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6. 如图,一次函数$y=ax+b$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$的图象交于点$A(1,2),B(m,-1)$,则关于$x$的不等式$ax+b＞\dfrac{k}{x}$的解集是（
A.$x＜-2$或$0＜x＜1$
B.$x＜-1$或$0＜x＜2$
C.$-2＜x＜0$或$x＞1$
D.$-1＜x＜0$或$x＞2$
C
）A.$x＜-2$或$0＜x＜1$
B.$x＜-1$或$0＜x＜2$
C.$-2＜x＜0$或$x＞1$
D.$-1＜x＜0$或$x＞2$
答案
∵ 点$A(1,2)$在反比例函数图象上,
∴ $k=1×2=2$.
∴ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{2}{x}$.
∵ 点$B(m,-1)$在反比例函数图象上,
∴ $m=\dfrac{2}{-1}=-2$.
∴ $B(-2,-1)$.由题意知,关于$x$的不等式$ax+b＞\dfrac{k}{x}$的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围.
∴ 关于$x$的不等式$ax+b＞\dfrac{k}{x}$的解集为$-2＜x＜0$或$x＞1$.
解析
【分析】
我们要解不等式$ax+b ＞ \dfrac{k}{x}$，不需要直接求解复杂的分式不等式，用数形结合的思路会更简便：这个不等式的几何含义就是一次函数图像位于反比例函数图像上方时，对应的自变量$x$的取值范围。首先我们需要先确定两个函数交点的完整坐标：已知点$A(1,2)$在反比例函数上，先代入求出反比例的$k$值，再将点$B$的纵坐标代入反比例函数，求出$B$点的横坐标，得到两个交点的横坐标分别为$-2$和$1$。接下来以两个交点的横坐标、以及反比例函数无定义的$x=0$为分界点，划分区间逐一判断一次函数和反比例函数的上下位置，就能得到符合要求的$x$的范围。
【解析】
1. 求反比例函数解析式
已知$A(1,2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$上，代入得：
$k=1×2=2$，因此反比例函数解析式为$y=\dfrac{2}{x}$。
2. 求点$B$的坐标
将$B(m,-1)$代入$y=\dfrac{2}{x}$，得：
$-1=\dfrac{2}{m}$，解得$m=-2$，即$B$点坐标为$(-2,-1)$。
3. 结合图像判断不等式解集
不等式$ax+b＞\dfrac{k}{x}$的几何意义是一次函数图像在反比例函数图像上方的$x$的取值范围：
当$x＞0$时，两个函数的交点横坐标为$1$，在$x＞1$的区间，一次函数图像在反比例函数上方；
当$x＜0$时，两个函数的交点横坐标为$-2$，在$-2＜x＜0$的区间，一次函数图像在反比例函数上方。
因此不等式的解集为$-2＜x＜0$或$x＞1$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数解析式，函数与不等式，数形结合
【点评】
本题是一次函数与反比例函数综合的基础题型，核心考察数形结合思想，不需要复杂的代数运算，通过交点坐标划分区间，直接根据图像上下位置就能得到解集，需要注意反比例函数在$x=0$处无定义，要将$x$的正负区间分开讨论，避免漏解错解。
【难度系数】
0.7
我们要解不等式$ax+b ＞ \dfrac{k}{x}$，不需要直接求解复杂的分式不等式，用数形结合的思路会更简便：这个不等式的几何含义就是一次函数图像位于反比例函数图像上方时，对应的自变量$x$的取值范围。首先我们需要先确定两个函数交点的完整坐标：已知点$A(1,2)$在反比例函数上，先代入求出反比例的$k$值，再将点$B$的纵坐标代入反比例函数，求出$B$点的横坐标，得到两个交点的横坐标分别为$-2$和$1$。接下来以两个交点的横坐标、以及反比例函数无定义的$x=0$为分界点，划分区间逐一判断一次函数和反比例函数的上下位置，就能得到符合要求的$x$的范围。
【解析】
1. 求反比例函数解析式
已知$A(1,2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$上，代入得：
$k=1×2=2$，因此反比例函数解析式为$y=\dfrac{2}{x}$。
2. 求点$B$的坐标
将$B(m,-1)$代入$y=\dfrac{2}{x}$，得：
$-1=\dfrac{2}{m}$，解得$m=-2$，即$B$点坐标为$(-2,-1)$。
3. 结合图像判断不等式解集
不等式$ax+b＞\dfrac{k}{x}$的几何意义是一次函数图像在反比例函数图像上方的$x$的取值范围：
当$x＞0$时，两个函数的交点横坐标为$1$，在$x＞1$的区间，一次函数图像在反比例函数上方；
当$x＜0$时，两个函数的交点横坐标为$-2$，在$-2＜x＜0$的区间，一次函数图像在反比例函数上方。
因此不等式的解集为$-2＜x＜0$或$x＞1$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数解析式，函数与不等式，数形结合
【点评】
本题是一次函数与反比例函数综合的基础题型，核心考察数形结合思想，不需要复杂的代数运算，通过交点坐标划分区间，直接根据图像上下位置就能得到解集，需要注意反比例函数在$x=0$处无定义，要将$x$的正负区间分开讨论，避免漏解错解。
【难度系数】
0.7
7. 如图,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$和一次函数$y=ax+b$的图象交于$A(1,3)$和$B(-1.5,n)$两点.
(1) 求$k,n$的值.
(2) 直接写出关于$x$的不等式$ax+b ≤ \dfrac{k}{x}$的解集.
(3) 在$x$轴上找出一点$M$,使$MA+MB$的值最小,并求出点$M$的坐标;在$x$轴上画出点$N$,使$NA-NB$的值最大,并求出点$N$的坐标.
(1) 求$k,n$的值.
(2) 直接写出关于$x$的不等式$ax+b ≤ \dfrac{k}{x}$的解集.
(3) 在$x$轴上找出一点$M$,使$MA+MB$的值最小,并求出点$M$的坐标;在$x$轴上画出点$N$,使$NA-NB$的值最大,并求出点$N$的坐标.
答案
(1)
∵ 点$A(1,3)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上,
∴ $k=1×3=3$.
∴ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{3}{x}$.又
∵ 点$B(-1.5,n)$也在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上,
∴ $n=\dfrac{3}{-1.5}=-2$.
(2) $x≤-1.5$或$0＜x≤1$.
(3)
∵ A,B两点在x轴的两侧,点M在x轴上,
∴ 当A,B,M三点共线时,$MA+MB$的值最小.
∴ M为直线AB与x轴的交点.
∵ $A(1,3)$,$B(-1.5,-2)$,
∴ $\begin{cases} a+b=3, \\ -1.5a+b=-2, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=2, \\ b=1. \end{cases}$
∴ 直线AB对应的函数表达式为$y=2x+1$.当$y=0$时,$x=-\dfrac{1}{2}$.
∴ 点M的坐标为$(-\dfrac{1}{2},0)$.如图,作点B关于x轴的对称点$B_1$,连接$AB_1$并延长,交x轴于点N,连接NB.
∴ 此时$NB=NB_1$,则$NA-NB=NA-NB_1$有最大值.
∵ $B(-1.5,-2)$,且点B,$B_1$关于x轴对称,
∴ $B_1(-1.5,2)$.设直线$AB_1$对应的函数表达式为$y=cx+d$.将$A(1,3)$,$B_1(-1.5,2)$代入,得$\begin{cases} c+d=3, \\ -1.5c+d=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} c=\dfrac{2}{5}, \\ d=\dfrac{13}{5}. \end{cases}$
∴ 直线$AB_1$对应的函数表达式为$y=\dfrac{2}{5}x+\dfrac{13}{5}$.当$y=0$时,$x=-\dfrac{13}{2}$.
∴ 点N的坐标为$(-\dfrac{13}{2},0)$.
∵ 点$A(1,3)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上,
∴ $k=1×3=3$.
∴ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{3}{x}$.又
∵ 点$B(-1.5,n)$也在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上,
∴ $n=\dfrac{3}{-1.5}=-2$.
(2) $x≤-1.5$或$0＜x≤1$.
(3)
∵ A,B两点在x轴的两侧,点M在x轴上,
∴ 当A,B,M三点共线时,$MA+MB$的值最小.
∴ M为直线AB与x轴的交点.
∵ $A(1,3)$,$B(-1.5,-2)$,
∴ $\begin{cases} a+b=3, \\ -1.5a+b=-2, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=2, \\ b=1. \end{cases}$
∴ 直线AB对应的函数表达式为$y=2x+1$.当$y=0$时,$x=-\dfrac{1}{2}$.
∴ 点M的坐标为$(-\dfrac{1}{2},0)$.如图,作点B关于x轴的对称点$B_1$,连接$AB_1$并延长,交x轴于点N,连接NB.
∴ 此时$NB=NB_1$,则$NA-NB=NA-NB_1$有最大值.
∵ $B(-1.5,-2)$,且点B,$B_1$关于x轴对称,
∴ $B_1(-1.5,2)$.设直线$AB_1$对应的函数表达式为$y=cx+d$.将$A(1,3)$,$B_1(-1.5,2)$代入,得$\begin{cases} c+d=3, \\ -1.5c+d=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} c=\dfrac{2}{5}, \\ d=\dfrac{13}{5}. \end{cases}$
∴ 直线$AB_1$对应的函数表达式为$y=\dfrac{2}{5}x+\dfrac{13}{5}$.当$y=0$时,$x=-\dfrac{13}{2}$.
∴ 点N的坐标为$(-\dfrac{13}{2},0)$.
解析
【分析】
我们可以分三步梳理解题思路：
1. 第(1)问：利用反比例函数上任意点的横纵坐标乘积等于比例系数k的性质，将已知点A的坐标直接代入反比例函数解析式，就能求出k的值；得到完整的反比例函数表达式后，再将点B的横坐标代入，即可算出n的值。
2. 第(2)问：不等式$ax+b ≤ \dfrac{k}{x}$的几何意义是一次函数图像位于反比例函数图像下方（或相交）时对应的x的取值范围，结合两个交点的横坐标，同时注意反比例函数在x=0处无定义，分区间判断图像上下位置就能直接得到解集。
3. 第(3)问：第一部分求x轴上的M使MA+MB最小，观察图像可知A、B两点在x轴异侧，根据两点之间线段最短，直接连接AB，AB与x轴的交点就是满足条件的M，先通过A、B坐标求出直线AB的解析式，令y=0即可得到M的坐标。第二部分求x轴上的N使NA-NB最大，根据三角形两边之差小于第三边，NA-NB的最大值出现在三点共线时，由于A、B在x轴异侧，直接连线得到的差为负数，因此作点B关于x轴的对称点$B_1$，此时NB=NB₁，NA-NB=NA-NB₁，当A、$B_1$、N三点共线时差取最大值，求出直线$AB_1$的解析式后令y=0即可得到N的坐标。
【解析】
(1) 已知点$A(1,3)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，将$x=1,y=3$代入解析式得：
$k=1×3=3$，因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{3}{x}$。
又因为点$B(-1.5,n)$在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上，将$x=-1.5$代入得：
$n=\dfrac{3}{-1.5}=-2$。
(2) 观察函数图象，一次函数图象在反比例函数图象下方及交点处对应的x取值范围为$x≤-1.5$或$0＜x≤1$，因此不等式$ax+b ≤ \dfrac{k}{x}$的解集为$x≤-1.5$或$0＜x≤1$。
(3) ① 求点M：
由A、B两点在x轴两侧，根据两点之间线段最短，当A、B、M三点共线时，$MA+MB$取得最小值，即M为直线AB与x轴的交点。
将$A(1,3)$、$B(-1.5,-2)$代入一次函数$y=ax+b$得方程组：
$\begin{cases} a+b=3 \\ -1.5a+b=-2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=2 \\ b=1 \end{cases}$，因此直线AB的解析式为$y=2x+1$。
令$y=0$，得$2x+1=0$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$，因此点M的坐标为$(-\dfrac{1}{2},0)$。
② 求点N：
作点B关于x轴的对称点$B_1$，由$B(-1.5,-2)$可得$B_1(-1.5,2)$，根据轴对称性质$NB=NB_1$，因此$NA-NB=NA-NB_1$。
根据三角形两边之差小于第三边，$NA-NB_1 ≤ AB_1$，当A、$B_1$、N三点共线时，等号成立，此时$NA-NB$取得最大值。
设直线$AB_1$的解析式为$y=cx+d$，将$A(1,3)$、$B_1(-1.5,2)$代入得方程组：
$\begin{cases} c+d=3 \\ -1.5c+d=2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} c=\dfrac{2}{5} \\ d=\dfrac{13}{5} \end{cases}$，因此直线$AB_1$的解析式为$y=\dfrac{2}{5}x+\dfrac{13}{5}$。
令$y=0$，得$\dfrac{2}{5}x+\dfrac{13}{5}=0$，解得$x=-\dfrac{13}{2}$，因此点N的坐标为$(-\dfrac{13}{2},0)$。
【答案】
(1) $k=3$，$n=-2$；
(2) 不等式的解集为$x≤-1.5$或$0＜x≤1$；
(3) 点M的坐标为$(-\dfrac{1}{2},0)$，点N的坐标为$(-\dfrac{13}{2},0)$。
【知识点】
待定系数法求函数解析式，函数与不等式，轴对称最值问题
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题型，既考查了基础的待定系数法求函数解析式、利用数形结合思想解不等式的核心考点，又结合了线段和最小、线段差最大两个经典的几何最值模型，需要学生准确区分不同最值模型的适用条件，避免混淆对称点的构造逻辑，对学生的数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
我们可以分三步梳理解题思路：
1. 第(1)问：利用反比例函数上任意点的横纵坐标乘积等于比例系数k的性质，将已知点A的坐标直接代入反比例函数解析式，就能求出k的值；得到完整的反比例函数表达式后，再将点B的横坐标代入，即可算出n的值。
2. 第(2)问：不等式$ax+b ≤ \dfrac{k}{x}$的几何意义是一次函数图像位于反比例函数图像下方（或相交）时对应的x的取值范围，结合两个交点的横坐标，同时注意反比例函数在x=0处无定义，分区间判断图像上下位置就能直接得到解集。
3. 第(3)问：第一部分求x轴上的M使MA+MB最小，观察图像可知A、B两点在x轴异侧，根据两点之间线段最短，直接连接AB，AB与x轴的交点就是满足条件的M，先通过A、B坐标求出直线AB的解析式，令y=0即可得到M的坐标。第二部分求x轴上的N使NA-NB最大，根据三角形两边之差小于第三边，NA-NB的最大值出现在三点共线时，由于A、B在x轴异侧，直接连线得到的差为负数，因此作点B关于x轴的对称点$B_1$，此时NB=NB₁，NA-NB=NA-NB₁，当A、$B_1$、N三点共线时差取最大值，求出直线$AB_1$的解析式后令y=0即可得到N的坐标。
【解析】
(1) 已知点$A(1,3)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，将$x=1,y=3$代入解析式得：
$k=1×3=3$，因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{3}{x}$。
又因为点$B(-1.5,n)$在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上，将$x=-1.5$代入得：
$n=\dfrac{3}{-1.5}=-2$。
(2) 观察函数图象，一次函数图象在反比例函数图象下方及交点处对应的x取值范围为$x≤-1.5$或$0＜x≤1$，因此不等式$ax+b ≤ \dfrac{k}{x}$的解集为$x≤-1.5$或$0＜x≤1$。
(3) ① 求点M：
由A、B两点在x轴两侧，根据两点之间线段最短，当A、B、M三点共线时，$MA+MB$取得最小值，即M为直线AB与x轴的交点。
将$A(1,3)$、$B(-1.5,-2)$代入一次函数$y=ax+b$得方程组：
$\begin{cases} a+b=3 \\ -1.5a+b=-2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=2 \\ b=1 \end{cases}$，因此直线AB的解析式为$y=2x+1$。
令$y=0$，得$2x+1=0$，解得$x=-\dfrac{1}{2}$，因此点M的坐标为$(-\dfrac{1}{2},0)$。
② 求点N：
作点B关于x轴的对称点$B_1$，由$B(-1.5,-2)$可得$B_1(-1.5,2)$，根据轴对称性质$NB=NB_1$，因此$NA-NB=NA-NB_1$。
根据三角形两边之差小于第三边，$NA-NB_1 ≤ AB_1$，当A、$B_1$、N三点共线时，等号成立，此时$NA-NB$取得最大值。
设直线$AB_1$的解析式为$y=cx+d$，将$A(1,3)$、$B_1(-1.5,2)$代入得方程组：
$\begin{cases} c+d=3 \\ -1.5c+d=2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} c=\dfrac{2}{5} \\ d=\dfrac{13}{5} \end{cases}$，因此直线$AB_1$的解析式为$y=\dfrac{2}{5}x+\dfrac{13}{5}$。
令$y=0$，得$\dfrac{2}{5}x+\dfrac{13}{5}=0$，解得$x=-\dfrac{13}{2}$，因此点N的坐标为$(-\dfrac{13}{2},0)$。
【答案】
(1) $k=3$，$n=-2$；
(2) 不等式的解集为$x≤-1.5$或$0＜x≤1$；
(3) 点M的坐标为$(-\dfrac{1}{2},0)$，点N的坐标为$(-\dfrac{13}{2},0)$。
【知识点】
待定系数法求函数解析式，函数与不等式，轴对称最值问题
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题型，既考查了基础的待定系数法求函数解析式、利用数形结合思想解不等式的核心考点，又结合了线段和最小、线段差最大两个经典的几何最值模型，需要学生准确区分不同最值模型的适用条件，避免混淆对称点的构造逻辑，对学生的数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
8. [2025 雅安中考]如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $y=x+b$ 与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象交于A,B两点,其中点A,B的横坐标分别是-4和3.
(1) 直接写出关于 $x$ 的不等式 $x+b＞\dfrac{k}{x}$ 的解集.
(2) 求出一次函数和反比例函数的表达式.
(3) 直线 AB 交 $y$ 轴于点 $P$,将直线 $AB$ 向左平移 2 个单位长度,与反比例函数在第一象限的图象交于点 $C$,连接 $PC,BC$,求 $△ PBC$ 的面积.
(1) 直接写出关于 $x$ 的不等式 $x+b＞\dfrac{k}{x}$ 的解集.
(2) 求出一次函数和反比例函数的表达式.
(3) 直线 AB 交 $y$ 轴于点 $P$,将直线 $AB$ 向左平移 2 个单位长度,与反比例函数在第一象限的图象交于点 $C$,连接 $PC,BC$,求 $△ PBC$ 的面积.
答案
(1) $-4＜x＜0$或$x＞3$. 由函数图象可知,当$-4＜x＜0$或$x＞3$时,一次函数的图象在反比例函数图象的上方,即关于$x$的不等式$x+b＞\dfrac{k}{x}$的解集为$-4＜x＜0$或$x＞3$.
(2) 将$x=3$代入反比例函数的表达式,得$y=\dfrac{k}{3}$,
∴ 点B的坐标为$(3,\dfrac{k}{3})$.同理,可得点A的坐标为$(-4,-\dfrac{k}{4})$.将点A,B的坐标代入一次函数的表达式,得$\begin{cases} 3+b=\dfrac{k}{3}, \\ -4+b=-\dfrac{k}{4}, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=12, \\ b=1. \end{cases}$
∴ 一次函数的表达式为$y=x+1$,反比例函数的表达式为$y=\dfrac{12}{x}$.
(3) 设直线AB与x轴的交点为D,平移后得到的直线交x轴于点E,过点D作$DF⊥CE$于点F.
∵ 一次函数的表达式为$y=x+1$,
∴ 令$x=0$,得$y=1$;令$y=0$,则$x=-1$.
∴ $P(0,1)$,$D(-1,0)$.又
∵ 易得点B的坐标为$(3,4)$,
∴ $BP=\sqrt{(3-0)^2+(4-1)^2}=3\sqrt{2}$.
∴ $OD=OP=1$,则$∠PDO=45°$.又
∵ $CE// DP$,
∴ $∠FED=∠PDO=45°$.
∵ 直线CE是由直线AB向左平移2个单位长度得到的,
∴ $DE=2$.在$\mathrm{Rt}△ DEF$中,$∠FED=45°$,
∴ $∠FDE=∠FED=45°$.
∴ $EF=DF$.
∵ $EF^2+DF^2=DE^2$,$DE=2$,
∴ $EF=\sqrt{2}$.
∴ 点C到直线PB的距离为$\sqrt{2}$.
∴ $△ PBC$的面积$=\dfrac{1}{2}×\sqrt{2}BP=\dfrac{1}{2}×\sqrt{2}×3\sqrt{2}=3$.
(2) 将$x=3$代入反比例函数的表达式,得$y=\dfrac{k}{3}$,
∴ 点B的坐标为$(3,\dfrac{k}{3})$.同理,可得点A的坐标为$(-4,-\dfrac{k}{4})$.将点A,B的坐标代入一次函数的表达式,得$\begin{cases} 3+b=\dfrac{k}{3}, \\ -4+b=-\dfrac{k}{4}, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=12, \\ b=1. \end{cases}$
∴ 一次函数的表达式为$y=x+1$,反比例函数的表达式为$y=\dfrac{12}{x}$.
(3) 设直线AB与x轴的交点为D,平移后得到的直线交x轴于点E,过点D作$DF⊥CE$于点F.
∵ 一次函数的表达式为$y=x+1$,
∴ 令$x=0$,得$y=1$;令$y=0$,则$x=-1$.
∴ $P(0,1)$,$D(-1,0)$.又
∵ 易得点B的坐标为$(3,4)$,
∴ $BP=\sqrt{(3-0)^2+(4-1)^2}=3\sqrt{2}$.
∴ $OD=OP=1$,则$∠PDO=45°$.又
∵ $CE// DP$,
∴ $∠FED=∠PDO=45°$.
∵ 直线CE是由直线AB向左平移2个单位长度得到的,
∴ $DE=2$.在$\mathrm{Rt}△ DEF$中,$∠FED=45°$,
∴ $∠FDE=∠FED=45°$.
∴ $EF=DF$.
∵ $EF^2+DF^2=DE^2$,$DE=2$,
∴ $EF=\sqrt{2}$.
∴ 点C到直线PB的距离为$\sqrt{2}$.
∴ $△ PBC$的面积$=\dfrac{1}{2}×\sqrt{2}BP=\dfrac{1}{2}×\sqrt{2}×3\sqrt{2}=3$.
解析
【分析】
1. 第(1)问要解不等式$x+b＞\dfrac{k}{x}$，本质是找自变量$x$的取值范围，使得一次函数$y=x+b$的图像在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$图像的上方，已知两个交点横坐标为-4和3，结合反比例函数在$x=0$处无定义，直接从图像划分区间即可得到解集。
2. 第(2)问中A、B两点同时在两个函数图像上，先用参数$k$表示出A、B的坐标，再将两点代入一次函数解析式，得到关于$k$和$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出两个函数的表达式。
3. 第(3)问先根据直线平移规则得到平移后的直线解析式，利用平移后直线与原直线平行的性质，求出两条平行线的距离也就是点C到直线AB的距离，再算出线段BP的长度，代入三角形面积公式即可得到△PBC的面积。
【解析】
(1) 观察函数图象，一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的$x$取值范围就是不等式的解集，结合两交点横坐标为-4、3，且反比例函数在$x=0$处无意义，直接得到解集。
(2) 将$x=-4$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得点A坐标为$(-4,-\dfrac{k}{4})$；将$x=3$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得点B坐标为$(3,\dfrac{k}{3})$。
将A、B代入一次函数$y=x+b$，得方程组：
$\begin{cases} 3+b=\dfrac{k}{3} \\ -4+b=-\dfrac{k}{4} \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=12 \\ b=1\end{cases}$，即可得到两个函数的表达式。
(3) 在一次函数$y=x+1$中，令$x=0$得$y=1$，即$P(0,1)$；令$y=0$得$x=-1$，即直线AB与x轴交点$D(-1,0)$。将$x=3$代入$y=x+1$得$y=4$，即$B(3,4)$，计算得$BP=\sqrt{(3-0)^2+(4-1)^2}=3\sqrt{2}$。
直线AB向左平移2个单位后解析式为$y=(x+2)+1=x+3$，平移后直线与原直线AB平行，平移后直线交x轴于$E(-3,0)$，则$DE=2$。由于直线斜率为1，与x轴夹角为$45°$，因此两条平行线的距离也就是点C到直线AB的距离为$DE·\sin45°=\sqrt{2}$。
代入三角形面积公式得$S_{△ PBC}=\dfrac{1}{2}× BP × \sqrt{2}=\dfrac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{2}=3$。
【答案】
(1) $-4＜x＜0$或$x＞3$
(2) 一次函数表达式为$y=x+1$，反比例函数表达式为$y=\dfrac{12}{x}$
(3) $3$
【知识点】
数形结合解函数不等式，待定系数法求函数解析式，一次函数平移性质
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，梯度设置合理，第一问直接考察数形结合思想，入手难度低；第二问的待定系数法是函数模块的核心基础考点；第三问结合平移求三角形面积，既可以用平行线距离法简化计算，也可以用坐标割补法求解，能有效考察学生对函数性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问要解不等式$x+b＞\dfrac{k}{x}$，本质是找自变量$x$的取值范围，使得一次函数$y=x+b$的图像在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$图像的上方，已知两个交点横坐标为-4和3，结合反比例函数在$x=0$处无定义，直接从图像划分区间即可得到解集。
2. 第(2)问中A、B两点同时在两个函数图像上，先用参数$k$表示出A、B的坐标，再将两点代入一次函数解析式，得到关于$k$和$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出两个函数的表达式。
3. 第(3)问先根据直线平移规则得到平移后的直线解析式，利用平移后直线与原直线平行的性质，求出两条平行线的距离也就是点C到直线AB的距离，再算出线段BP的长度，代入三角形面积公式即可得到△PBC的面积。
【解析】
(1) 观察函数图象，一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的$x$取值范围就是不等式的解集，结合两交点横坐标为-4、3，且反比例函数在$x=0$处无意义，直接得到解集。
(2) 将$x=-4$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得点A坐标为$(-4,-\dfrac{k}{4})$；将$x=3$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得点B坐标为$(3,\dfrac{k}{3})$。
将A、B代入一次函数$y=x+b$，得方程组：
$\begin{cases} 3+b=\dfrac{k}{3} \\ -4+b=-\dfrac{k}{4} \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=12 \\ b=1\end{cases}$，即可得到两个函数的表达式。
(3) 在一次函数$y=x+1$中，令$x=0$得$y=1$，即$P(0,1)$；令$y=0$得$x=-1$，即直线AB与x轴交点$D(-1,0)$。将$x=3$代入$y=x+1$得$y=4$，即$B(3,4)$，计算得$BP=\sqrt{(3-0)^2+(4-1)^2}=3\sqrt{2}$。
直线AB向左平移2个单位后解析式为$y=(x+2)+1=x+3$，平移后直线与原直线AB平行，平移后直线交x轴于$E(-3,0)$，则$DE=2$。由于直线斜率为1，与x轴夹角为$45°$，因此两条平行线的距离也就是点C到直线AB的距离为$DE·\sin45°=\sqrt{2}$。
代入三角形面积公式得$S_{△ PBC}=\dfrac{1}{2}× BP × \sqrt{2}=\dfrac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{2}=3$。
【答案】
(1) $-4＜x＜0$或$x＞3$
(2) 一次函数表达式为$y=x+1$，反比例函数表达式为$y=\dfrac{12}{x}$
(3) $3$
【知识点】
数形结合解函数不等式，待定系数法求函数解析式，一次函数平移性质
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，梯度设置合理，第一问直接考察数形结合思想，入手难度低；第二问的待定系数法是函数模块的核心基础考点；第三问结合平移求三角形面积，既可以用平行线距离法简化计算，也可以用坐标割补法求解，能有效考察学生对函数性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
