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12. 已知 $P=\dfrac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}-mn} ÷ (m+\dfrac{2mn+n^{2}}{m}).$
(1)化简 $P$；
(2)若函数 $y=3x^{m+n}$ 为反比例函数,求 $P$ 的值.
(1)化简 $P$；
(2)若函数 $y=3x^{m+n}$ 为反比例函数,求 $P$ 的值.
答案
12. 解: ( 1 ) $P=\dfrac{m^2-n^2}{m^2-mn}÷(m+\dfrac{2mn+n^2}{m})=\dfrac{(m+n)(m-n)}{m(m-n)}÷\dfrac{m^2+2mn+n^2}{m}=\dfrac{m+n}{m}÷\dfrac{(m+n)^2}{m}=\dfrac{m+n}{m}·\dfrac{m}{(m+n)^2}=\dfrac{1}{m+n}$.
(2)$\because$函数$y=3x^{m+n}$为反比例函数，$\therefore m+n=-1$，$\therefore P=\dfrac{1}{-1}=-1$.
(2)$\because$函数$y=3x^{m+n}$为反比例函数，$\therefore m+n=-1$，$\therefore P=\dfrac{1}{-1}=-1$.
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问是分式化简，思考时可以按顺序分步处理：首先对参与运算的各部分分别变形，先利用平方差公式分解第一个分式的分子、提取公因式处理它的分母，再对括号内的整式和分式做通分合并，将括号内的式子整理为单个分式，接着把分式除法转化为乘法运算，最后约去公因式得到最简结果，过程中要注意保证所有分母不为0，让分式有意义。第二问结合反比例函数的定义，反比例函数的自变量次数固定为-1，可直接得到m+n的整体取值，代入第一问已经化简好的P的最简式就能算出结果，不需要单独求m、n各自的数值，简化计算。
【解析】
(1) 化简P：
① 对第一个分式的分子分母因式分解：
分子$m^2-n^2$由平方差公式分解为$(m+n)(m-n)$，分母$m^2-mn$提取公因式$m$得$m(m-n)$，因此第一个分式可改写为$\dfrac{(m+n)(m-n)}{m(m-n)}$。
② 处理括号内的运算：
将括号内的$m$通分为分母为$m$的分式，即$m=\dfrac{m^2}{m}$，合并后可得：
$m+\dfrac{2mn+n^2}{m}=\dfrac{m^2}{m}+\dfrac{2mn+n^2}{m}=\dfrac{m^2+2mn+n^2}{m}$，其中分子$m^2+2mn+n^2$由完全平方公式分解为$(m+n)^2$，即括号内最终结果为$\dfrac{(m+n)^2}{m}$。
③ 将除法转化为乘法并约分：
$P=\dfrac{(m+n)(m-n)}{m(m-n)} ÷ \dfrac{(m+n)^2}{m} = \dfrac{m+n}{m} × \dfrac{m}{(m+n)^2}$，约去分子分母的公因式$m$和$(m+n)$，得到最简结果$P=\dfrac{1}{m+n}$。
(2) 求P的值：
根据反比例函数的定义，形如$y=kx^{-1}(k≠0)$的函数为反比例函数，因此函数$y=3x^{m+n}$为反比例函数时，自变量的指数满足$m+n=-1$。
将$m+n=-1$代入化简后的$P=\dfrac{1}{m+n}$，得$P=\dfrac{1}{-1}=-1$。
【答案】
(1) $P=\dfrac{1}{m+n}$；(2) $P=-1$
【知识点】
分式化简，反比例函数定义
【点评】
本题属于分式运算和反比例函数性质的综合基础题，核心考点是熟练掌握因式分解的平方差、完全平方公式，以及分式通分约分的运算规则，第二问采用整体代入的思路可以跳过求m、n单独值的步骤，大幅简化运算，解题时要注意化简过程中隐含的分母不为零的限制条件，避免出现无意义的运算错误。
【难度系数】
0.8
这道题分为两小问，第一问是分式化简，思考时可以按顺序分步处理：首先对参与运算的各部分分别变形，先利用平方差公式分解第一个分式的分子、提取公因式处理它的分母，再对括号内的整式和分式做通分合并，将括号内的式子整理为单个分式，接着把分式除法转化为乘法运算，最后约去公因式得到最简结果，过程中要注意保证所有分母不为0，让分式有意义。第二问结合反比例函数的定义，反比例函数的自变量次数固定为-1，可直接得到m+n的整体取值，代入第一问已经化简好的P的最简式就能算出结果，不需要单独求m、n各自的数值，简化计算。
【解析】
(1) 化简P：
① 对第一个分式的分子分母因式分解：
分子$m^2-n^2$由平方差公式分解为$(m+n)(m-n)$，分母$m^2-mn$提取公因式$m$得$m(m-n)$，因此第一个分式可改写为$\dfrac{(m+n)(m-n)}{m(m-n)}$。
② 处理括号内的运算：
将括号内的$m$通分为分母为$m$的分式，即$m=\dfrac{m^2}{m}$，合并后可得：
$m+\dfrac{2mn+n^2}{m}=\dfrac{m^2}{m}+\dfrac{2mn+n^2}{m}=\dfrac{m^2+2mn+n^2}{m}$，其中分子$m^2+2mn+n^2$由完全平方公式分解为$(m+n)^2$，即括号内最终结果为$\dfrac{(m+n)^2}{m}$。
③ 将除法转化为乘法并约分：
$P=\dfrac{(m+n)(m-n)}{m(m-n)} ÷ \dfrac{(m+n)^2}{m} = \dfrac{m+n}{m} × \dfrac{m}{(m+n)^2}$，约去分子分母的公因式$m$和$(m+n)$，得到最简结果$P=\dfrac{1}{m+n}$。
(2) 求P的值：
根据反比例函数的定义，形如$y=kx^{-1}(k≠0)$的函数为反比例函数，因此函数$y=3x^{m+n}$为反比例函数时，自变量的指数满足$m+n=-1$。
将$m+n=-1$代入化简后的$P=\dfrac{1}{m+n}$，得$P=\dfrac{1}{-1}=-1$。
【答案】
(1) $P=\dfrac{1}{m+n}$；(2) $P=-1$
【知识点】
分式化简，反比例函数定义
【点评】
本题属于分式运算和反比例函数性质的综合基础题，核心考点是熟练掌握因式分解的平方差、完全平方公式，以及分式通分约分的运算规则，第二问采用整体代入的思路可以跳过求m、n单独值的步骤，大幅简化运算，解题时要注意化简过程中隐含的分母不为零的限制条件，避免出现无意义的运算错误。
【难度系数】
0.8
13. 如图,科技小组准备用材料围建一个面积为 $60\ \mathrm{m}^2$ 的矩形科技园 $ABCD$,其中一边 $AB$ 靠墙,墙长为 $12\ \mathrm{m}$. 设 $AD$ 的长为 $x\ \mathrm{m}$,$DC$ 的长为 $y\ \mathrm{m}$.
(1)求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式.(不需要写自变量的取值范围)
(2)根据实际情况,$AD$ 的长能否为 $4\ \mathrm{m}$? 若能,求出 $y$ 的值;若不能,请说明理由.
(3)若围成矩形科技园 $ABCD$ 的三边材料总长不超过 $26\ \mathrm{m}$,材料 $AD$ 和 $DC$ 的长都是整数,求出满足条件的所有围建方案.
(1)求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式.(不需要写自变量的取值范围)
(2)根据实际情况,$AD$ 的长能否为 $4\ \mathrm{m}$? 若能,求出 $y$ 的值;若不能,请说明理由.
(3)若围成矩形科技园 $ABCD$ 的三边材料总长不超过 $26\ \mathrm{m}$,材料 $AD$ 和 $DC$ 的长都是整数,求出满足条件的所有围建方案.
答案
解：
(1) 由矩形面积公式得 $xy=60$，
因此 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=\dfrac{60}{x}$。
(2) 不能，理由如下：
若 $AD=x=4\ \mathrm{m}$，代入 $y=\dfrac{60}{x}$，得 $y=15\ \mathrm{m}$，
由墙长限制可知 $DC=AB ≤ 12\ \mathrm{m}$，$15＞12$，不符合实际要求，
因此 $AD$ 的长不能为 $4\ \mathrm{m}$。
(3) 根据题意列不等式组：
$\begin{cases} y=\dfrac{60}{x} ≤ 12 \\ 2x + y ≤ 26 \end{cases}$
且 $x,y$ 均为正整数。
由 $\dfrac{60}{x} ≤ 12$ 得 $x ≥ 5$，
结合 $y=\dfrac{60}{x}$ 为正整数，可知 $x$ 是60的不小于5的正整数因数，逐一验证得符合条件的取值为：
当 $x=5$ 时，$y=12$，$2×5+12=22≤26$，符合要求；
当 $x=6$ 时，$y=10$，$2×6+10=22≤26$，符合要求；
当 $x=10$ 时，$y=6$，$2×10+6=26≤26$，符合要求。
答：满足条件的围建方案共3种：①AD长5m，DC长12m；②AD长6m，DC长10m；③AD长10m，DC长6m。
(1) 由矩形面积公式得 $xy=60$，
因此 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=\dfrac{60}{x}$。
(2) 不能，理由如下：
若 $AD=x=4\ \mathrm{m}$，代入 $y=\dfrac{60}{x}$，得 $y=15\ \mathrm{m}$，
由墙长限制可知 $DC=AB ≤ 12\ \mathrm{m}$，$15＞12$，不符合实际要求，
因此 $AD$ 的长不能为 $4\ \mathrm{m}$。
(3) 根据题意列不等式组：
$\begin{cases} y=\dfrac{60}{x} ≤ 12 \\ 2x + y ≤ 26 \end{cases}$
且 $x,y$ 均为正整数。
由 $\dfrac{60}{x} ≤ 12$ 得 $x ≥ 5$，
结合 $y=\dfrac{60}{x}$ 为正整数，可知 $x$ 是60的不小于5的正整数因数，逐一验证得符合条件的取值为：
当 $x=5$ 时，$y=12$，$2×5+12=22≤26$，符合要求；
当 $x=6$ 时，$y=10$，$2×6+10=22≤26$，符合要求；
当 $x=10$ 时，$y=6$，$2×10+6=26≤26$，符合要求。
答：满足条件的围建方案共3种：①AD长5m，DC长12m；②AD长6m，DC长10m；③AD长10m，DC长6m。
解析
【分析】
这道题是结合实际场景的反比例函数应用问题，解题思路可以分三步推进：
1. 第一问直接利用矩形的面积公式，已知面积为60㎡，两边长分别为x和y，直接建立等式变形就能得到y和x的函数关系。
2. 第二问采用验证思路，先假设AD长为4m，代入第一问得到的函数算出对应的DC长度，再对照墙长最大12m的实际限制，判断得到的DC长度是否符合要求，就能得出结论。
3. 第三问需要结合两个实际约束条件：一是平行于墙的DC长度不能超过墙长12m，二是三边材料总长度不超过26m，同时x、y都要是正整数。先从y≤12推导得到x的取值下限，再结合y=60/x为正整数，说明x是60的正因数，逐一筛选符合2x+y≤26的组合，就能得到所有合法的围建方案。
【解析】
(1) 已知矩形科技园ABCD的面积为60㎡，AD=x m，DC=y m，根据矩形面积公式：
$S_{矩形}=AD × DC = xy = 60$
变形可得y与x的函数表达式为：$y=\dfrac{60}{x}$。
(2) AD的长不能为4m，理由如下：
若AD=x=4m，将x=4代入$y=\dfrac{60}{x}$，可得$y=\dfrac{60}{4}=15$ m。
由题意可知AB边靠墙，AB=DC=y，墙的总长度仅为12m，15＞12，超出了墙的长度限制，不符合实际施工要求，因此AD的长不能为4m。
(3) 根据题意列出约束条件：
$\begin{cases} y=\dfrac{60}{x} ≤ 12 \\ 2x + y ≤ 26 \end{cases}$，且x、y均为正整数。
首先解第一个不等式$\dfrac{60}{x} ≤ 12$，由于x是边长为正数，两边乘x不等号方向不变，得$60 ≤ 12x$，解得$x ≥ 5$。
又因为$y=\dfrac{60}{x}$是正整数，说明x是60的正因数，且x≥5，逐一代入验证第二个不等式2x+y≤26：
当x=5时，$y=\dfrac{60}{5}=12$，$2×5+12=22 ≤ 26$，符合条件；
当x=6时，$y=\dfrac{60}{6}=10$，$2×6+10=22 ≤ 26$，符合条件；
当x=10时，$y=\dfrac{60}{10}=6$，$2×10+6=26 ≤ 26$，符合条件；
其余x≥12的候选值代入后均不满足2x+y≤26的要求，因此符合要求的围建方案共3种。
【答案】
(1) $y=\dfrac{60}{x}$
(2) 不能，若AD为4m，算出DC长15m，超过墙长12m，不符合实际要求
(3) 共3种围建方案：①AD长5m，DC长12m；②AD长6m，DC长10m；③AD长10m，DC长6m
【知识点】
反比例函数实际应用，矩形面积计算，不等式组整数解
【点评】
本题是典型的结合实际约束的反比例函数应用题，核心易错点是容易忽略墙长对DC边长的限制，以及边长必须为正整数的条件，解题时要逐一对应所有实际约束筛选合法解，避免漏解或者得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
这道题是结合实际场景的反比例函数应用问题，解题思路可以分三步推进：
1. 第一问直接利用矩形的面积公式，已知面积为60㎡，两边长分别为x和y，直接建立等式变形就能得到y和x的函数关系。
2. 第二问采用验证思路，先假设AD长为4m，代入第一问得到的函数算出对应的DC长度，再对照墙长最大12m的实际限制，判断得到的DC长度是否符合要求，就能得出结论。
3. 第三问需要结合两个实际约束条件：一是平行于墙的DC长度不能超过墙长12m，二是三边材料总长度不超过26m，同时x、y都要是正整数。先从y≤12推导得到x的取值下限，再结合y=60/x为正整数，说明x是60的正因数，逐一筛选符合2x+y≤26的组合，就能得到所有合法的围建方案。
【解析】
(1) 已知矩形科技园ABCD的面积为60㎡，AD=x m，DC=y m，根据矩形面积公式：
$S_{矩形}=AD × DC = xy = 60$
变形可得y与x的函数表达式为：$y=\dfrac{60}{x}$。
(2) AD的长不能为4m，理由如下：
若AD=x=4m，将x=4代入$y=\dfrac{60}{x}$，可得$y=\dfrac{60}{4}=15$ m。
由题意可知AB边靠墙，AB=DC=y，墙的总长度仅为12m，15＞12，超出了墙的长度限制，不符合实际施工要求，因此AD的长不能为4m。
(3) 根据题意列出约束条件：
$\begin{cases} y=\dfrac{60}{x} ≤ 12 \\ 2x + y ≤ 26 \end{cases}$，且x、y均为正整数。
首先解第一个不等式$\dfrac{60}{x} ≤ 12$，由于x是边长为正数，两边乘x不等号方向不变，得$60 ≤ 12x$，解得$x ≥ 5$。
又因为$y=\dfrac{60}{x}$是正整数，说明x是60的正因数，且x≥5，逐一代入验证第二个不等式2x+y≤26：
当x=5时，$y=\dfrac{60}{5}=12$，$2×5+12=22 ≤ 26$，符合条件；
当x=6时，$y=\dfrac{60}{6}=10$，$2×6+10=22 ≤ 26$，符合条件；
当x=10时，$y=\dfrac{60}{10}=6$，$2×10+6=26 ≤ 26$，符合条件；
其余x≥12的候选值代入后均不满足2x+y≤26的要求，因此符合要求的围建方案共3种。
【答案】
(1) $y=\dfrac{60}{x}$
(2) 不能，若AD为4m，算出DC长15m，超过墙长12m，不符合实际要求
(3) 共3种围建方案：①AD长5m，DC长12m；②AD长6m，DC长10m；③AD长10m，DC长6m
【知识点】
反比例函数实际应用，矩形面积计算，不等式组整数解
【点评】
本题是典型的结合实际约束的反比例函数应用题，核心易错点是容易忽略墙长对DC边长的限制，以及边长必须为正整数的条件，解题时要逐一对应所有实际约束筛选合法解，避免漏解或者得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
