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8. 若$(x+1)(x^2 - 3ax + a)$的乘积中不含$x^2$项，则常数$a$的值为（
A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$-3$
D.$3$
B
）A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$-3$
D.$3$
答案
8.B
解析
【分析】要解决本题，需先利用多项式乘多项式法则展开式子，再合并同类项，根据“乘积中不含$x^2$项”可知$x^2$项的系数为0，据此列出关于$a$的方程，求解即可得到$a$的值。
【解析】先根据多项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}(x+1)(x^2 - 3ax + a)&=x· x^2 + x·(-3ax) + x· a + 1· x^2 + 1·(-3ax) + 1· a\\&=x^3 - 3ax^2 + ax + x^2 - 3ax + a\end{aligned}$
合并同类项整理得：
$x^3 + (1 - 3a)x^2 - 2ax + a$
因为乘积中不含$x^2$项，所以$x^2$项的系数为0，即：
$1 - 3a = 0$
解得：$a = \frac{1}{3}$
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式、合并同类项
【点评】本题考查整式乘法的基础应用，核心是掌握多项式乘多项式的展开规则及“不含某一项则该项系数为0”的条件，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】先根据多项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}(x+1)(x^2 - 3ax + a)&=x· x^2 + x·(-3ax) + x· a + 1· x^2 + 1·(-3ax) + 1· a\\&=x^3 - 3ax^2 + ax + x^2 - 3ax + a\end{aligned}$
合并同类项整理得：
$x^3 + (1 - 3a)x^2 - 2ax + a$
因为乘积中不含$x^2$项，所以$x^2$项的系数为0，即：
$1 - 3a = 0$
解得：$a = \frac{1}{3}$
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式、合并同类项
【点评】本题考查整式乘法的基础应用，核心是掌握多项式乘多项式的展开规则及“不含某一项则该项系数为0”的条件，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
9. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{3x - a}{x^2 - 2x} + \frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x}$ 有增根，则实数 $ a $ 的取值是
（
A.4或8
B.4
C.8
D.0或2
（
A
）A.4或8
B.4
C.8
D.0或2
答案
9.A
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确分式方程增根的定义：增根是分式方程去分母后转化为整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0，因此需先确定原方程的可能增根，再通过去分母将分式方程转化为整式方程，最后将增根代入整式方程即可求出参数a的值。
【解析】
解：原分式方程的分母为$x^2 - 2x = x(x - 2)$、$x - 2$、$x$，则最简公分母为$x(x - 2)$，分式方程的增根是使分母为0的根，即增根可能为$x=0$或$x=2$。
给方程两边同乘最简公分母$x(x - 2)$去分母，得：
$3x - a + x = 2(x - 2)$
整理整式方程：
$4x - a = 2x - 4$
移项化简得：$2x = a - 4$，即$x = \frac{a - 4}{2}$
将增根$x=0$代入$x = \frac{a - 4}{2}$，得：$0 = \frac{a - 4}{2}$，解得$a=4$；
将增根$x=2$代入$x = \frac{a - 4}{2}$，得：$2 = \frac{a - 4}{2}$，解得$a=8$；
综上，实数$a$的取值是4或8，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根、解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是掌握增根的性质：增根使原分式方程分母为0，且是去分母后整式方程的根，解题关键是准确确定增根并代入整式方程计算，属于中等难度的基础题型。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先明确分式方程增根的定义：增根是分式方程去分母后转化为整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0，因此需先确定原方程的可能增根，再通过去分母将分式方程转化为整式方程，最后将增根代入整式方程即可求出参数a的值。
【解析】
解：原分式方程的分母为$x^2 - 2x = x(x - 2)$、$x - 2$、$x$，则最简公分母为$x(x - 2)$，分式方程的增根是使分母为0的根，即增根可能为$x=0$或$x=2$。
给方程两边同乘最简公分母$x(x - 2)$去分母，得：
$3x - a + x = 2(x - 2)$
整理整式方程：
$4x - a = 2x - 4$
移项化简得：$2x = a - 4$，即$x = \frac{a - 4}{2}$
将增根$x=0$代入$x = \frac{a - 4}{2}$，得：$0 = \frac{a - 4}{2}$，解得$a=4$；
将增根$x=2$代入$x = \frac{a - 4}{2}$，得：$2 = \frac{a - 4}{2}$，解得$a=8$；
综上，实数$a$的取值是4或8，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根、解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是掌握增根的性质：增根使原分式方程分母为0，且是去分母后整式方程的根，解题关键是准确确定增根并代入整式方程计算，属于中等难度的基础题型。
【难度系数】
0.5
10. 如图1,图形A、图形B是两张完全相同的长方形纸片,先后按图2、图3的方式放置在同一个正方形中.若知道图形②与图形⑤的面积差,则一定能求出
（
）
A.图形①与图形②的周长和
B.图形④与图形⑥的周长和
C.图形①与图形②的周长差
D.图形④与图形⑥的周长差
（
）A.图形①与图形②的周长和
B.图形④与图形⑥的周长和
C.图形①与图形②的周长差
D.图形④与图形⑥的周长差
答案
10.D
【解析】设长方形较长的一边为x,较短的一边为y,正方形的边长为a,
图形②的面积=(2x−a)(2y−a)=4xy−2ax−2ay+a²,
图形⑤的面积=(x+y−a)(x+y−a)=x²+y²+2xy+a²−2ax−2ay,
∴图形②与图形⑤的面积差=(4xy−2ax−2ay+a²)−(x²+y²+2xy+a²−2ax−2ay)=−(x²+y²−2xy)=−(x−y)²,
图形①的周长=2(a−x+a−y)=4a−2x−2y,
图形②的周长=2(2x−a+2y−a)=4x+4y−4a,
∴图形①与图形②的周长和为4a−2x−2y+4x+4y−4a=2x+2y,故选项A错误;
图形①与图形②的周长差为4a−2x−2y−(4x+4y−4a)=8a−6x−6y,故选项C错误;
图形④的周长=4(a−x)=4a−4x,
图形⑥的周长=4(a−y)=4a−4y,
∴图形④与图形⑥的周长和为4a−4x+(4a−4y)=8a−4x−4y,故选项B错误;
图形④与图形⑥的周长差为4a−4x−(4a−4y)=4y−4x,若知道图形②与图形⑤的面积差,则一定能求出图形④与图形⑥的周长差,故选项D正确;
故选:D.
【解析】设长方形较长的一边为x,较短的一边为y,正方形的边长为a,
图形②的面积=(2x−a)(2y−a)=4xy−2ax−2ay+a²,
图形⑤的面积=(x+y−a)(x+y−a)=x²+y²+2xy+a²−2ax−2ay,
∴图形②与图形⑤的面积差=(4xy−2ax−2ay+a²)−(x²+y²+2xy+a²−2ax−2ay)=−(x²+y²−2xy)=−(x−y)²,
图形①的周长=2(a−x+a−y)=4a−2x−2y,
图形②的周长=2(2x−a+2y−a)=4x+4y−4a,
∴图形①与图形②的周长和为4a−2x−2y+4x+4y−4a=2x+2y,故选项A错误;
图形①与图形②的周长差为4a−2x−2y−(4x+4y−4a)=8a−6x−6y,故选项C错误;
图形④的周长=4(a−x)=4a−4x,
图形⑥的周长=4(a−y)=4a−4y,
∴图形④与图形⑥的周长和为4a−4x+(4a−4y)=8a−4x−4y,故选项B错误;
图形④与图形⑥的周长差为4a−4x−(4a−4y)=4y−4x,若知道图形②与图形⑤的面积差,则一定能求出图形④与图形⑥的周长差,故选项D正确;
故选:D.
解析
【分析】
要解决本题，首先设长方形A、B的长为x，宽为y，正方形的边长为a。先根据图2、图3中图形②和⑤的边长表示出它们的面积，计算面积差，得出面积差与$(x-y)^2$相关；再分别表示各选项对应的周长和或差，判断哪个能由已知的面积差求出。
【解析】
设长方形A、B的长为$x$，宽为$y$，正方形的边长为$a$。
1. 计算图形②与图形⑤的面积差：
图形②的长为$2x - a$，宽为$2y - a$，面积为$(2x - a)(2y - a) = 4xy - 2ax - 2ay + a^2$；
图形⑤是边长为$(x + y - a)$的正方形，面积为$(x + y - a)^2 = x^2 + y^2 + 2xy + a^2 - 2ax - 2ay$；
两者的面积差为：
$(4xy - 2ax - 2ay + a^2) - (x^2 + y^2 + 2xy + a^2 - 2ax - 2ay) = 2xy - x^2 - y^2 = -(x - y)^2$，即面积差与$(x - y)^2$有关。
2. 分析各选项：
选项A：图形①的周长为$2[(a - x) + (a - y)] = 4a - 2x - 2y$；图形②的周长为$2[(2x - a) + (2y - a)] = 4x + 4y - 4a$；周长和为$(4a - 2x - 2y) + (4x + 4y - 4a) = 2x + 2y$，无法由$(x - y)$求出，A错误。
选项B：图形④的周长为$4(a - x)$，图形⑥的周长为$4(a - y)$，周长和为$4(a - x) + 4(a - y) = 8a - 4x - 4y$，无法由$(x - y)$求出，B错误。
选项C：图形①与②的周长差为$(4a - 2x - 2y) - (4x + 4y - 4a) = 8a - 6x - 6y$，无法由$(x - y)$求出，C错误。
选项D：图形④与⑥的周长差为$4(a - x) - 4(a - y) = 4y - 4x = -4(x - y)$，已知面积差是$-(x - y)^2$，可由面积差求出$(x - y)$，进而能求出周长差，D正确。
【答案】
D
【知识点】
整式的加减、长方形与正方形的面积周长
【点评】
本题通过设参数表示图形边长，利用整式运算推导面积差与周长表达式的关系，关键在于找到面积差对应的$(x - y)$，再匹配选项的表达式，考查代数运算的应用能力。
【难度系数】
0.4
要解决本题，首先设长方形A、B的长为x，宽为y，正方形的边长为a。先根据图2、图3中图形②和⑤的边长表示出它们的面积，计算面积差，得出面积差与$(x-y)^2$相关；再分别表示各选项对应的周长和或差，判断哪个能由已知的面积差求出。
【解析】
设长方形A、B的长为$x$，宽为$y$，正方形的边长为$a$。
1. 计算图形②与图形⑤的面积差：
图形②的长为$2x - a$，宽为$2y - a$，面积为$(2x - a)(2y - a) = 4xy - 2ax - 2ay + a^2$；
图形⑤是边长为$(x + y - a)$的正方形，面积为$(x + y - a)^2 = x^2 + y^2 + 2xy + a^2 - 2ax - 2ay$；
两者的面积差为：
$(4xy - 2ax - 2ay + a^2) - (x^2 + y^2 + 2xy + a^2 - 2ax - 2ay) = 2xy - x^2 - y^2 = -(x - y)^2$，即面积差与$(x - y)^2$有关。
2. 分析各选项：
选项A：图形①的周长为$2[(a - x) + (a - y)] = 4a - 2x - 2y$；图形②的周长为$2[(2x - a) + (2y - a)] = 4x + 4y - 4a$；周长和为$(4a - 2x - 2y) + (4x + 4y - 4a) = 2x + 2y$，无法由$(x - y)$求出，A错误。
选项B：图形④的周长为$4(a - x)$，图形⑥的周长为$4(a - y)$，周长和为$4(a - x) + 4(a - y) = 8a - 4x - 4y$，无法由$(x - y)$求出，B错误。
选项C：图形①与②的周长差为$(4a - 2x - 2y) - (4x + 4y - 4a) = 8a - 6x - 6y$，无法由$(x - y)$求出，C错误。
选项D：图形④与⑥的周长差为$4(a - x) - 4(a - y) = 4y - 4x = -4(x - y)$，已知面积差是$-(x - y)^2$，可由面积差求出$(x - y)$，进而能求出周长差，D正确。
【答案】
D
【知识点】
整式的加减、长方形与正方形的面积周长
【点评】
本题通过设参数表示图形边长，利用整式运算推导面积差与周长表达式的关系，关键在于找到面积差对应的$(x - y)$，再匹配选项的表达式，考查代数运算的应用能力。
【难度系数】
0.4
11. 要使分式$\frac{1}{x-2}$有意义，$x$的取值范围应满足________.
答案
11.x≠2
解析
【分析】
要确定使分式有意义的x的取值范围，需牢记分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。本题中分式的分母是x-2，因此只需让分母不等于0，解对应的不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
对于分式$\frac{1}{x-2}$，根据分式有意义的条件，分母不能为0，即：
$x - 2 ≠ 0$
解得：$x ≠ 2$
【答案】
x≠2
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础题型，直接考查分式有意义的基本条件，属于必须掌握的知识点，难度较低，适合巩固分式的基础概念。
【难度系数】
0.9
要确定使分式有意义的x的取值范围，需牢记分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。本题中分式的分母是x-2，因此只需让分母不等于0，解对应的不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
对于分式$\frac{1}{x-2}$，根据分式有意义的条件，分母不能为0，即：
$x - 2 ≠ 0$
解得：$x ≠ 2$
【答案】
x≠2
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础题型，直接考查分式有意义的基本条件，属于必须掌握的知识点，难度较低，适合巩固分式的基础概念。
【难度系数】
0.9
12. 因式分解：$2x^2 - 8 = \_\_\_\_\_\_$.
答案
12.2(x+2)(x−2)
解析
【分析】
因式分解的常规思路是先提取公因式，再运用公式法分解。本题中，先观察式子是否存在公因式，提取公因式后剩余的式子符合平方差公式的结构，再用平方差公式继续分解即可。
【解析】
解：$2x^2 - 8$
$= 2(x^2 - 4)$（提取公因式2）
$= 2(x + 2)(x - 2)$（利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x$，$b=2$）
【答案】
$2(x+2)(x-2)$
【知识点】
因式分解（提公因式法）；因式分解（平方差公式）
【点评】
本题是基础因式分解题，综合考查提公因式法与平方差公式的应用，属于因式分解的入门题型，难度较低，学生只要掌握因式分解的基本步骤就能正确解答。
【难度系数】
0.8
因式分解的常规思路是先提取公因式，再运用公式法分解。本题中，先观察式子是否存在公因式，提取公因式后剩余的式子符合平方差公式的结构，再用平方差公式继续分解即可。
【解析】
解：$2x^2 - 8$
$= 2(x^2 - 4)$（提取公因式2）
$= 2(x + 2)(x - 2)$（利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x$，$b=2$）
【答案】
$2(x+2)(x-2)$
【知识点】
因式分解（提公因式法）；因式分解（平方差公式）
【点评】
本题是基础因式分解题，综合考查提公因式法与平方差公式的应用，属于因式分解的入门题型，难度较低，学生只要掌握因式分解的基本步骤就能正确解答。
【难度系数】
0.8
13. 将容量为100的样本分成3个组，第一组的频数是30，第二组的频率是0.4，那么第三组的频率是________.
答案
13.0.3
解析
【分析】要解决该问题，需掌握频率的两个核心要点：一是频率的计算公式为“频率=频数÷样本容量”；二是所有分组的频率之和等于1。解题时，先根据第一组的频数和样本容量算出第一组的频率，再用1减去前两组的频率，即可得到第三组的频率。
【解析】第一步，计算第一组的频率：根据频率公式，第一组频率=第一组频数÷样本容量=30÷100=0.3；第二步，利用“各组频率之和为1”的性质，计算第三组频率：第三组频率=1 - 第一组频率 - 第二组频率=1 - 0.3 - 0.4=0.3。
【答案】0.3
【知识点】频率与频数，样本容量
【点评】本题考查统计中频率的基础性质，属于简单题型，只要掌握频率的定义及各组频率之和为1的规律，就能快速解答，用于巩固统计基础知识。
【难度系数】0.8
【解析】第一步，计算第一组的频率：根据频率公式，第一组频率=第一组频数÷样本容量=30÷100=0.3；第二步，利用“各组频率之和为1”的性质，计算第三组频率：第三组频率=1 - 第一组频率 - 第二组频率=1 - 0.3 - 0.4=0.3。
【答案】0.3
【知识点】频率与频数，样本容量
【点评】本题考查统计中频率的基础性质，属于简单题型，只要掌握频率的定义及各组频率之和为1的规律，就能快速解答，用于巩固统计基础知识。
【难度系数】0.8
14. 已知关于 $ x, y $ 的方程组 $ \begin{cases} x - y = 4a, \\ x + 2y = a + 6 \end{cases} $ 的解满足 $ 2x + y = 1 $，则 $ a = \_\_\_\_\_\_ $.
答案
14.−1
解析
【分析】本题是已知二元一次方程组的解满足另一方程求参数的问题，解题思路可通过整体运算简化：将方程组的两个方程相加，直接得到与已知条件相关的代数式$2x+y$，再结合$2x+y=1$建立关于$a$的方程，求解即可；也可先解方程组用$a$表示$x$、$y$，再代入$2x+y=1$计算，前者更简便。
【解析】已知方程组$\begin{cases} x - y = 4a \quad ① \\ x + 2y = a + 6 \quad ② \end{cases}$，将①+②得：$(x - y)+(x + 2y)=4a + (a + 6)$，化简得$2x + y = 5a + 6$。因为方程组的解满足$2x + y = 1$，所以$5a + 6 = 1$，移项得$5a = 1 - 6 = -5$，解得$a = -1$。
【答案】$-1$
【知识点】二元一次方程组的解，一元一次方程的解法
【点评】本题考查二元一次方程组解的性质，通过整体相加的方法简化计算，避免了繁琐的代换，属于基础题型，需掌握方程组的整体运算技巧。
【难度系数】0.6
【解析】已知方程组$\begin{cases} x - y = 4a \quad ① \\ x + 2y = a + 6 \quad ② \end{cases}$，将①+②得：$(x - y)+(x + 2y)=4a + (a + 6)$，化简得$2x + y = 5a + 6$。因为方程组的解满足$2x + y = 1$，所以$5a + 6 = 1$，移项得$5a = 1 - 6 = -5$，解得$a = -1$。
【答案】$-1$
【知识点】二元一次方程组的解，一元一次方程的解法
【点评】本题考查二元一次方程组解的性质，通过整体相加的方法简化计算，避免了繁琐的代换，属于基础题型，需掌握方程组的整体运算技巧。
【难度系数】0.6
15. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，
CD.若$CF// HB$，若$∠ 1=α$，则$∠ 2$的大小为____________.(用$α$的代数式表示).
CD.若$CF// HB$，若$∠ 1=α$，则$∠ 2$的大小为____________.(用$α$的代数式表示).
答案
15.90°−α【解析】如图，
由折叠得,∠3=∠1=α,∠DCT=∠2,∵RT//AD,
∴∠1+∠3+∠ART=180°,
∴∠ART=180°−∠1−∠3=180°−2α.
∵HB//GR,
∴∠4=∠ART=180°−2α.又CF//HB,
∴∠FCT=∠4=180°−2α,
∴2∠2=180°−2α,
∴∠2=90°−α.故答案为:90°−α.
解析
15.90°−α【解析】如图，由折叠得,∠3=∠1=α,∠DCT=∠2,
∵RT//AD,
∴∠1+∠3+∠ART=180°,
∴∠ART=180°−∠1−∠3=180°−2α.
∵HB//GR,
∴∠4=∠ART=180°−2α.又CF//HB,
∴∠FCT=∠4=180°−2α,
∴2∠2=180°−2α,
∴∠2=90°−α.故答案为:90°−α.
由折叠得,∠3=∠1=α,∠DCT=∠2,∵RT//AD,
∴∠1+∠3+∠ART=180°,
∴∠ART=180°−∠1−∠3=180°−2α.
∵HB//GR,
∴∠4=∠ART=180°−2α.又CF//HB,
∴∠FCT=∠4=180°−2α,
∴2∠2=180°−2α,
∴∠2=90°−α.故答案为:90°−α.
