角度36°、滑轮半径10cm代入运算，就能直接得到重物上升的高度。
【解析】
解：根据题意，重物上升的距离等于定滑轮上点P旋转36°所对应的弧长。
扇形弧长计算公式为：$ l = \frac{nπ r}{180} $，其中旋转圆心角$ n=36° $，定滑轮半径$ r=10\ \mathrm{cm} $，将数值代入公式：
$l = \frac{36 × π × 10}{180} = 2π\ \mathrm{cm}$
因此重物上升了$ 2π\ \mathrm{cm} $。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算，定滑轮特性
【点评】
本题结合简单的定滑轮物理场景考查扇形弧长的基础计算，解题关键是把重物上升的距离转化为滑轮边缘转过的弧长，不需要复杂推导，直接套用公式即可求解，属于基础的跨学科小综合题型。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是建立物理场景和数学计算的关联：由于绳索和定滑轮之间没有相对滑动，重物上升的距离就等于滑轮边缘上点P旋转扫过的对应弧长。我们只需要明确这个等量关系，再代入弧长计算公式，把已知的旋转角度36°、滑轮半径10cm代入运算，就能直接得到重物上升的高度。
【解析】
解：根据题意，重物上升的距离等于定滑轮上点P旋转36°所对应的弧长。
扇形弧长计算公式为：$ l = \frac{nπ r}{180} $，其中旋转圆心角$ n=36° $，定滑轮半径$ r=10\ \mathrm{cm} $，将数值代入公式：
$l = \frac{36 × π × 10}{180} = 2π\ \mathrm{cm}$
因此重物上升了$ 2π\ \mathrm{cm} $。
【答案】
B
【知识点】
弧长计算，定滑轮特性
【点评】
本题结合简单的定滑轮物理场景考查扇形弧长的基础计算，解题关键是把重物上升的距离转化为滑轮边缘转过的弧长，不需要复杂推导，直接套用公式即可求解，属于基础的跨学科小综合题型。
【难度系数】
0.8
3.(2025·盱眙县期中)已知一个扇形的半径是4 cm,圆心角为$45^{\circ }$,则这个扇形的面积是
$2π$
$\mathrm{cm^{2}}$.答案
3.$2π$
解析
【分析】
这道题是求给定半径和圆心角的扇形面积，首先梳理已知条件：扇形半径R=4cm，圆心角n=45°。解题思路很清晰，我们不需要推导复杂关系，直接选用对应已知条件的扇形面积公式即可：因为题目没有给出弧长，所以优先选用带圆心角度数的扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$，把已知的n和R的数值代入公式，化简计算就能直接得到结果，计算时注意不要和弧长公式混淆，正确约分即可。
【解析】
已知扇形的半径$R=4\ \mathrm{cm}$，圆心角$n=45°$，
根据圆心角度数形式的扇形面积公式：
$S=\frac{nπ R^2}{360}$
将数值代入公式：
$S=\frac{45× π × 4^2}{360}=\frac{45× π × 16}{360}=\frac{720π}{360}=2π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$2π$
【知识点】
扇形面积公式，代数式化简
【点评】
本题属于扇形相关计算的基础题型，直接考察扇形面积公式的正向代入应用，没有设置变形陷阱，只要牢记扇形面积的角度形式公式，区分开弧长公式的分母180，正确完成约分计算就可以得到正确结果，是巩固扇形基础计算的典型习题。
【难度系数】
0.9
这道题是求给定半径和圆心角的扇形面积，首先梳理已知条件：扇形半径R=4cm，圆心角n=45°。解题思路很清晰，我们不需要推导复杂关系，直接选用对应已知条件的扇形面积公式即可：因为题目没有给出弧长，所以优先选用带圆心角度数的扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$，把已知的n和R的数值代入公式，化简计算就能直接得到结果，计算时注意不要和弧长公式混淆，正确约分即可。
【解析】
已知扇形的半径$R=4\ \mathrm{cm}$，圆心角$n=45°$，
根据圆心角度数形式的扇形面积公式：
$S=\frac{nπ R^2}{360}$
将数值代入公式：
$S=\frac{45× π × 4^2}{360}=\frac{45× π × 16}{360}=\frac{720π}{360}=2π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$2π$
【知识点】
扇形面积公式，代数式化简
【点评】
本题属于扇形相关计算的基础题型，直接考察扇形面积公式的正向代入应用，没有设置变形陷阱，只要牢记扇形面积的角度形式公式，区分开弧长公式的分母180，正确完成约分计算就可以得到正确结果，是巩固扇形基础计算的典型习题。
【难度系数】
0.9
4. 如图,四边形$ABCD$为平行四边形,以点$A$为圆心,$AB$的长为半径画弧,交$BC$边于点$E$,连接$AE$,若$AB=1$,$∠ D=60^{ \circ }$,则$\overset{\frown}{BE}$的长$l=$
$\frac{1}{3}π$
.(结果保留$π$)答案
4.$\frac{1}{3}π$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用平行四边形对角相等的性质，由已知∠D=60°，得到∠B的度数；第二步，根据作图规则，AE、AB都是以A为圆心的半径，因此AB=AE，结合∠B=60°，可判定△ABE是等边三角形，进而得到弧BE对应的圆心角∠BAE的度数；第三步，代入弧长计算公式，代入圆心角度数和半径长度，即可算出弧长。
【解析】
解：
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角相等的性质，可得∠B = ∠D = 60°。
2. 由作图可知：AE = AB = 1，因此△ABE是等腰三角形，又因为∠B=60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此∠BAE = 60°。
3. 根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中圆心角n=60°，半径r=AB=1，代入计算得：
$l=\frac{60π × 1}{180}=\frac{1}{3}π$。
【答案】
$\frac{1}{3}π$
【知识点】
平行四边形性质，等边三角形判定，弧长公式
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考察平行四边形性质、等边三角形判定与弧长公式的应用，解题核心是先推导得到弧对应的圆心角的度数，要注意避免直接将∠B当作圆心角的常见错误。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先利用平行四边形对角相等的性质，由已知∠D=60°，得到∠B的度数；第二步，根据作图规则，AE、AB都是以A为圆心的半径，因此AB=AE，结合∠B=60°，可判定△ABE是等边三角形，进而得到弧BE对应的圆心角∠BAE的度数；第三步，代入弧长计算公式，代入圆心角度数和半径长度，即可算出弧长。
【解析】
解：
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角相等的性质，可得∠B = ∠D = 60°。
2. 由作图可知：AE = AB = 1，因此△ABE是等腰三角形，又因为∠B=60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此∠BAE = 60°。
3. 根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中圆心角n=60°，半径r=AB=1，代入计算得：
$l=\frac{60π × 1}{180}=\frac{1}{3}π$。
【答案】
$\frac{1}{3}π$
【知识点】
平行四边形性质，等边三角形判定，弧长公式
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考察平行四边形性质、等边三角形判定与弧长公式的应用，解题核心是先推导得到弧对应的圆心角的度数，要注意避免直接将∠B当作圆心角的常见错误。
【难度系数】
0.7
5. 某新建学校因场地限制,要合理规划体育场地.小明绘制的铅球场地设计图如图所示,该场地由$\odot O$和扇形$OBC$组成,$OB$,$OC$分别与$\odot O$交于点$A$,$D$.$OA=1\ \mathrm{m}$,$OB=10\ \mathrm{m}$,$∠ AOD=$$40^{ \circ }$,则阴影部分的面积为
$11π$
$\mathrm{m}^{2}$.(结果保留$π$)答案
5.$11π$
解析
【分析】
我们先观察图形，阴影部分是不规则图形，直接计算无法得出结果，所以可以用“大图形面积减去小图形面积”的思路转化：阴影部分的面积等于大扇形OBC的面积减去小扇形OAD的面积。首先可以发现两个扇形的圆心角完全相同，都等于∠AOD=40°，再分别代入扇形面积公式计算两个扇形的面积，做差后就能得到阴影部分的面积。
【解析】
由图可知，∠BOC和∠AOD为同一个圆心角，因此∠BOC=∠AOD=40°。
阴影部分面积满足：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{扇形}OBC} - S_{\mathrm{扇形}OAD}$
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径）：
1. 计算大扇形OBC的面积：已知OB=10m，代入得
$S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{40π × 10^2}{360}=\frac{4000π}{360}=\frac{100π}{9}\ \mathrm{m}^2$
2. 计算小扇形OAD的面积：已知OA=1m，代入得
$S_{\mathrm{扇形}OAD}=\frac{40π × 1^2}{360}=\frac{40π}{360}=\frac{π}{9}\ \mathrm{m}^2$
3. 两式做差得到阴影面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{100π}{9}-\frac{π}{9}=\frac{99π}{9}=11π\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$11π$
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题考查扇形面积的转化计算，核心是把不规则阴影部分的面积转化为两个同圆心角的扇形面积之差，解题时注意区分两个扇形的半径，计算过程做好约分即可快速得到结果，属于基础的图形面积转化题型。
【难度系数】
0.7
我们先观察图形，阴影部分是不规则图形，直接计算无法得出结果，所以可以用“大图形面积减去小图形面积”的思路转化：阴影部分的面积等于大扇形OBC的面积减去小扇形OAD的面积。首先可以发现两个扇形的圆心角完全相同，都等于∠AOD=40°，再分别代入扇形面积公式计算两个扇形的面积，做差后就能得到阴影部分的面积。
【解析】
由图可知，∠BOC和∠AOD为同一个圆心角，因此∠BOC=∠AOD=40°。
阴影部分面积满足：
$S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{扇形}OBC} - S_{\mathrm{扇形}OAD}$
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径）：
1. 计算大扇形OBC的面积：已知OB=10m，代入得
$S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{40π × 10^2}{360}=\frac{4000π}{360}=\frac{100π}{9}\ \mathrm{m}^2$
2. 计算小扇形OAD的面积：已知OA=1m，代入得
$S_{\mathrm{扇形}OAD}=\frac{40π × 1^2}{360}=\frac{40π}{360}=\frac{π}{9}\ \mathrm{m}^2$
3. 两式做差得到阴影面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{100π}{9}-\frac{π}{9}=\frac{99π}{9}=11π\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$11π$
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题考查扇形面积的转化计算，核心是把不规则阴影部分的面积转化为两个同圆心角的扇形面积之差，解题时注意区分两个扇形的半径，计算过程做好约分即可快速得到结果，属于基础的图形面积转化题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$\odot O$中,$AB$是直径,弦$CD⊥ AB$,垂足为$E$,连接$BC$.
(1)若$AE=CD=4$,求$AB$的长;
(2)若$∠ BCD=36°$,$OB=6$,求$\overset{\frown}{BC}$的长度.
(1)若$AE=CD=4$,求$AB$的长;
(2)若$∠ BCD=36°$,$OB=6$,求$\overset{\frown}{BC}$的长度.
答案
6. 解:(1)如答图,连接 OC,设$\odot O$的半径为 r,则$OE=4-r$.
$\because AB$是直径,弦$CD⊥ AB,\therefore CE=\frac{1}{2}CD=2$.
在$\mathrm{Rt}△ OEC$中,$OE^{2}+CE^{2}=OC^{2}$,即$(4-r)^{2}+2^{2}=r^{2}$,
解得$r=\frac{5}{2},\therefore AB=2r=5$.
(2)$\because AB$是$\odot O$的直径,弦$CD⊥ AB,\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,
$\therefore ∠ BOC=2∠ BCD=72^{\circ },\therefore \overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{72π × 6}{180}=\frac{12}{5}π$.
解析
【分析】
这道题分为两小问，解题思路如下：
1. 第一问：已知弦CD垂直直径AB，首先回忆垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此可以直接得到CE是CD的一半，长度为2。接下来连接OC，OC是圆的半径，设半径为r，已知AE=4，那么OE的长度就可以表示为AE - AO = 4 - r。此时在直角三角形OEC中，三条边满足勾股定理，代入数值就能列出关于r的方程，解出r之后乘以2就得到直径AB的长度。
2. 第二问：同样先利用垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，因此弧BC和弧BD相等，已知圆周角∠BCD是36°，根据圆周角定理，同弧对应的圆心角是圆周角的2倍，就能算出圆心角∠BOC的度数，已知半径OB=6，直接代入弧长公式就能算出弧BC的长度。
【解析】
(1) 连接OC，设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r$，$OE = AE - AO = 4 - r$。
$\because AB$是直径，$CD ⊥ AB$，根据垂径定理可得：
$CE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 4 = 2$
在$\mathrm{Rt}△ OEC$中，由勾股定理$OE^2 + CE^2 = OC^2$，代入得：
$(4-r)^2 + 2^2 = r^2$
展开化简得$20 -8r = 0$，解得$r=\frac{5}{2}$
因此直径$AB=2r=2×\frac{5}{2}=5$。
(2) $\because AB$是直径，$CD ⊥ AB$，由垂径定理可知AB平分弧CD，即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此：
$∠ BOC = 2∠ BCD = 2×36° =72°$
已知半径$OB=6$，代入弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，得：
$\overset{\frown}{BC}$的长度$=\frac{72π × 6}{180} = \frac{12}{5}π$
【答案】
(1) $AB=5$；(2) $\overset{\frown}{BC}$的长度为$\frac{12}{5}π$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弧长计算公式
【点评】
本题是圆章节的基础常规考题，核心考察垂径定理的应用，第一问通过连半径构造直角三角形，结合勾股定理求解半径是垂径定理相关题型的经典解法；第二问结合圆周角和圆心角的倍数关系，代入弧长公式计算，整体难度不大，学生熟练掌握圆的基础定理，理清各条件之间的关联即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
这道题分为两小问，解题思路如下：
1. 第一问：已知弦CD垂直直径AB，首先回忆垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此可以直接得到CE是CD的一半，长度为2。接下来连接OC，OC是圆的半径，设半径为r，已知AE=4，那么OE的长度就可以表示为AE - AO = 4 - r。此时在直角三角形OEC中，三条边满足勾股定理，代入数值就能列出关于r的方程，解出r之后乘以2就得到直径AB的长度。
2. 第二问：同样先利用垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，因此弧BC和弧BD相等，已知圆周角∠BCD是36°，根据圆周角定理，同弧对应的圆心角是圆周角的2倍，就能算出圆心角∠BOC的度数，已知半径OB=6，直接代入弧长公式就能算出弧BC的长度。
【解析】
(1) 连接OC，设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r$，$OE = AE - AO = 4 - r$。
$\because AB$是直径，$CD ⊥ AB$，根据垂径定理可得：
$CE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} × 4 = 2$
在$\mathrm{Rt}△ OEC$中，由勾股定理$OE^2 + CE^2 = OC^2$，代入得：
$(4-r)^2 + 2^2 = r^2$
展开化简得$20 -8r = 0$，解得$r=\frac{5}{2}$
因此直径$AB=2r=2×\frac{5}{2}=5$。
(2) $\because AB$是直径，$CD ⊥ AB$，由垂径定理可知AB平分弧CD，即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此：
$∠ BOC = 2∠ BCD = 2×36° =72°$
已知半径$OB=6$，代入弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，得：
$\overset{\frown}{BC}$的长度$=\frac{72π × 6}{180} = \frac{12}{5}π$
【答案】
(1) $AB=5$；(2) $\overset{\frown}{BC}$的长度为$\frac{12}{5}π$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弧长计算公式
【点评】
本题是圆章节的基础常规考题，核心考察垂径定理的应用，第一问通过连半径构造直角三角形，结合勾股定理求解半径是垂径定理相关题型的经典解法；第二问结合圆周角和圆心角的倍数关系，代入弧长公式计算，整体难度不大，学生熟练掌握圆的基础定理，理清各条件之间的关联即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
