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3. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y=\frac{1}{2}x + 2$的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，与直线OC相交于第二象限，交点为C，且点C的纵坐标为1.
（1）点A的坐标为________，点B的坐标为________；
（2）D为直线$y=\frac{1}{2}x + 2$上一点，且点D在第一象限.若$△ OCD$的面积与$△ ABO$的面积相等，求直线OD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，P为线段CD上一点，过点P作y轴的平行线，与直线OD、直线OC分别相交于E，F两点.若$PE = 2EF$，求点P的坐标.
（1）点A的坐标为________，点B的坐标为________；
（2）D为直线$y=\frac{1}{2}x + 2$上一点，且点D在第一象限.若$△ OCD$的面积与$△ ABO$的面积相等，求直线OD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，P为线段CD上一点，过点P作y轴的平行线，与直线OD、直线OC分别相交于E，F两点.若$PE = 2EF$，求点P的坐标.
答案
(1) $ (-4,0) \quad (0,2) $ 解析: 对于 $ y=\dfrac{1}{2}x+2 $, 令 $ y=0 $, 得 $ \dfrac{1}{2}x+2=0 $, 解得 $ x=-4 $; 令 $ x=0 $ 时, 得 $ y=2 $, 所以 $ A(-4,0) $, $ B(0,2) $.
(2) 对于 $ y=\dfrac{1}{2}x+2 $, 令 $ y=1 $, 得 $ 1=\dfrac{1}{2}x+2 $, 解得 $ x=-2 $, 所以 $ C(-2,1) $. 设 $ D(m,\dfrac{1}{2}m+2) $. 由(1), 得 $ A(-4,0) $, $ B(0,2) $, 所以 $ OA=4 $, $ OB=2 $. 因为 $ △ OCD $ 的面积与 $ △ ABO $ 的面积相等, 且 $ S_{△ ABO}=\dfrac{1}{2}OA· OB=4 $, $ S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}OB·(|x_D|+|x_C|) $, 所以 $ \dfrac{1}{2}×2×(m+2)=4 $, 解得 $ m=2 $. 所以 $ D(2,3) $. 设直线 $ OD $ 的函数表达式为 $ y=kx $. 将 $ D(2,3) $ 代入, 得 $ 3=2k $, 解得 $ k=\dfrac{3}{2} $. 所以直线 $ OD $ 的函数表达式为 $ y=\dfrac{3}{2}x $.
(3) 由(2), 得 $ C(-2,1) $, $ D(2,3) $, 直线 $ OD $ 的函数表达式为 $ y=\dfrac{3}{2}x $. 设直线 $ OC $ 的函数表达式为 $ y=k'x $. 将 $ C(-2,1) $ 代入, 得 $ 1=-2k' $, 解得 $ k'=-\dfrac{1}{2} $. 所以直线 $ OC $ 的函数表达式为 $ y=-\dfrac{1}{2}x $. 设 $ P(n,\dfrac{1}{2}n+2)\ (-2≤ n≤ 2) $, 则 $ E(n,\dfrac{3}{2}n) $, $ F(n,-\dfrac{1}{2}n) $. 所以 $ PE=\dfrac{1}{2}n+2-\dfrac{3}{2}n=-n+2 $, $ EF=\left|\dfrac{3}{2}n-(-\dfrac{1}{2}n)\right|=|2n| $. 因为 $ PE=2EF $, 所以 $ -n+2=2|2n| $, 解得 $ n=\dfrac{2}{5} $ 或 $ n=-\dfrac{2}{3} $. 所以点 $ P $ 的坐标为 $ (\dfrac{2}{5},\dfrac{11}{5}) $ 或 $ (-\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{3}) $.
(2) 对于 $ y=\dfrac{1}{2}x+2 $, 令 $ y=1 $, 得 $ 1=\dfrac{1}{2}x+2 $, 解得 $ x=-2 $, 所以 $ C(-2,1) $. 设 $ D(m,\dfrac{1}{2}m+2) $. 由(1), 得 $ A(-4,0) $, $ B(0,2) $, 所以 $ OA=4 $, $ OB=2 $. 因为 $ △ OCD $ 的面积与 $ △ ABO $ 的面积相等, 且 $ S_{△ ABO}=\dfrac{1}{2}OA· OB=4 $, $ S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}OB·(|x_D|+|x_C|) $, 所以 $ \dfrac{1}{2}×2×(m+2)=4 $, 解得 $ m=2 $. 所以 $ D(2,3) $. 设直线 $ OD $ 的函数表达式为 $ y=kx $. 将 $ D(2,3) $ 代入, 得 $ 3=2k $, 解得 $ k=\dfrac{3}{2} $. 所以直线 $ OD $ 的函数表达式为 $ y=\dfrac{3}{2}x $.
(3) 由(2), 得 $ C(-2,1) $, $ D(2,3) $, 直线 $ OD $ 的函数表达式为 $ y=\dfrac{3}{2}x $. 设直线 $ OC $ 的函数表达式为 $ y=k'x $. 将 $ C(-2,1) $ 代入, 得 $ 1=-2k' $, 解得 $ k'=-\dfrac{1}{2} $. 所以直线 $ OC $ 的函数表达式为 $ y=-\dfrac{1}{2}x $. 设 $ P(n,\dfrac{1}{2}n+2)\ (-2≤ n≤ 2) $, 则 $ E(n,\dfrac{3}{2}n) $, $ F(n,-\dfrac{1}{2}n) $. 所以 $ PE=\dfrac{1}{2}n+2-\dfrac{3}{2}n=-n+2 $, $ EF=\left|\dfrac{3}{2}n-(-\dfrac{1}{2}n)\right|=|2n| $. 因为 $ PE=2EF $, 所以 $ -n+2=2|2n| $, 解得 $ n=\dfrac{2}{5} $ 或 $ n=-\dfrac{2}{3} $. 所以点 $ P $ 的坐标为 $ (\dfrac{2}{5},\dfrac{11}{5}) $ 或 $ (-\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{3}) $.
4. 如图,正方形 ABOD 的边长是 2, C 为 AB 的中点,直线 CD 交 x 轴于点 F.
(1) 求直线 CD 对应的函数表达式;
(2) 在 x 轴上取一点 E,连接 CE, DE,使$∠ 1=∠ 2$.求证:$EC ⊥ CD$;
(3) 在(2)的条件下,求点 E 的坐标.
(1) 求直线 CD 对应的函数表达式;
(2) 在 x 轴上取一点 E,连接 CE, DE,使$∠ 1=∠ 2$.求证:$EC ⊥ CD$;
(3) 在(2)的条件下,求点 E 的坐标.
答案
(1) 由题意,得 $ C,D $ 两点的坐标分别为 $ (-2,1),(0,2) $. 设直线 $ CD $ 对应的函数表达式为 $ y=kx+b $. 把 $ C(-2,1),D(0,2) $ 分别代入,得 $\begin{cases}-2k+b=1,\\b=2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\dfrac{1}{2},\\b=2.\end{cases}$ 则直线 $ CD $ 对应的函数表达式为 $ y=\dfrac{1}{2}x+2. $
(2) 由(1), 得直线 $ CD $ 的函数表达式为 $ y=\dfrac{1}{2}x+2 $. 令 $ y=0 $, 得 $ \dfrac{1}{2}x+2=0 $, 解得 $ x=-4 $. 所以 $ F(-4,0) $, 即 $ OF=4 $. 因为四边形 $ ABOD $ 是边长为 2 的正方形, 所以 $ AD=BO=OD=2 $, $ ∠ A=∠ ABO=90° $. 所以 $ ∠ FBC=180°-∠ ABO=90° $, $ BF=OF-OB=2 $, 即 $ ∠ FBC=∠ A $, $ BF=AD $. 又 $ C $ 为 $ AB $ 的中点, 所以 $ AC=BC $. 所以 $ △ BCF≌△ ACD $ (SAS). 所以 $ CF=CD $, $ ∠ BFC=∠ 1 $. 又 $ ∠ 1=∠ 2 $, 所以 $ ∠ 2=∠ BFC $. 所以 $ DE=FE $. 所以 $ EC⊥ CD $.
(3) 由(2), 得 $ OF=4 $, $ OD=2 $, $ FE=DE $. 设 $ OE=t $, 则 $ DE=FE=4-t $. 又 $ DE^2=OD^2+OE^2 $, 所以 $ (4-t)^2=4+t^2 $, 解得 $ t=\dfrac{3}{2} $. 则 $ E(-\dfrac{3}{2},0) $.
(2) 由(1), 得直线 $ CD $ 的函数表达式为 $ y=\dfrac{1}{2}x+2 $. 令 $ y=0 $, 得 $ \dfrac{1}{2}x+2=0 $, 解得 $ x=-4 $. 所以 $ F(-4,0) $, 即 $ OF=4 $. 因为四边形 $ ABOD $ 是边长为 2 的正方形, 所以 $ AD=BO=OD=2 $, $ ∠ A=∠ ABO=90° $. 所以 $ ∠ FBC=180°-∠ ABO=90° $, $ BF=OF-OB=2 $, 即 $ ∠ FBC=∠ A $, $ BF=AD $. 又 $ C $ 为 $ AB $ 的中点, 所以 $ AC=BC $. 所以 $ △ BCF≌△ ACD $ (SAS). 所以 $ CF=CD $, $ ∠ BFC=∠ 1 $. 又 $ ∠ 1=∠ 2 $, 所以 $ ∠ 2=∠ BFC $. 所以 $ DE=FE $. 所以 $ EC⊥ CD $.
(3) 由(2), 得 $ OF=4 $, $ OD=2 $, $ FE=DE $. 设 $ OE=t $, 则 $ DE=FE=4-t $. 又 $ DE^2=OD^2+OE^2 $, 所以 $ (4-t)^2=4+t^2 $, 解得 $ t=\dfrac{3}{2} $. 则 $ E(-\dfrac{3}{2},0) $.
5. 如图,正比例函数 $y=k_1x$ 和一次函数 $y=k_2x + b$ 的图象交于点 $A(-3,4)$,且 $OB=\frac{3}{5}OA$.
(1) 求正比例函数和一次函数的表达式;
(2) 求 $△ AOB$ 的面积和周长.
(1) 求正比例函数和一次函数的表达式;
(2) 求 $△ AOB$ 的面积和周长.
答案
(1) 因为 $ A(-3,4) $, 所以 $ OA=\sqrt{3^2+4^2}=5 $. 又 $ OB=\dfrac{3}{5}OA $, 所以 $ OB=3 $. 所以 $ B(3,0) $. 把 $ A(-3,4) $ 代入 $ y=k_1x $ 中, 得 $ -3k_1=4 $, 解得 $ k_1=-\dfrac{4}{3} $. 所以正比例函数的表达式为 $ y=-\dfrac{4}{3}x $. 把 $ A(-3,4),B(3,0) $ 两点分别代入 $ y=k_2x+b $, 得 $\begin{cases}-3k_2+b=4,\\3k_2+b=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_2=-\dfrac{2}{3},\\b=2.\end{cases}$ 所以一次函数的表达式为 $ y=-\dfrac{2}{3}x+2. $
(2) 由(1), 得 $ B(3,0) $, $ OA=5 $, $ OB=3 $. 又 $ A(-3,4) $, 所以 $ AB=\sqrt{(-3-3)^2+4^2}=\sqrt{52} $, $ S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OB· y_A=6 $. 所以 $ C_{△ AOB}=OA+OB+AB=8+\sqrt{52} $.
(2) 由(1), 得 $ B(3,0) $, $ OA=5 $, $ OB=3 $. 又 $ A(-3,4) $, 所以 $ AB=\sqrt{(-3-3)^2+4^2}=\sqrt{52} $, $ S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OB· y_A=6 $. 所以 $ C_{△ AOB}=OA+OB+AB=8+\sqrt{52} $.
