10. $x$是无理数,但$(x-2)(x+6)$是有理数,则下列式子中是有理数的是（）

A.$x^2$
B.$(x+6)^2$
C.$(x+2)(x-6)$
D.$(x+2)^2$

10. D 解析:$(x-2)(x+6)=x^2+4x-12$.$\because x$是无理数,$\therefore 4x$是无理数.又$x^2+4x-12$是有理数,$\therefore x^2+4x$是有理数,$\therefore$ 四个式子中,只有$(x+2)^2=x^2+4x+4$是有理数,故选 D.
知识拓展 ① 有理数$+$有理数$=$有理数,有理数$+$无理数$=$无理数,无理数$+$无理数$=$有理数/无理数;
② 有理数$×$有理数$=$有理数,有理数(非 0)$×$无理数$=$无理数,无理数$×$无理数$=$有理数/无理数.
常见的“无理数$×$无理数$=$有理数”情况有以下两种:$\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$,$(\sqrt{2}+1)×(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=1$.
在本题中也可以用此规律假设$x=\sqrt{2}-2$,则$(x-2)(x+6)=(\sqrt{2}-4)×(\sqrt{2}+4)=(\sqrt{2})^2-4^2=-14$,满足题意,则此时可得$(x+2)^2=(\sqrt{2})^2=2$,为有理数.

11. 新趋势 项目式学习 阅读与思考
下面是小敏同学学习实数之后整理的一篇数学日记,请仔细阅读,并完成相应的任务.


类比思考:如图③,改变图②中正方形的位置,以数字1所在的点为圆心,用类似的方法作图,可在数轴上构造出线段$OB$与$OB'$,其中$O$仍在原点,点$B$,$B'$分别在原点的右侧、左侧,可由线段$OB$与$OB'$的长得到点$B$,$B'$所表示的无理数!
按照这样的思路,只要构造出特定长度的线段,就能在数轴上找到无理数对应的点!
任务:
(1)上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想.
A. 方程思想 B. 数形结合思想 C. 化归思想
(2)“类比思考”中,线段$OB$的长为,$OB'$的长为;则点$B$表示的数为,点$B'$表示的数为.
(3)拓展思考:通过动手操作,小敏同学把长为5,宽为1的长方形进行裁剪,拼成如图④所示的正方形.则请借鉴材料中的方法在图⑤的数轴上找到表示$\sqrt{5}-1$的点$P$.(保留作图痕迹并标出必要线段长)

11. (1) B 解析:本题中几何图形与代数结合,故为数形结合思想.
(2) $1+\sqrt{2}$ $\sqrt{2}-1$ $1+\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}+1$ 解析:$\because$ 小正方形对角线长为$\sqrt{2}$,$\therefore$ 点$B$表示的数为$1+\sqrt{2}$,点$B'$表示的数为$-\sqrt{2}+1$,$\therefore$ 线段$OB$的长为$1+\sqrt{2}$,$OB'$的长为$\sqrt{2}-1$.
(3) $\because$ 大正方形的面积为 5,$\therefore$ 小长方形的对角线长为$\sqrt{5}$,如图所示,点$P$表示的数为$\sqrt{5}-1$.