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24.（12分）如图1，直线$y=-2x+4$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$、$B$.
（1）点$A$的坐标是________，点$B$的坐标是________，$△ AOB$的面积是________；
（2）如图2，直线$y=kx+1$（$k＞0$）分别与$y$轴、$AB$交于点$C$、$D$，若$∠ DBC=∠ BCD$，求$k$的值；
（3）如图3，平移直线$AB$，平移后的直线与$x$轴交于点$M$，与$y$轴交于点$N$，分别延长$BM$、$AN$交于点$Q$，试说明点$Q$在一条定直线上运动.
（1）点$A$的坐标是________，点$B$的坐标是________，$△ AOB$的面积是________；
（2）如图2，直线$y=kx+1$（$k＞0$）分别与$y$轴、$AB$交于点$C$、$D$，若$∠ DBC=∠ BCD$，求$k$的值；
（3）如图3，平移直线$AB$，平移后的直线与$x$轴交于点$M$，与$y$轴交于点$N$，分别延长$BM$、$AN$交于点$Q$，试说明点$Q$在一条定直线上运动.
答案
解：（1）当$x=0$时，$y=4$，
∴$B(0, 4)$，
当$y=0$时，$x=2$，
∴$A(2, 0)$，
∵$OA=2$，$OB=4$，
∴$△AOB$的面积$=\frac{1}{2}×2×4=4$；
故答案为：$(2, 0)$，$(0, 4)$，$4$；
（2）直线$y=kx+1$与$y$轴交点$C(0, 1)$，
∵$∠DBC=∠BCD$，
∴$△BCD$是等腰三角形，
∴D点纵坐标为$\frac{5}{2}$，
当$-2x+4=\frac{5}{2}$时，解得$x=\frac{3}{4}$，
∴$D(\frac{3}{4}, \frac{5}{2})$，
将点D代入$y=kx+1$，得$\frac{3}{4}k+1=\frac{5}{2}$，
解得$k=2$；
（3）设平移后的直线解析式为$y=-2x+4 - m$，
∴$M(2 - \frac{1}{2}m, 0)$，$N(0, 4 - m)$，
直线MB的解析式为$y=\frac{-8}{4 - m}x + 4$，直线AM的解析式为$y=\frac{m - 4}{2}x+4 - m$，
当$\frac{-8}{4 - m}x+4=\frac{m - 4}{2}x+4 - m$时，解得$x=\frac{2(4 - m)}{8 - m}$，
∴$Q(\frac{2(4 - m)}{8 - m}, \frac{4(4 - m)}{8 - m})$，
∴Q点在直线$y=2x$上。
∴$B(0, 4)$，
当$y=0$时，$x=2$，
∴$A(2, 0)$，
∵$OA=2$，$OB=4$，
∴$△AOB$的面积$=\frac{1}{2}×2×4=4$；
故答案为：$(2, 0)$，$(0, 4)$，$4$；
（2）直线$y=kx+1$与$y$轴交点$C(0, 1)$，
∵$∠DBC=∠BCD$，
∴$△BCD$是等腰三角形，
∴D点纵坐标为$\frac{5}{2}$，
当$-2x+4=\frac{5}{2}$时，解得$x=\frac{3}{4}$，
∴$D(\frac{3}{4}, \frac{5}{2})$，
将点D代入$y=kx+1$，得$\frac{3}{4}k+1=\frac{5}{2}$，
解得$k=2$；
（3）设平移后的直线解析式为$y=-2x+4 - m$，
∴$M(2 - \frac{1}{2}m, 0)$，$N(0, 4 - m)$，
直线MB的解析式为$y=\frac{-8}{4 - m}x + 4$，直线AM的解析式为$y=\frac{m - 4}{2}x+4 - m$，
当$\frac{-8}{4 - m}x+4=\frac{m - 4}{2}x+4 - m$时，解得$x=\frac{2(4 - m)}{8 - m}$，
∴$Q(\frac{2(4 - m)}{8 - m}, \frac{4(4 - m)}{8 - m})$，
∴Q点在直线$y=2x$上。
解析
【分析】
本题分三小问逐步求解：（1）求直线与坐标轴交点，代入x=0、y=0即可，再用直角三角形面积公式计算△AOB面积；（2）由等角得等腰三角形，利用距离公式求交点D，代入直线解析式求k；（3）设平移后直线解析式，求交点M、N，联立直线BM、AN的解析式得Q点坐标，消参确定Q所在定直线。
【解析】
（1）对于直线$y=-2x+4$：
当$x=0$时，$y=4$，故$B(0,4)$；
当$y=0$时，$0=-2x+4$，解得$x=2$，故$A(2,0)$；
△AOB为直角三角形，$OA=2$，$OB=4$，面积$=\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{1}{2}×2×4=4$；
（2）直线$y=kx+1$与y轴交点C，令$x=0$得$y=1$，故$C(0,1)$；
因为$∠DBC=∠BCD$，所以△BCD为等腰三角形，$DC=DB$；
设$D(x, -2x+4)$，则：
$DC^2=x^2 + (-2x+4-1)^2=x^2+(-2x+3)^2$，
$DB^2=x^2 + (-2x+4-4)^2=x^2+(-2x)^2=5x^2$；
由$DC=DB$得$DC^2=DB^2$，即：
$x^2 + (-2x+3)^2=5x^2$，
展开化简得$-12x+9=0$，解得$x=\frac{3}{4}$；
代入AB解析式得$y=-2×\frac{3}{4}+4=\frac{5}{2}$，故$D(\frac{3}{4},\frac{5}{2})$；
将D代入$y=kx+1$：$\frac{5}{2}=\frac{3}{4}k+1$，解得$k=2$；
（3）平移直线AB，斜率不变，设平移后解析式为$y=-2x+b$（$b≠4$）；
与x轴交点M：令$y=0$，得$x=\frac{b}{2}$，故$M(\frac{b}{2},0)$；
与y轴交点N：令$x=0$，得$y=b$，故$N(0,b)$；
直线BM的解析式：过$B(0,4)$和$M(\frac{b}{2},0)$，斜率为$\frac{0-4}{\frac{b}{2}-0}=-\frac{8}{b}$，故解析式为$y=-\frac{8}{b}x+4$；
直线AN的解析式：过$A(2,0)$和$N(0,b)$，斜率为$\frac{b-0}{0-2}=-\frac{b}{2}$，故解析式为$y=-\frac{b}{2}x+b$；
联立BM与AN的方程：
$-\frac{8}{b}x+4=-\frac{b}{2}x+b$，
两边乘$2b$消分母：$-16x+8b=-b^2x+2b^2$，
整理得$(b^2-16)x=2b^2-8b$，
因式分解得$(b-4)(b+4)x=2b(b-4)$，
因$b≠4$，两边除以$(b-4)$得$x=\frac{2b}{b+4}$；
代入AN解析式求y：$y=-\frac{b}{2}×\frac{2b}{b+4}+b=\frac{4b}{b+4}$；
故Q点坐标为$(\frac{2b}{b+4},\frac{4b}{b+4})$，满足$y=2x$，即Q在定直线$y=2x$上运动。
【答案】
（1）$(2,0)$，$(0,4)$，$4$；（2）$k=2$；（3）Q在定直线$y=2x$上运动。
【知识点】
一次函数性质、等腰三角形判定、直线交点
【点评】
本题为函数与几何结合的综合题，需掌握一次函数解析式求法、等腰三角形性质，通过代数方法解决几何交点问题，是典型的数形结合题型。
【难度系数】
0.5
本题分三小问逐步求解：（1）求直线与坐标轴交点，代入x=0、y=0即可，再用直角三角形面积公式计算△AOB面积；（2）由等角得等腰三角形，利用距离公式求交点D，代入直线解析式求k；（3）设平移后直线解析式，求交点M、N，联立直线BM、AN的解析式得Q点坐标，消参确定Q所在定直线。
【解析】
（1）对于直线$y=-2x+4$：
当$x=0$时，$y=4$，故$B(0,4)$；
当$y=0$时，$0=-2x+4$，解得$x=2$，故$A(2,0)$；
△AOB为直角三角形，$OA=2$，$OB=4$，面积$=\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{1}{2}×2×4=4$；
（2）直线$y=kx+1$与y轴交点C，令$x=0$得$y=1$，故$C(0,1)$；
因为$∠DBC=∠BCD$，所以△BCD为等腰三角形，$DC=DB$；
设$D(x, -2x+4)$，则：
$DC^2=x^2 + (-2x+4-1)^2=x^2+(-2x+3)^2$，
$DB^2=x^2 + (-2x+4-4)^2=x^2+(-2x)^2=5x^2$；
由$DC=DB$得$DC^2=DB^2$，即：
$x^2 + (-2x+3)^2=5x^2$，
展开化简得$-12x+9=0$，解得$x=\frac{3}{4}$；
代入AB解析式得$y=-2×\frac{3}{4}+4=\frac{5}{2}$，故$D(\frac{3}{4},\frac{5}{2})$；
将D代入$y=kx+1$：$\frac{5}{2}=\frac{3}{4}k+1$，解得$k=2$；
（3）平移直线AB，斜率不变，设平移后解析式为$y=-2x+b$（$b≠4$）；
与x轴交点M：令$y=0$，得$x=\frac{b}{2}$，故$M(\frac{b}{2},0)$；
与y轴交点N：令$x=0$，得$y=b$，故$N(0,b)$；
直线BM的解析式：过$B(0,4)$和$M(\frac{b}{2},0)$，斜率为$\frac{0-4}{\frac{b}{2}-0}=-\frac{8}{b}$，故解析式为$y=-\frac{8}{b}x+4$；
直线AN的解析式：过$A(2,0)$和$N(0,b)$，斜率为$\frac{b-0}{0-2}=-\frac{b}{2}$，故解析式为$y=-\frac{b}{2}x+b$；
联立BM与AN的方程：
$-\frac{8}{b}x+4=-\frac{b}{2}x+b$，
两边乘$2b$消分母：$-16x+8b=-b^2x+2b^2$，
整理得$(b^2-16)x=2b^2-8b$，
因式分解得$(b-4)(b+4)x=2b(b-4)$，
因$b≠4$，两边除以$(b-4)$得$x=\frac{2b}{b+4}$；
代入AN解析式求y：$y=-\frac{b}{2}×\frac{2b}{b+4}+b=\frac{4b}{b+4}$；
故Q点坐标为$(\frac{2b}{b+4},\frac{4b}{b+4})$，满足$y=2x$，即Q在定直线$y=2x$上运动。
【答案】
（1）$(2,0)$，$(0,4)$，$4$；（2）$k=2$；（3）Q在定直线$y=2x$上运动。
【知识点】
一次函数性质、等腰三角形判定、直线交点
【点评】
本题为函数与几何结合的综合题，需掌握一次函数解析式求法、等腰三角形性质，通过代数方法解决几何交点问题，是典型的数形结合题型。
【难度系数】
0.5
