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13. 某学校在体育用品商场购买甲、乙两种不同的足球,购买甲种足球共花费2 000元,购买乙种足球共花费1 400元,购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍,且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.
(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元.
(2)新学期开学,这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对这两种足球的售价进行调整,甲种足球售价比第一次购买时提高了10%,乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2 900元,那么这所学校最多可购买多少个乙种足球?
(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元.
(2)新学期开学,这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对这两种足球的售价进行调整,甲种足球售价比第一次购买时提高了10%,乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2 900元,那么这所学校最多可购买多少个乙种足球?
答案
13. (1)设购买一个甲种足球需x元,则购买一个乙种足球需(x+20)元. 由题意,得$\frac{2000}{x}=2×\frac{1400}{x+20}$. 解得x=50. 经检验,x=50是原方程的解. 所以x+20=70. 答:购买一个甲种足球需50元,购买一个乙种足球需70元. (2)设这所学校再次购买y个乙种足球,则购买(50-y)个甲种足球. 由题意,得50×(1+10%)×(50-y)+70×(1-10%)y≤2 900. 解得y≤18.75. 由题意知,最多可购买18个乙种足球. 答:这所学校最多可购买18个乙种足球。
解析
【分析】
（1）第一问为分式方程实际应用，核心等量关系为：购买甲种足球的数量=2×购买乙种足球的数量。我们先设甲种足球单价为x元，由“买一个乙种足球比甲多花20元”可得乙种足球单价为(x+20)元，再结合“数量=总价÷单价”分别表示出两种足球的购买数量，代入等量关系列方程求解即可，注意分式方程求出解后必须检验是否符合要求。
（2）第二问为一元一次不等式实际应用，核心不等关系为：再次购买两种足球的总费用≤2900元。先算调价后两种足球的单价，设购买乙种足球y个，则甲种足球为(50-y)个，根据总费用的计算方式代入不等关系列不等式，求解后结合“足球个数为正整数”的实际要求，取符合条件的最大整数即可。
【解析】
(1) 设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需(x+20)元。
由题意列方程：
$\frac{2000}{x}=2×\frac{1400}{x+20}$
解方程得：
$2000(x+20)=2800x$
$2000x+40000=2800x$
$800x=40000$
$x=50$
经检验，x=50是原方程的解，且符合实际意义。
则乙种足球单价为$x+20=50+20=70$元。
(2) 设这所学校再次购买y个乙种足球，则购买(50-y)个甲种足球。
调价后甲种足球单价为$50×(1+10\%)=55$元，乙种足球单价为$70×(1-10\%)=63$元。
由题意列不等式：
$55(50-y)+63y≤2900$
解不等式得：
$2750+8y≤2900$
$8y≤150$
$y≤18.75$
由于y为足球个数，需取非负整数，因此y的最大值为18。
【答案】
(1) 购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元。
(2) 这所学校最多可购买18个乙种足球。
【知识点】
分式方程应用，一元一次不等式应用，实际问题解的取舍
【点评】
本题是应用题类的常规考法，核心是找准题干中的等量、不等关系建立数学模型，要注意分式方程必须验根，最终结果要符合实际场景的限制条件。
【难度系数】
0.7
（1）第一问为分式方程实际应用，核心等量关系为：购买甲种足球的数量=2×购买乙种足球的数量。我们先设甲种足球单价为x元，由“买一个乙种足球比甲多花20元”可得乙种足球单价为(x+20)元，再结合“数量=总价÷单价”分别表示出两种足球的购买数量，代入等量关系列方程求解即可，注意分式方程求出解后必须检验是否符合要求。
（2）第二问为一元一次不等式实际应用，核心不等关系为：再次购买两种足球的总费用≤2900元。先算调价后两种足球的单价，设购买乙种足球y个，则甲种足球为(50-y)个，根据总费用的计算方式代入不等关系列不等式，求解后结合“足球个数为正整数”的实际要求，取符合条件的最大整数即可。
【解析】
(1) 设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需(x+20)元。
由题意列方程：
$\frac{2000}{x}=2×\frac{1400}{x+20}$
解方程得：
$2000(x+20)=2800x$
$2000x+40000=2800x$
$800x=40000$
$x=50$
经检验，x=50是原方程的解，且符合实际意义。
则乙种足球单价为$x+20=50+20=70$元。
(2) 设这所学校再次购买y个乙种足球，则购买(50-y)个甲种足球。
调价后甲种足球单价为$50×(1+10\%)=55$元，乙种足球单价为$70×(1-10\%)=63$元。
由题意列不等式：
$55(50-y)+63y≤2900$
解不等式得：
$2750+8y≤2900$
$8y≤150$
$y≤18.75$
由于y为足球个数，需取非负整数，因此y的最大值为18。
【答案】
(1) 购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元。
(2) 这所学校最多可购买18个乙种足球。
【知识点】
分式方程应用，一元一次不等式应用，实际问题解的取舍
【点评】
本题是应用题类的常规考法，核心是找准题干中的等量、不等关系建立数学模型，要注意分式方程必须验根，最终结果要符合实际场景的限制条件。
【难度系数】
0.7
14.【生活观察】甲、乙两人买菜,甲习惯买一定质量的菜,乙习惯买一定金额的菜,两人每次买菜的单价相同,例如:
(1)完成上表.
(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.(均价=总金额÷总质量)
【数学思考】设甲每次买质量为$m$千克的菜,乙每次买金额为$n$元的菜,两次的单价分别是$a$元/千克、$b$元/千克,用含有$m,n,a,b$的式子分别表示出甲、乙两次买菜的均价$\bar{x}_甲$和$\bar{x}_乙$.比较$\bar{x}_甲$与$\bar{x}_乙$的大小,并说明理由.
【知识迁移】某船在相距为$s$的甲、乙两码头间往返航行一次:如果水流速度为0时,船的速度为$v$,所需时间为$t_1$;如果水流速度为$p(0＜p＜v)$时,船顺水航行速度为$(v+p)$,逆水航行速度为$(v-p)$,所需时间为$t_2$.请借鉴上面的研究经验,比较$t_1$与$t_2$的大小,并说明理由.
趣味数学
有趣的“约分”
(1)完成上表.
(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.(均价=总金额÷总质量)
【数学思考】设甲每次买质量为$m$千克的菜,乙每次买金额为$n$元的菜,两次的单价分别是$a$元/千克、$b$元/千克,用含有$m,n,a,b$的式子分别表示出甲、乙两次买菜的均价$\bar{x}_甲$和$\bar{x}_乙$.比较$\bar{x}_甲$与$\bar{x}_乙$的大小,并说明理由.
【知识迁移】某船在相距为$s$的甲、乙两码头间往返航行一次:如果水流速度为0时,船的速度为$v$,所需时间为$t_1$;如果水流速度为$p(0＜p＜v)$时,船顺水航行速度为$(v+p)$,逆水航行速度为$(v-p)$,所需时间为$t_2$.请借鉴上面的研究经验,比较$t_1$与$t_2$的大小,并说明理由.
趣味数学
有趣的“约分”
答案
14.【生活观察】(1)2 1.5 (2)根据题意,得$\bar{x}_甲=(3+2)÷(1+1)=2.5$(元/千克),$\bar{x}_乙=(3+3)÷(1+1.5)=2.4$(元/千克). 答:甲两次买菜的均价为2.5元/千克,乙两次买菜的均价为2.4元/千克.
【数学思考】$\bar{x}_甲=(am+bm)÷(m+m)=\frac{a+b}{2}$(元/千克),$\bar{x}_乙=(n+n)÷(\frac{n}{a}+\frac{n}{b})=\frac{2ab}{a+b}$(元/千克). $\bar{x}_甲-\bar{x}_乙=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\ge0$. 当a=b时,$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙$;当a≠b时,$\bar{x}_甲＞\bar{x}_乙$.
【知识迁移】$t_1＜t_2$. 理由如下:$t_1=\frac{2s}{v}$,$t_2=\frac{s}{v+p}+\frac{s}{v-p}$,$\therefore t_1-t_2=\frac{2s}{v}-(\frac{s}{v+p}+\frac{s}{v-p})=\frac{2s(v+p)(v-p)-sv(v-p)-sv(v+p)}{v(v+p)(v-p)}=\frac{-2sp^2}{v(v+p)(v-p)}＜0.\therefore t_1＜t_2$。
【数学思考】$\bar{x}_甲=(am+bm)÷(m+m)=\frac{a+b}{2}$(元/千克),$\bar{x}_乙=(n+n)÷(\frac{n}{a}+\frac{n}{b})=\frac{2ab}{a+b}$(元/千克). $\bar{x}_甲-\bar{x}_乙=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\ge0$. 当a=b时,$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙$;当a≠b时,$\bar{x}_甲＞\bar{x}_乙$.
【知识迁移】$t_1＜t_2$. 理由如下:$t_1=\frac{2s}{v}$,$t_2=\frac{s}{v+p}+\frac{s}{v-p}$,$\therefore t_1-t_2=\frac{2s}{v}-(\frac{s}{v+p}+\frac{s}{v-p})=\frac{2s(v+p)(v-p)-sv(v-p)-sv(v+p)}{v(v+p)(v-p)}=\frac{-2sp^2}{v(v+p)(v-p)}＜0.\therefore t_1＜t_2$。
解析
【分析】
1. 生活观察部分：首先利用“金额=单价×质量、质量=金额÷单价”的数量关系完成表格；再根据“均价=总金额÷总质量”，分别计算甲、乙两次买菜的总金额和总质量，代入公式即可求出均价。
2. 数学思考部分：将具体数值替换为字母参数，仍用均价公式分别推导$\bar{x}_甲$和$\bar{x}_乙$的表达式；比较两个分式的大小时，采用作差法，通分化简后结合平方的非负性、单价为正数的隐含条件判断差的正负，即可得出两者的大小关系。
3. 知识迁移部分：类比上述作差比较的思路，先根据“时间=路程÷速度”分别写出$t_1$、$t_2$的表达式，再作差通分化简，结合已知条件$0＜p＜v$判断差的正负，即可比较$t_1$和$t_2$的大小。
【解析】
生活观察
(1) 甲第二次买菜的金额：$1\mathrm{kg} × 2\mathrm{元/千克}=2\mathrm{元}$；乙第二次买菜的质量：$3\mathrm{元} ÷ 2\mathrm{元/千克}=1.5\mathrm{kg}$，因此表格依次填2、1.5。
(2) 甲两次买菜总金额为$3+2=5$元，总质量为$1+1=2$千克，均价$\bar{x}_甲=5÷2=2.5$（元/千克）；
乙两次买菜总金额为$3+3=6$元，总质量为$1+1.5=2.5$千克，均价$\bar{x}_乙=6÷2.5=2.4$（元/千克）。
数学思考
甲两次买菜总金额为$am+bm$，总质量为$m+m=2m$，因此：
$\bar{x}_甲=\frac{am+bm}{2m}=\frac{a+b}{2}$（元/千克）
乙两次买菜总金额为$n+n=2n$，总质量为$\frac{n}{a}+\frac{n}{b}$，因此：
$\bar{x}_乙=\frac{2n}{\frac{n}{a}+\frac{n}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$（元/千克）
用作差法比较大小：
$\bar{x}_甲-\bar{x}_乙=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
∵ 单价$a＞0,b＞0$，
∴ $2(a+b)＞0$，且$(a-b)^2≥0$
∴ 当$a=b$时，$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙$；当$a≠ b$时，$\bar{x}_甲＞\bar{x}_乙$。
知识迁移
$t_1＜t_2$，理由如下：
水流速度为0时，往返总路程为$2s$，因此$t_1=\frac{2s}{v}$；
有水流时，顺水时间为$\frac{s}{v+p}$，逆水时间为$\frac{s}{v-p}$，因此$t_2=\frac{s}{v+p}+\frac{s}{v-p}$。
作差得：
$t_1-t_2=\frac{2s}{v}-(\frac{s}{v+p}+\frac{s}{v-p})=\frac{2s(v+p)(v-p)-sv(v-p)-sv(v+p)}{v(v+p)(v-p)}$
化简分子得：$2s(v^2-p^2)-sv·2v=-2sp^2$
∴ $t_1-t_2=\frac{-2sp^2}{v(v+p)(v-p)}$
∵ $s＞0,v＞0,0＜p＜v$，
∴ 分子为负、分母为正，即$t_1-t_2＜0$，故$t_1＜t_2$。
【答案】
【生活观察】(1) $\boxed{2}$，$\boxed{1.5}$；(2) 甲两次买菜均价为$\boxed{2.5}$元/千克，乙两次买菜均价为$\boxed{2.4}$元/千克；
【数学思考】$\bar{x}_甲=\boxed{\frac{a+b}{2}}$，$\bar{x}_乙=\boxed{\frac{2ab}{a+b}}$，当$a=b$时$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙$，当$a≠ b$时$\bar{x}_甲＞\bar{x}_乙$；
【知识迁移】$\boxed{t_1＜t_2}$
【知识点】
分式的运算，作差法比较大小，分式的实际应用
【点评】
本题以生活买菜、行船往返的实际场景为载体，从具体数值计算逐步过渡到一般规律推导，再到类比迁移解决新问题，既考查分式的化简运算能力，也考查逻辑推理和知识迁移的能力，能让学生充分感受到数学与实际生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
1. 生活观察部分：首先利用“金额=单价×质量、质量=金额÷单价”的数量关系完成表格；再根据“均价=总金额÷总质量”，分别计算甲、乙两次买菜的总金额和总质量，代入公式即可求出均价。
2. 数学思考部分：将具体数值替换为字母参数，仍用均价公式分别推导$\bar{x}_甲$和$\bar{x}_乙$的表达式；比较两个分式的大小时，采用作差法，通分化简后结合平方的非负性、单价为正数的隐含条件判断差的正负，即可得出两者的大小关系。
3. 知识迁移部分：类比上述作差比较的思路，先根据“时间=路程÷速度”分别写出$t_1$、$t_2$的表达式，再作差通分化简，结合已知条件$0＜p＜v$判断差的正负，即可比较$t_1$和$t_2$的大小。
【解析】
生活观察
(1) 甲第二次买菜的金额：$1\mathrm{kg} × 2\mathrm{元/千克}=2\mathrm{元}$；乙第二次买菜的质量：$3\mathrm{元} ÷ 2\mathrm{元/千克}=1.5\mathrm{kg}$，因此表格依次填2、1.5。
(2) 甲两次买菜总金额为$3+2=5$元，总质量为$1+1=2$千克，均价$\bar{x}_甲=5÷2=2.5$（元/千克）；
乙两次买菜总金额为$3+3=6$元，总质量为$1+1.5=2.5$千克，均价$\bar{x}_乙=6÷2.5=2.4$（元/千克）。
数学思考
甲两次买菜总金额为$am+bm$，总质量为$m+m=2m$，因此：
$\bar{x}_甲=\frac{am+bm}{2m}=\frac{a+b}{2}$（元/千克）
乙两次买菜总金额为$n+n=2n$，总质量为$\frac{n}{a}+\frac{n}{b}$，因此：
$\bar{x}_乙=\frac{2n}{\frac{n}{a}+\frac{n}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$（元/千克）
用作差法比较大小：
$\bar{x}_甲-\bar{x}_乙=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$
∵ 单价$a＞0,b＞0$，
∴ $2(a+b)＞0$，且$(a-b)^2≥0$
∴ 当$a=b$时，$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙$；当$a≠ b$时，$\bar{x}_甲＞\bar{x}_乙$。
知识迁移
$t_1＜t_2$，理由如下：
水流速度为0时，往返总路程为$2s$，因此$t_1=\frac{2s}{v}$；
有水流时，顺水时间为$\frac{s}{v+p}$，逆水时间为$\frac{s}{v-p}$，因此$t_2=\frac{s}{v+p}+\frac{s}{v-p}$。
作差得：
$t_1-t_2=\frac{2s}{v}-(\frac{s}{v+p}+\frac{s}{v-p})=\frac{2s(v+p)(v-p)-sv(v-p)-sv(v+p)}{v(v+p)(v-p)}$
化简分子得：$2s(v^2-p^2)-sv·2v=-2sp^2$
∴ $t_1-t_2=\frac{-2sp^2}{v(v+p)(v-p)}$
∵ $s＞0,v＞0,0＜p＜v$，
∴ 分子为负、分母为正，即$t_1-t_2＜0$，故$t_1＜t_2$。
【答案】
【生活观察】(1) $\boxed{2}$，$\boxed{1.5}$；(2) 甲两次买菜均价为$\boxed{2.5}$元/千克，乙两次买菜均价为$\boxed{2.4}$元/千克；
【数学思考】$\bar{x}_甲=\boxed{\frac{a+b}{2}}$，$\bar{x}_乙=\boxed{\frac{2ab}{a+b}}$，当$a=b$时$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙$，当$a≠ b$时$\bar{x}_甲＞\bar{x}_乙$；
【知识迁移】$\boxed{t_1＜t_2}$
【知识点】
分式的运算，作差法比较大小，分式的实际应用
【点评】
本题以生活买菜、行船往返的实际场景为载体，从具体数值计算逐步过渡到一般规律推导，再到类比迁移解决新问题，既考查分式的化简运算能力，也考查逻辑推理和知识迁移的能力，能让学生充分感受到数学与实际生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
