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1. 易错题 如图，A 是反比例函数$y = -\dfrac{2}{x}$在第二象限内的图象上一点，B 是反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$在第一象限内的图象上一点，直线 AB 与 y 轴交于点 C，且$AC=BC$，连接 OA，OB，则$△ AOB$的面积是（
A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
C
）A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
答案
1. C 分别过点 A,B 作$AD⊥ x$轴,$BE⊥ x$轴,垂足分别为D,E.$\because AC=BC,\therefore$ 易得$OD=OE$.设$A(-a,\dfrac{2}{a})$,则$B(a,\dfrac{4}{a}),\therefore S_{△ AOB}=S_{\mathrm{梯形}ADEB}-S_{△ AOD}-S_{△ BOE}=\dfrac{1}{2}×(\dfrac{2}{a}+\dfrac{4}{a})×2a-\dfrac{1}{2}a×\dfrac{2}{a}-\dfrac{1}{2}a×\dfrac{4}{a}=3$.
解析
【分析】
我们先梳理解题思路：已知AC=BC，说明C是线段AB的中点，AB与y轴交于点C。首先过A、B分别向x轴作垂线，因为AD、OC、BE都垂直于x轴，三条线互相平行，结合C是AB中点，根据平行线分线段成比例的性质，就能得到O是DE的中点，也就是A、B两点的横坐标互为相反数。接下来我们可以设A的横坐标为-a（a＞0，符合A在第二象限x为负的特征），代入对应的反比例函数解析式得到A的纵坐标，再根据横坐标互为相反数得到B点坐标，最后用割补法，用梯形ADEB的总面积减去两个直角三角形AOD、BOE的面积，计算过程中参数a会自动消去，无需算出a的具体值，就能得到△AOB的面积。
【解析】
解：分别过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点B作BE⊥x轴，垂足为E。
∵ AC=BC，即C是AB的中点，且AD⊥x轴，OC⊥x轴，BE⊥x轴，
∴ AD//OC//BE，由平行线分线段成比例可得OD=OE。
设点A的横坐标为-a（a＞0），将x=-a代入$y=-\frac{2}{x}$，得$y=\frac{2}{a}$，即$A(-a,\frac{2}{a})$。
由OD=OE可知点B的横坐标为a，将x=a代入$y=\frac{4}{x}$，得$y=\frac{4}{a}$，即$B(a,\frac{4}{a})$。
计算相关图形面积：
梯形ADEB的上底$AD=\frac{2}{a}$，下底$BE=\frac{4}{a}$，高$DE=OD+OE=2a$，
$S_{\mathrm{梯形}ADEB}=\frac{1}{2}×(\frac{2}{a}+\frac{4}{a})×2a=6$。
根据反比例函数k的几何意义：
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}×|-2|=1$，$S_{△ BOE}=\frac{1}{2}×|4|=2$。
因此$S_{△ AOB}=S_{\mathrm{梯形}ADEB}-S_{△ AOD}-S_{△ BOE}=6-1-2=3$。
【答案】C
【知识点】反比例函数k的几何意义，割补法求面积，平行线分线段成比例
【点评】本题是反比例函数面积类的经典易错题，核心技巧是利用中点条件快速得到A、B横坐标互为相反数，通过设参消参简化计算，避免了求解直线AB解析式的复杂运算，易错点是想不到利用中点性质简化坐标关系，强行计算交点坐标反而容易出错。
【难度系数】0.6
我们先梳理解题思路：已知AC=BC，说明C是线段AB的中点，AB与y轴交于点C。首先过A、B分别向x轴作垂线，因为AD、OC、BE都垂直于x轴，三条线互相平行，结合C是AB中点，根据平行线分线段成比例的性质，就能得到O是DE的中点，也就是A、B两点的横坐标互为相反数。接下来我们可以设A的横坐标为-a（a＞0，符合A在第二象限x为负的特征），代入对应的反比例函数解析式得到A的纵坐标，再根据横坐标互为相反数得到B点坐标，最后用割补法，用梯形ADEB的总面积减去两个直角三角形AOD、BOE的面积，计算过程中参数a会自动消去，无需算出a的具体值，就能得到△AOB的面积。
【解析】
解：分别过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点B作BE⊥x轴，垂足为E。
∵ AC=BC，即C是AB的中点，且AD⊥x轴，OC⊥x轴，BE⊥x轴，
∴ AD//OC//BE，由平行线分线段成比例可得OD=OE。
设点A的横坐标为-a（a＞0），将x=-a代入$y=-\frac{2}{x}$，得$y=\frac{2}{a}$，即$A(-a,\frac{2}{a})$。
由OD=OE可知点B的横坐标为a，将x=a代入$y=\frac{4}{x}$，得$y=\frac{4}{a}$，即$B(a,\frac{4}{a})$。
计算相关图形面积：
梯形ADEB的上底$AD=\frac{2}{a}$，下底$BE=\frac{4}{a}$，高$DE=OD+OE=2a$，
$S_{\mathrm{梯形}ADEB}=\frac{1}{2}×(\frac{2}{a}+\frac{4}{a})×2a=6$。
根据反比例函数k的几何意义：
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}×|-2|=1$，$S_{△ BOE}=\frac{1}{2}×|4|=2$。
因此$S_{△ AOB}=S_{\mathrm{梯形}ADEB}-S_{△ AOD}-S_{△ BOE}=6-1-2=3$。
【答案】C
【知识点】反比例函数k的几何意义，割补法求面积，平行线分线段成比例
【点评】本题是反比例函数面积类的经典易错题，核心技巧是利用中点条件快速得到A、B横坐标互为相反数，通过设参消参简化计算，避免了求解直线AB解析式的复杂运算，易错点是想不到利用中点性质简化坐标关系，强行计算交点坐标反而容易出错。
【难度系数】0.6
2. 新考向 探究题 如图，一次函数的图象与反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}$（$m$ 为常数）在第一象限内的图象交于点 $A(a,4),B(8,1)$，与 $y$ 轴交于点 $C$，与 $x$ 轴交于点 $D$。
(1) 求一次函数的表达式。
(2) 连接 $OA,OB$，求 $△ AOB$ 的面积。
(3) 若 $E$ 是 $x$ 轴上一动点，且 $∠ OAE=∠ AOC$，请求出点 $E$ 的坐标。
(1) 求一次函数的表达式。
(2) 连接 $OA,OB$，求 $△ AOB$ 的面积。
(3) 若 $E$ 是 $x$ 轴上一动点，且 $∠ OAE=∠ AOC$，请求出点 $E$ 的坐标。
答案
2. (1) 将$B(8,1)$代入$y=\dfrac{m}{x}$,可得$m=8$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{8}{x}$. 将$A(a,4)$代入 $y=\dfrac{8}{x}$,可得$a=2$,$\therefore A(2,4)$. 设一次函数的表达式为$y=kx+b$. 将$A(2,4),B(8,1)$代入 $y = kx + b$, 得$\begin{cases}4=2k+b,\\1=8k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2},\\b=5.\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+5$.
(2) 在 $y=-\dfrac{1}{2}x+5$ 中,当 $y=0$ 时,$0=-\dfrac{1}{2}x+5$,解得$x=10$,$\therefore D(10,0)$. $\therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOD}-S_{△ BOD}=\dfrac{1}{2}×10×4-\dfrac{1}{2}×10×1=15$.
(3) 如图,过点 A 作 $AE_1⊥ x$ 轴于点$E_1$,则$AE_1// OC$,$\therefore ∠ OAE_1=∠ AOC$. $\because A(2,4)$,$\therefore E_1(2,0)$. 作$∠ OAE_2=∠ AOC$(点$E_2$ 在 $y$ 轴左侧),$AE_2$ 交 $y$ 轴于点 $F$,过点 A 作 $AG⊥ y$ 轴于点 $G$. $\therefore OG=4$,$AG=2$. $\because ∠ OAE_2=∠ AOC$,$\therefore AF=OF$. 设 $OF=t$,则 $AF=t$. $\therefore FG=4-t$. 由勾股定理,可得 $AG^2+FG^2=AF^2$,$\therefore 2^2+(4-t)^2=t^2$,解得 $t=\dfrac{5}{2}$. $\therefore OF=\dfrac{5}{2}$,则$F(0,\dfrac{5}{2})$. 设直线 $AF$ 对应的函数表达式为 $y=cx+d$. 将$F(0,\dfrac{5}{2})$,$A(2,4)$代入,易得直线 $AF$ 对应的函数表达式为$y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2}$. 当 $y=0$ 时,$x=-\dfrac{10}{3}$,$\therefore E_2(-\dfrac{10}{3},0)$. 综上所述,点 $E$ 的坐标为$(2,0)$或$(-\dfrac{10}{3},0)$.
(2) 在 $y=-\dfrac{1}{2}x+5$ 中,当 $y=0$ 时,$0=-\dfrac{1}{2}x+5$,解得$x=10$,$\therefore D(10,0)$. $\therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOD}-S_{△ BOD}=\dfrac{1}{2}×10×4-\dfrac{1}{2}×10×1=15$.
(3) 如图,过点 A 作 $AE_1⊥ x$ 轴于点$E_1$,则$AE_1// OC$,$\therefore ∠ OAE_1=∠ AOC$. $\because A(2,4)$,$\therefore E_1(2,0)$. 作$∠ OAE_2=∠ AOC$(点$E_2$ 在 $y$ 轴左侧),$AE_2$ 交 $y$ 轴于点 $F$,过点 A 作 $AG⊥ y$ 轴于点 $G$. $\therefore OG=4$,$AG=2$. $\because ∠ OAE_2=∠ AOC$,$\therefore AF=OF$. 设 $OF=t$,则 $AF=t$. $\therefore FG=4-t$. 由勾股定理,可得 $AG^2+FG^2=AF^2$,$\therefore 2^2+(4-t)^2=t^2$,解得 $t=\dfrac{5}{2}$. $\therefore OF=\dfrac{5}{2}$,则$F(0,\dfrac{5}{2})$. 设直线 $AF$ 对应的函数表达式为 $y=cx+d$. 将$F(0,\dfrac{5}{2})$,$A(2,4)$代入,易得直线 $AF$ 对应的函数表达式为$y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2}$. 当 $y=0$ 时,$x=-\dfrac{10}{3}$,$\therefore E_2(-\dfrac{10}{3},0)$. 综上所述,点 $E$ 的坐标为$(2,0)$或$(-\dfrac{10}{3},0)$.
解析
【分析】
这道题是一次函数与反比例函数的综合题，我们可以按小问逐步梳理思路：
1. 第一问求一次函数表达式：首先已知点B在反比例函数上，代入B点坐标就能求出反比例的参数m，再把点A代入反比例函数求出A点的横坐标a，得到A、B两个点的完整坐标后，用待定系数法代入一次函数的一般式，解二元一次方程组就能得到一次函数的表达式。
2. 第二问求△AOB的面积：直接求△AOB的底和高比较麻烦，我们用割补法，先求出一次函数和x轴的交点D的坐标，把△AOB拆成△AOD减去△BOD，两个三角形都以OD为底，高分别是A点和B点的纵坐标，直接代入面积公式计算即可，非常简便。
3. 第三问求满足∠OAE=∠AOC的x轴上的点E：这里要注意分类讨论，第一种情况是AE平行于y轴（OC在y轴上），此时内错角相等，自然满足∠OAE=∠AOC，此时AE垂直x轴，E点横坐标和A点相同，直接得到第一个E点；第二种情况是E在x轴负半轴，此时利用等角对等边，AF=OF，设OF长度为t，在直角三角形AGF中用勾股定理求出t的值，得到直线AE经过的F点坐标，求出直线AE的解析式后，令y=0就能得到第二个E点，避免漏解。
【解析】
(1) 先求反比例函数解析式：
将$B(8,1)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$1=\dfrac{m}{8}$，解得$m=8$，因此反比例函数表达式为$y=\dfrac{8}{x}$。
将$A(a,4)$代入$y=\dfrac{8}{x}$，得$4=\dfrac{8}{a}$，解得$a=2$，即A点坐标为$(2,4)$。
设一次函数表达式为$y=kx+b$，将$A(2,4)$、$B(8,1)$代入得方程组：
$\begin{cases}4=2k+b\\1=8k+b\end{cases}$
两式相减得$3=-6k$，解得$k=-\dfrac{1}{2}$，把$k=-\dfrac{1}{2}$代入$4=2k+b$，得$4=-1+b$，解得$b=5$。
因此一次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+5$。
(2) 求△AOB的面积：
在一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+5$中，令$y=0$，得$0=-\dfrac{1}{2}x+5$，解得$x=10$，因此D点坐标为$(10,0)$，OD长度为10。
利用面积差计算：$S_{△ AOB}=S_{△ AOD}-S_{△ BOD}$
代入面积公式：
$S_{△ AOD}=\dfrac{1}{2}× OD × y_A=\dfrac{1}{2}×10×4=20$
$S_{△ BOD}=\dfrac{1}{2}× OD × y_B=\dfrac{1}{2}×10×1=5$
因此$S_{△ AOB}=20-5=15$。
(3) 分两种情况求点E的坐标：
① 第一种情况：过点A作$AE_1⊥ x$轴于点$E_1$，此时$AE_1// OC$，由平行线内错角相等可得$∠ OAE_1=∠ AOC$，满足条件。
已知$A(2,4)$，因此$E_1$的坐标为$(2,0)$。
② 第二种情况：点E在x轴负半轴，作$∠ OAE_2=∠ AOC$，$AE_2$交y轴于点F，过点A作$AG⊥ y$轴于点G。
由$A(2,4)$可得$AG=2$，$OG=4$。
因为$∠ OAE_2=∠ AOC$，所以$AF=OF$，设$OF=t$，则$AF=t$，$FG=OG-OF=4-t$。
在$Rt△ AGF$中，由勾股定理得：$AG^2+FG^2=AF^2$，代入得：
$2^2+(4-t)^2=t^2$
展开化简得$20=8t$，解得$t=\dfrac{5}{2}$，即F点坐标为$(0,\dfrac{5}{2})$。
设直线$AF$的解析式为$y=cx+d$，将$F(0,\dfrac{5}{2})$、$A(2,4)$代入得：
$\begin{cases}d=\dfrac{5}{2}\\4=2c+d\end{cases}$
解得$c=\dfrac{3}{4}$，$d=\dfrac{5}{2}$，因此直线AF的解析式为$y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2}$。
令$y=0$，得$0=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2}$，解得$x=-\dfrac{10}{3}$，即$E_2$的坐标为$(-\dfrac{10}{3},0)$。
综上，满足条件的E点坐标为$(2,0)$或$(-\dfrac{10}{3},0)$。
【答案】
(1) 一次函数的表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+5$；
(2) $△ AOB$ 的面积为15；
(3) 点E的坐标为$(2,0)$或$(-\dfrac{10}{3},0)$。
【知识点】
待定系数法求函数解析式，坐标系中图形面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合中档题，前两问属于常规基础考点，考察了待定系数法求函数解析式、割补法计算坐标系内三角形面积的核心技能；第三问需要结合等角条件分类讨论，容易遗漏x轴负半轴的解，考察了学生的数形结合能力和思维的严谨性，是区分度较高的小问。
【难度系数】
0.4
这道题是一次函数与反比例函数的综合题，我们可以按小问逐步梳理思路：
1. 第一问求一次函数表达式：首先已知点B在反比例函数上，代入B点坐标就能求出反比例的参数m，再把点A代入反比例函数求出A点的横坐标a，得到A、B两个点的完整坐标后，用待定系数法代入一次函数的一般式，解二元一次方程组就能得到一次函数的表达式。
2. 第二问求△AOB的面积：直接求△AOB的底和高比较麻烦，我们用割补法，先求出一次函数和x轴的交点D的坐标，把△AOB拆成△AOD减去△BOD，两个三角形都以OD为底，高分别是A点和B点的纵坐标，直接代入面积公式计算即可，非常简便。
3. 第三问求满足∠OAE=∠AOC的x轴上的点E：这里要注意分类讨论，第一种情况是AE平行于y轴（OC在y轴上），此时内错角相等，自然满足∠OAE=∠AOC，此时AE垂直x轴，E点横坐标和A点相同，直接得到第一个E点；第二种情况是E在x轴负半轴，此时利用等角对等边，AF=OF，设OF长度为t，在直角三角形AGF中用勾股定理求出t的值，得到直线AE经过的F点坐标，求出直线AE的解析式后，令y=0就能得到第二个E点，避免漏解。
【解析】
(1) 先求反比例函数解析式：
将$B(8,1)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$1=\dfrac{m}{8}$，解得$m=8$，因此反比例函数表达式为$y=\dfrac{8}{x}$。
将$A(a,4)$代入$y=\dfrac{8}{x}$，得$4=\dfrac{8}{a}$，解得$a=2$，即A点坐标为$(2,4)$。
设一次函数表达式为$y=kx+b$，将$A(2,4)$、$B(8,1)$代入得方程组：
$\begin{cases}4=2k+b\\1=8k+b\end{cases}$
两式相减得$3=-6k$，解得$k=-\dfrac{1}{2}$，把$k=-\dfrac{1}{2}$代入$4=2k+b$，得$4=-1+b$，解得$b=5$。
因此一次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+5$。
(2) 求△AOB的面积：
在一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+5$中，令$y=0$，得$0=-\dfrac{1}{2}x+5$，解得$x=10$，因此D点坐标为$(10,0)$，OD长度为10。
利用面积差计算：$S_{△ AOB}=S_{△ AOD}-S_{△ BOD}$
代入面积公式：
$S_{△ AOD}=\dfrac{1}{2}× OD × y_A=\dfrac{1}{2}×10×4=20$
$S_{△ BOD}=\dfrac{1}{2}× OD × y_B=\dfrac{1}{2}×10×1=5$
因此$S_{△ AOB}=20-5=15$。
(3) 分两种情况求点E的坐标：
① 第一种情况：过点A作$AE_1⊥ x$轴于点$E_1$，此时$AE_1// OC$，由平行线内错角相等可得$∠ OAE_1=∠ AOC$，满足条件。
已知$A(2,4)$，因此$E_1$的坐标为$(2,0)$。
② 第二种情况：点E在x轴负半轴，作$∠ OAE_2=∠ AOC$，$AE_2$交y轴于点F，过点A作$AG⊥ y$轴于点G。
由$A(2,4)$可得$AG=2$，$OG=4$。
因为$∠ OAE_2=∠ AOC$，所以$AF=OF$，设$OF=t$，则$AF=t$，$FG=OG-OF=4-t$。
在$Rt△ AGF$中，由勾股定理得：$AG^2+FG^2=AF^2$，代入得：
$2^2+(4-t)^2=t^2$
展开化简得$20=8t$，解得$t=\dfrac{5}{2}$，即F点坐标为$(0,\dfrac{5}{2})$。
设直线$AF$的解析式为$y=cx+d$，将$F(0,\dfrac{5}{2})$、$A(2,4)$代入得：
$\begin{cases}d=\dfrac{5}{2}\\4=2c+d\end{cases}$
解得$c=\dfrac{3}{4}$，$d=\dfrac{5}{2}$，因此直线AF的解析式为$y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2}$。
令$y=0$，得$0=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2}$，解得$x=-\dfrac{10}{3}$，即$E_2$的坐标为$(-\dfrac{10}{3},0)$。
综上，满足条件的E点坐标为$(2,0)$或$(-\dfrac{10}{3},0)$。
【答案】
(1) 一次函数的表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+5$；
(2) $△ AOB$ 的面积为15；
(3) 点E的坐标为$(2,0)$或$(-\dfrac{10}{3},0)$。
【知识点】
待定系数法求函数解析式，坐标系中图形面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合中档题，前两问属于常规基础考点，考察了待定系数法求函数解析式、割补法计算坐标系内三角形面积的核心技能；第三问需要结合等角条件分类讨论，容易遗漏x轴负半轴的解，考察了学生的数形结合能力和思维的严谨性，是区分度较高的小问。
【难度系数】
0.4
3. 如图,在平面直角坐标系中,正比例函数 $y=kx(k＞0)$ 与反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象交于 $A,C$ 两点. 已知点 $B$ 与点 $D$ 关于坐标原点 $O$ 成中心对称,且点 $B$ 的坐标为 $(m,0)$,其中 $m＞0$.
(1) 四边形 $ABCD$ 是
(2) 当点 $A$ 的坐标为 $(n,3)$ 时,若四边形 $ABCD$ 是矩形,求 $m,n$ 的值.
(3) 试探究:随着 $k$ 与 $m$ 的值的变化,四边形 $ABCD$ 能不能成为菱形? 若能,请直接写出 $k$ 的值;若不能,请说明理由.
(1) 四边形 $ABCD$ 是
平行四边形
(填四边形 $ABCD$ 的形状).(2) 当点 $A$ 的坐标为 $(n,3)$ 时,若四边形 $ABCD$ 是矩形,求 $m,n$ 的值.
(3) 试探究:随着 $k$ 与 $m$ 的值的变化,四边形 $ABCD$ 能不能成为菱形? 若能,请直接写出 $k$ 的值;若不能,请说明理由.
答案
3. (1) 平行四边形. $\because$ 正比例函数 $y=kx(k＞0)$ 与反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象交于 $A,C$ 两点,$\therefore$ 点 $A,C$ 关于原点$O$ 成中心对称. 又$\because$ 点 $B$ 与点 $D$ 关于坐标原点 $O$ 成中心对称,$\therefore$ 对角线 $BD,AC$ 互相平分. $\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
(2) $\because$ 点 $A(n,3)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上,$\therefore 3n=3$,解得 $n=1$. $\therefore$ 点 $A$ 的坐标为$(1,3)$. $\therefore$ 易得 $OA=\sqrt{10}$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形,$\therefore OA=\dfrac{1}{2}AC$,$OB=\dfrac{1}{2}BD$,$AC=BD$. $\therefore OB=OA=\sqrt{10}$. $\therefore m=\sqrt{10}$.
(3) 四边形 $ABCD$ 不能成为菱形. 理由: $\because$ 点 $A$ 在第一象限内,点 $B$ 在 $x$ 轴正半轴上,$\therefore ∠ AOB＜90°$. $\therefore AC$ 与$BD$ 不可能互相垂直. $\therefore$ 四边形 $ABCD$ 不能成为菱形.
(2) $\because$ 点 $A(n,3)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}$ 的图象上,$\therefore 3n=3$,解得 $n=1$. $\therefore$ 点 $A$ 的坐标为$(1,3)$. $\therefore$ 易得 $OA=\sqrt{10}$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形,$\therefore OA=\dfrac{1}{2}AC$,$OB=\dfrac{1}{2}BD$,$AC=BD$. $\therefore OB=OA=\sqrt{10}$. $\therefore m=\sqrt{10}$.
(3) 四边形 $ABCD$ 不能成为菱形. 理由: $\because$ 点 $A$ 在第一象限内,点 $B$ 在 $x$ 轴正半轴上,$\therefore ∠ AOB＜90°$. $\therefore AC$ 与$BD$ 不可能互相垂直. $\therefore$ 四边形 $ABCD$ 不能成为菱形.
解析
【分析】
我们可以分三步逐步推导解题：
1. 第一问：首先回忆正反比例函数交点的性质，两个函数的交点天然关于原点中心对称，已知B和D也关于原点中心对称，说明四边形ABCD的两条对角线AC、BD都被原点O平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定定理，直接得到四边形的形状。
2. 第二问：先把点A(n,3)代入反比例函数y=3/x，即可求出n的值，得到A点坐标后用勾股定理算出OA的长度；再利用矩形对角线相等且互相平分的性质，可得OB=OA，结合B点坐标(m,0)且m＞0的条件，直接求出m的值。
3. 第三问：菱形的核心判定要求是对角线互相垂直，本题中BD在x轴上，若要AC⊥BD，AC必须垂直于x轴落在y轴上，但A点是第一象限内的点，不可能在y轴上，∠AOB始终为锐角，AC不可能和BD垂直，因此四边形不可能成为菱形。
【解析】
(1) 推导过程：
∵ 正比例函数$y=kx(k＞0)$与反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象交于$A,C$两点，
∴ 点$A$、点$C$关于原点$O$成中心对称，即$OA=OC$。
又
∵ 点$B$与点$D$关于坐标原点$O$成中心对称，
∴ $OB=OD$。
因此四边形$ABCD$的对角线$AC$、$BD$互相平分，故四边形$ABCD$是平行四边形。
(2) 计算过程：
∵ 点$A(n,3)$在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上，
代入得$3n=3$，解得$n=1$，
∴ 点$A$的坐标为$(1,3)$。
由勾股定理得$OA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
∵ 四边形$ABCD$为矩形，矩形对角线相等且互相平分，
∴ $AC=BD$，$OA=\dfrac{1}{2}AC$，$OB=\dfrac{1}{2}BD$，可得$OB=OA=\sqrt{10}$。
又
∵ 点$B$的坐标为$(m,0)$，$m＞0$，
∴ $m=\sqrt{10}$。
(3) 存在性判断：
四边形$ABCD$不能成为菱形。
若四边形$ABCD$是菱形，则需要对角线$AC⊥ BD$，已知$BD$在$x$轴上，要满足垂直条件则$AC$必须落在$y$轴上，但点$A$在第一象限内，点$B$在$x$轴正半轴上，$∠ AOB＜90°$，$AC$与$BD$不可能互相垂直，因此四边形$ABCD$不能成为菱形。
【答案】
(1) 平行四边形；(2) $n=1$，$m=\sqrt{10}$；(3) 四边形$ABCD$不能成为菱形，理由如上。
【知识点】
平行四边形判定，反比例函数性质，特殊四边形性质
【点评】
本题将正反比例函数的图象特征与特殊平行四边形的判定结合，由浅入深设置问题，重点考察中心对称性质的灵活运用，第三问需要结合点的位置特征判断菱形存在的必要条件是否成立，整体难度适中，能有效考察学生对几何与函数综合知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.6
我们可以分三步逐步推导解题：
1. 第一问：首先回忆正反比例函数交点的性质，两个函数的交点天然关于原点中心对称，已知B和D也关于原点中心对称，说明四边形ABCD的两条对角线AC、BD都被原点O平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定定理，直接得到四边形的形状。
2. 第二问：先把点A(n,3)代入反比例函数y=3/x，即可求出n的值，得到A点坐标后用勾股定理算出OA的长度；再利用矩形对角线相等且互相平分的性质，可得OB=OA，结合B点坐标(m,0)且m＞0的条件，直接求出m的值。
3. 第三问：菱形的核心判定要求是对角线互相垂直，本题中BD在x轴上，若要AC⊥BD，AC必须垂直于x轴落在y轴上，但A点是第一象限内的点，不可能在y轴上，∠AOB始终为锐角，AC不可能和BD垂直，因此四边形不可能成为菱形。
【解析】
(1) 推导过程：
∵ 正比例函数$y=kx(k＞0)$与反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象交于$A,C$两点，
∴ 点$A$、点$C$关于原点$O$成中心对称，即$OA=OC$。
又
∵ 点$B$与点$D$关于坐标原点$O$成中心对称，
∴ $OB=OD$。
因此四边形$ABCD$的对角线$AC$、$BD$互相平分，故四边形$ABCD$是平行四边形。
(2) 计算过程：
∵ 点$A(n,3)$在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上，
代入得$3n=3$，解得$n=1$，
∴ 点$A$的坐标为$(1,3)$。
由勾股定理得$OA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
∵ 四边形$ABCD$为矩形，矩形对角线相等且互相平分，
∴ $AC=BD$，$OA=\dfrac{1}{2}AC$，$OB=\dfrac{1}{2}BD$，可得$OB=OA=\sqrt{10}$。
又
∵ 点$B$的坐标为$(m,0)$，$m＞0$，
∴ $m=\sqrt{10}$。
(3) 存在性判断：
四边形$ABCD$不能成为菱形。
若四边形$ABCD$是菱形，则需要对角线$AC⊥ BD$，已知$BD$在$x$轴上，要满足垂直条件则$AC$必须落在$y$轴上，但点$A$在第一象限内，点$B$在$x$轴正半轴上，$∠ AOB＜90°$，$AC$与$BD$不可能互相垂直，因此四边形$ABCD$不能成为菱形。
【答案】
(1) 平行四边形；(2) $n=1$，$m=\sqrt{10}$；(3) 四边形$ABCD$不能成为菱形，理由如上。
【知识点】
平行四边形判定，反比例函数性质，特殊四边形性质
【点评】
本题将正反比例函数的图象特征与特殊平行四边形的判定结合，由浅入深设置问题，重点考察中心对称性质的灵活运用，第三问需要结合点的位置特征判断菱形存在的必要条件是否成立，整体难度适中，能有效考察学生对几何与函数综合知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.6
