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7. 如图,在$\odot O$中,$AB$是直径,直线$l$与$\odot O$相切于点$C$,$BD ⊥ l$,垂足为$D$.若$AB=15$,$BD=$12,则$CD$的长为（
A.4.8
B.5
C.5.4
D.6
D
）A.4.8
B.5
C.5.4
D.6
答案
7. D 解析:如图,连接$OC$,过点$O$作$OF⊥ BD$于点$F$,则$∠ OFD=∠ OFB=90°. \because$直线$l$与$\odot O$相切于点$C$,$BD⊥ l$于点$D$,$\therefore OC⊥ l,\therefore ∠ OFD=∠ OCD=∠ CDF=90°$,$\therefore$四边形$OCDF$是矩形. $\because AB=15,BD=12,\therefore FD=OC=OB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×15=\frac{15}{2},\therefore BF=BD-FD=12-\frac{15}{2}=\frac{9}{2},\therefore CD=OF=\sqrt{OB^2-BF^2}=\sqrt{(\frac{15}{2})^2-(\frac{9}{2})^2}=6.$
解析
【分析】
要解决本题，需利用圆的切线性质构造辅助线，将问题转化为矩形和直角三角形的计算。步骤如下：1. 连接圆心与切点C，得到OC，根据切线性质OC垂直于直线l；2. 过O作OF⊥BD，结合BD⊥l，可证四边形OCDF为矩形，进而得到CD=OF、OC=FD；3. 利用AB是直径求出OC的长度，再计算BF的长度，最后在Rt△OBF中用勾股定理求出OF，即CD的长。
【解析】
如图，连接OC，过点O作OF⊥BD于点F。
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥l，又BD⊥l，OF⊥BD，
∴∠OCD=∠CDF=∠OFD=90°，
∴四边形OCDF是矩形，
∴CD=OF，OC=FD。
∵AB是直径，AB=15，
∴OB=OC=15/2，
∴FD=15/2。
又BD=12，
∴BF=BD - FD=12 - 15/2=9/2。
在Rt△OBF中，OB=15/2，BF=9/2，由勾股定理得：OF=√(OB² - BF²)=√[(15/2)² - (9/2)²]=√[(225 - 81)/4]=√36=6，
∴CD=OF=6。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；矩形的判定；勾股定理
【点评】
本题通过构造辅助线，将切线问题转化为矩形和直角三角形的计算，考查了圆的切线性质、矩形的判定及勾股定理的应用，辅助线的构造是解题的关键。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需利用圆的切线性质构造辅助线，将问题转化为矩形和直角三角形的计算。步骤如下：1. 连接圆心与切点C，得到OC，根据切线性质OC垂直于直线l；2. 过O作OF⊥BD，结合BD⊥l，可证四边形OCDF为矩形，进而得到CD=OF、OC=FD；3. 利用AB是直径求出OC的长度，再计算BF的长度，最后在Rt△OBF中用勾股定理求出OF，即CD的长。
【解析】
如图，连接OC，过点O作OF⊥BD于点F。
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥l，又BD⊥l，OF⊥BD，
∴∠OCD=∠CDF=∠OFD=90°，
∴四边形OCDF是矩形，
∴CD=OF，OC=FD。
∵AB是直径，AB=15，
∴OB=OC=15/2，
∴FD=15/2。
又BD=12，
∴BF=BD - FD=12 - 15/2=9/2。
在Rt△OBF中，OB=15/2，BF=9/2，由勾股定理得：OF=√(OB² - BF²)=√[(15/2)² - (9/2)²]=√[(225 - 81)/4]=√36=6，
∴CD=OF=6。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；矩形的判定；勾股定理
【点评】
本题通过构造辅助线，将切线问题转化为矩形和直角三角形的计算，考查了圆的切线性质、矩形的判定及勾股定理的应用，辅助线的构造是解题的关键。
【难度系数】
0.6
8. (2025·北京)如图,$\odot O$是地球的示意图,其中$AB$表示赤道,$CD$、$EF$分别表示北回归线和南回归线,$∠ DOB=∠ FOB=23.5°$.夏至日正午时,太阳光线$GD$所在直线经过地心$O$,此时点$F$处的太阳高度角$∠ IFH$(即平行于$GD$的光线$HF$与$\odot O$的切线$FI$所成的锐角)的度数为
43°
.答案
8. $43°$ 解析:$\because ∠ DOB=∠ FOB=23.5°,\therefore ∠ DOF=∠ DOB+∠ FOB=23.5°+23.5°=47°. \because GD// HF,\therefore ∠ OFH=180°-∠ DOF=180°-47°=133°. \because FI$是$\odot O$的切线,$\therefore OF⊥ FI,\therefore ∠ OFI=90°,\therefore ∠ IFH=∠ OFH-∠ OFI=133°-90°=43°.$
解析
【分析】
要计算∠IFH，已知FI是⊙O的切线，根据圆的切线性质，切线垂直于过切点的半径，可得OF⊥FI，即∠OFI=90°，因此只需先求出∠OFH，再用∠OFH减去∠OFI即可。观察到GD//HF，根据平行线的同旁内角互补，∠OFH与∠DOF互补，所以先计算∠DOF的度数，结合已知角度可求出∠DOF，进而求出∠OFH，最终算出∠IFH。
【解析】
1. 计算∠DOF的度数：
已知∠DOB=∠FOB=23.5°，所以∠DOF=∠DOB + ∠FOB=23.5° + 23.5°=47°。
2. 利用平行线性质求∠OFH：
因为GD//HF，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠DOF + ∠OFH=180°，因此∠OFH=180° - ∠DOF=180° - 47°=133°。
3. 利用切线性质求∠IFH：
因为FI是⊙O的切线，根据“圆的切线垂直于过切点的半径”，可知OF⊥FI，即∠OFI=90°。
所以∠IFH=∠OFH - ∠OFI=133° - 90°=43°。
【答案】
43°
【知识点】
圆的切线性质、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题结合地球示意图考查几何角度的计算，需掌握切线性质和平行线的性质，解题步骤清晰，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
要计算∠IFH，已知FI是⊙O的切线，根据圆的切线性质，切线垂直于过切点的半径，可得OF⊥FI，即∠OFI=90°，因此只需先求出∠OFH，再用∠OFH减去∠OFI即可。观察到GD//HF，根据平行线的同旁内角互补，∠OFH与∠DOF互补，所以先计算∠DOF的度数，结合已知角度可求出∠DOF，进而求出∠OFH，最终算出∠IFH。
【解析】
1. 计算∠DOF的度数：
已知∠DOB=∠FOB=23.5°，所以∠DOF=∠DOB + ∠FOB=23.5° + 23.5°=47°。
2. 利用平行线性质求∠OFH：
因为GD//HF，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠DOF + ∠OFH=180°，因此∠OFH=180° - ∠DOF=180° - 47°=133°。
3. 利用切线性质求∠IFH：
因为FI是⊙O的切线，根据“圆的切线垂直于过切点的半径”，可知OF⊥FI，即∠OFI=90°。
所以∠IFH=∠OFH - ∠OFI=133° - 90°=43°。
【答案】
43°
【知识点】
圆的切线性质、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题结合地球示意图考查几何角度的计算，需掌握切线性质和平行线的性质，解题步骤清晰，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
9. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$P$在第一象限,$\odot P$与$x$轴、$y$轴都相切,且经过矩形$AOBC$的顶点$C$,与$BC$相交于点$D$.若$\odot P$的半径为5,点$A$的坐标是$(0,8)$,则点$D$的坐标是
(9,2)
.答案
9. $(9,2)$ 解析:设$\odot O$与$x$、$y$轴相切的切点分别是$F$、$E$,连接$PE$、$PF$、$PD$,延长$EP$与$CD$交于点$G$,则$PE⊥ y$轴,$PF⊥ x$轴. 又$\because ∠ EOF=90°$,$\therefore$四边形$PEOF$是矩形. $\because PE=PF$,$PE// OF$,$\therefore$四边形$PEOF$为正方形,$\therefore OE=PF=PE=OF=5. \because A(0,8),\therefore OA=8,\therefore AE=8-5=3. \because$四边形$OACB$为矩形,$\therefore BC=OA=8$,$BC// OA$,$AC// OB$,$\therefore EG// AC$,$\therefore$四边形$AEGC$为平行四边形,四边形$OEGB$为平行四边形,$\therefore CG=AE=3$,$EG=OB. \because PE⊥ AO$,$AO// CB$,$\therefore PG⊥ CD$,$\therefore CD=2CG=6$,$\therefore DB=BC-CD=8-6=2. \because PD=5$,$DG=CG=3$,$\therefore PG=4$,$\therefore OB=EG=5+4=9$,$\therefore D(9,2).$
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合圆的切线性质、正方形判定、垂径定理及矩形性质解题。首先连接圆与坐标轴的切点构造正方形，求出基础线段长度；再利用矩形的平行关系得到线段相等，结合垂径定理计算CD的长度，进而求出DB；最后通过勾股定理算出PG，得到OB的长度，从而确定点D的坐标。
【解析】
设$\odot P$与$x$轴、$y$轴的切点分别为$F$、$E$，连接$PE$、$PF$、$PD$，延长$EP$交$CD$于点$G$。
1. 因为$PE ⊥ y$轴，$PF ⊥ x$轴，$∠ EOF=90°$，所以四边形$PEOF$是矩形。又$\odot P$半径为5，故$PE=PF=5$，因此四边形$PEOF$为正方形，得$OE=OF=5$。
2. 已知点$A(0,8)$，则$OA=8$，所以$AE=OA - OE=8-5=3$。
3. 因为四边形$AOBC$是矩形，所以$BC=OA=8$，$AC // OB$，$BC // OA$。又$EG // AC$，故四边形$AEGC$是平行四边形，得$CG=AE=3$，$EG=OB$。
4. 由于$PE ⊥ AO$，$AO // CB$，所以$PG ⊥ CD$，根据垂径定理，$CD=2CG=6$，因此$DB=BC - CD=8-6=2$。
5. 在$\mathrm{Rt}△ PDG$中，$PD=5$，$DG=CG=3$，由勾股定理得$PG=\sqrt{PD^2 - DG^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，故$OB=EG=EP + PG=5+4=9$。
综上，点$D$的坐标为$(9,2)$。
【答案】
$(9,2)$
【知识点】
圆的切线性质、垂径定理、矩形性质
【点评】
本题综合考查圆的性质与坐标系中几何图形的应用，需通过构造辅助线转化线段关系，侧重几何定理的综合运用，难度中等。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需结合圆的切线性质、正方形判定、垂径定理及矩形性质解题。首先连接圆与坐标轴的切点构造正方形，求出基础线段长度；再利用矩形的平行关系得到线段相等，结合垂径定理计算CD的长度，进而求出DB；最后通过勾股定理算出PG，得到OB的长度，从而确定点D的坐标。
【解析】
设$\odot P$与$x$轴、$y$轴的切点分别为$F$、$E$，连接$PE$、$PF$、$PD$，延长$EP$交$CD$于点$G$。
1. 因为$PE ⊥ y$轴，$PF ⊥ x$轴，$∠ EOF=90°$，所以四边形$PEOF$是矩形。又$\odot P$半径为5，故$PE=PF=5$，因此四边形$PEOF$为正方形，得$OE=OF=5$。
2. 已知点$A(0,8)$，则$OA=8$，所以$AE=OA - OE=8-5=3$。
3. 因为四边形$AOBC$是矩形，所以$BC=OA=8$，$AC // OB$，$BC // OA$。又$EG // AC$，故四边形$AEGC$是平行四边形，得$CG=AE=3$，$EG=OB$。
4. 由于$PE ⊥ AO$，$AO // CB$，所以$PG ⊥ CD$，根据垂径定理，$CD=2CG=6$，因此$DB=BC - CD=8-6=2$。
5. 在$\mathrm{Rt}△ PDG$中，$PD=5$，$DG=CG=3$，由勾股定理得$PG=\sqrt{PD^2 - DG^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，故$OB=EG=EP + PG=5+4=9$。
综上，点$D$的坐标为$(9,2)$。
【答案】
$(9,2)$
【知识点】
圆的切线性质、垂径定理、矩形性质
【点评】
本题综合考查圆的性质与坐标系中几何图形的应用，需通过构造辅助线转化线段关系，侧重几何定理的综合运用，难度中等。
【难度系数】
0.5
10. 如图,在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$OB=2\sqrt{3}$,$∠ A=30^{ \circ }$,$\odot O$的半径为$1$,$P$是边$AB$上的动点,过点$P$作$\odot O$的一条切线$PQ$($Q$为切点),则线段$PQ$长的最小值为
$2\sqrt{2}$
.答案
10. $2\sqrt{2}$ 解析:连接$OQ$、$OP. \because PQ$为$\odot O$的切线,$\therefore ∠ OQP=90°$,$\therefore PQ^2=OP^2-OQ^2=OP^2-1$,$\therefore$当$OP$取得最小值时,$PQ$取得最小值,当$OP⊥ AB$时,$PQ$取得最小值. $\because ∠ A=30°$,$\therefore ∠ B=60°. \because ∠ OPB=90°$,$\therefore ∠ BOP=30°. \because OB=2\sqrt{3}$,$\therefore BP=\sqrt{3}$,$\therefore OP=3$,$\therefore PQ=\sqrt{3^2-1}=2\sqrt{2}$,即线段$PQ$长的最小值为$2\sqrt{2}.$
解析
【分析】
要解决线段PQ的最小值问题，首先利用切线的性质建立PQ与OP的关系：连接切点Q和圆心O，可得直角三角形OQP，根据勾股定理，PQ的长度由OP的长度决定（OQ为固定半径）；再结合“垂线段最短”，确定OP取最小值的情况（当OP⊥AB时OP最小），最后通过直角三角形的边角关系计算OP的最小值，进而求出PQ的最小值。
【解析】
连接OQ、OP。
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，即∠OQP=90°。
在Rt△OQP中，由勾股定理得：$PQ^2 = OP^2 - OQ^2$。
已知⊙O的半径OQ=1，因此$PQ^2 = OP^2 - 1$，故当OP取最小值时，PQ取得最小值。
根据“垂线段最短”，当OP⊥AB时，OP的长度最小。
在Rt△AOB中，∠A=30°，∠AOB=90°，则∠B=60°。
当OP⊥AB时，△OPB为直角三角形，∠OPB=90°，故∠BOP=30°。
已知OB=2√3，在Rt△OPB中，$OP = OB · \cos30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$。
将OP=3代入$PQ^2 = OP^2 -1$，得$PQ^2 = 3^2 -1 = 8$，因此$PQ = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
切线的性质、垂线段最短、勾股定理
【点评】
本题结合切线性质与直角三角形计算，考查几何最值问题，核心是利用切线性质将PQ的最值转化为OP的最值，再通过垂线段最短确定OP的最小值，需熟练掌握切线性质和直角三角形边角关系。
【难度系数】
0.5
要解决线段PQ的最小值问题，首先利用切线的性质建立PQ与OP的关系：连接切点Q和圆心O，可得直角三角形OQP，根据勾股定理，PQ的长度由OP的长度决定（OQ为固定半径）；再结合“垂线段最短”，确定OP取最小值的情况（当OP⊥AB时OP最小），最后通过直角三角形的边角关系计算OP的最小值，进而求出PQ的最小值。
【解析】
连接OQ、OP。
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，即∠OQP=90°。
在Rt△OQP中，由勾股定理得：$PQ^2 = OP^2 - OQ^2$。
已知⊙O的半径OQ=1，因此$PQ^2 = OP^2 - 1$，故当OP取最小值时，PQ取得最小值。
根据“垂线段最短”，当OP⊥AB时，OP的长度最小。
在Rt△AOB中，∠A=30°，∠AOB=90°，则∠B=60°。
当OP⊥AB时，△OPB为直角三角形，∠OPB=90°，故∠BOP=30°。
已知OB=2√3，在Rt△OPB中，$OP = OB · \cos30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$。
将OP=3代入$PQ^2 = OP^2 -1$，得$PQ^2 = 3^2 -1 = 8$，因此$PQ = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
切线的性质、垂线段最短、勾股定理
【点评】
本题结合切线性质与直角三角形计算，考查几何最值问题，核心是利用切线性质将PQ的最值转化为OP的最值，再通过垂线段最短确定OP的最小值，需熟练掌握切线性质和直角三角形边角关系。
【难度系数】
0.5
11. 如图,点 $P$ 在 $\odot O$ 上,用两种不同的方法,过点 $P$ 作 $\odot O$ 的切线,要求:(1)用直尺和圆规作图;(2)保留作图的痕迹,写出必要的文字说明.
答案
11. 作法一如图1,步骤:(1)以点$P$为圆心、$OP$的长为半径画弧,交$\odot O$于点$A$;(2)连接$OA$并延长至点$B$,使$AB=OA$;(3)作直线$PB$,则$PB$是$\odot O$的切线.
作法二如图2,步骤:(1)作直径$PA$;(2)作直径$AP$的垂直平分线;(3)在$AP$的垂直平分线上取一点$C$,以点$P$为圆心、$OC$的长为半径画第一条弧,以点$C$为圆心、$OP$的长为半径画第二条弧,两弧交于点$D$;(4)作直线$PD$,则$PD$是$\odot O$的切线.
解析
【分析】
要过圆上一点作切线，需依据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，核心是构造过点P且垂直于OP的直线。本题通过两种不同的尺规构造方法实现垂直关系，从而得到⊙O的切线。
【解析】
分两种作法：
作法一（对应图1）：
步骤：
(1) 以点P为圆心，OP的长度为半径画弧，交⊙O于点A；
(2) 连接OA并延长，在延长线上取点B，使AB = OA；
(3) 作直线PB，则PB是⊙O的切线。
作法二（对应图2）：
步骤：
(1) 作⊙O的直径PA；
(2) 作直径PA的垂直平分线；
(3) 在PA的垂直平分线上取点C，以点P为圆心、OC的长度为半径画弧，以点C为圆心、OP的长度为半径画弧，两弧交于点D；
(4) 作直线PD，则PD是⊙O的切线。
【答案】
作法一：PB为⊙O的切线（如图1）；作法二：PD为⊙O的切线（如图2）
【知识点】
切线的判定定理、尺规作图
【点评】
本题考查过圆上一点作圆的切线，核心是利用切线判定定理构造垂直关系，通过不同尺规方法实现作图，巩固切线判定的应用，属于几何基础作图题。
【难度系数】
0.5
要过圆上一点作切线，需依据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，核心是构造过点P且垂直于OP的直线。本题通过两种不同的尺规构造方法实现垂直关系，从而得到⊙O的切线。
【解析】
分两种作法：
作法一（对应图1）：
步骤：
(1) 以点P为圆心，OP的长度为半径画弧，交⊙O于点A；
(2) 连接OA并延长，在延长线上取点B，使AB = OA；
(3) 作直线PB，则PB是⊙O的切线。
作法二（对应图2）：
步骤：
(1) 作⊙O的直径PA；
(2) 作直径PA的垂直平分线；
(3) 在PA的垂直平分线上取点C，以点P为圆心、OC的长度为半径画弧，以点C为圆心、OP的长度为半径画弧，两弧交于点D；
(4) 作直线PD，则PD是⊙O的切线。
【答案】
作法一：PB为⊙O的切线（如图1）；作法二：PD为⊙O的切线（如图2）
【知识点】
切线的判定定理、尺规作图
【点评】
本题考查过圆上一点作圆的切线，核心是利用切线判定定理构造垂直关系，通过不同尺规方法实现作图，巩固切线判定的应用，属于几何基础作图题。
【难度系数】
0.5
12. 如图,在$△ ABC$中,$D$为边$BC$上的一个动点,以$CD$为直径的$\odot O$交$AD$于点$E$,过点$C$作$CF// AB$,交$\odot O$于点$F$.连接$CE$、$EF$,若$AC$是$\odot O$的切线.
(1)求证:$∠ BAC=∠ CEF$.
(2)若$AB=10$,$AC=6$,$CE=EF$,求直径$CD$的长.
(1)求证:$∠ BAC=∠ CEF$.
(2)若$AB=10$,$AC=6$,$CE=EF$,求直径$CD$的长.
答案
12. (1)证明:$\because CF// AB$,$\therefore ∠ B=∠ FCB. \because ∠ FCB=∠ DEF$,$\therefore ∠ B=∠ DEF$. 又$\because AC$是$\odot O$的切线,$\therefore ∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ BAC+∠ B=90°$,$\therefore ∠ BAC+∠ DEF=90°. \because CD$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ CED=90°$,$\therefore ∠ DEF+∠ CEF=90°$,$\therefore ∠ BAC=∠ CEF$.
(2)连接$FD$并延长,交$AB$于点$G$.
$\because CE=EF$,$\therefore ∠ EFC=∠ ECF. \because$四边形$CEDF$为圆内接四边形,$\therefore ∠ ADG=∠ ECF$. 又$\because ∠ CDE=∠ CFE$,$\therefore ∠ ADG=∠ CDE. \because CD$为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ DFC=90°. \because FC// AB$,$\therefore ∠ FGA=90°$,$\therefore ∠ FGA=∠ ACD. \because AD=AD$,$\therefore △ AGD≌△ ACD(\mathrm{AAS})$,$\therefore DG=CD$,$AC=AG=6. \because ∠ ACB=90°$,$AB=10$,$AC=6$,$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=8$. 设$CD=x$,则$BD=BC-CD=8-x$,$BG=AB-AG=10-6=4$,$DG=CD=x$.
$\because BG^2+DG^2=BD^2$,$\therefore 4^2+x^2=(8-x)^2$,解得$x=3$,即$CD=3.$
(2)连接$FD$并延长,交$AB$于点$G$.
$\because CE=EF$,$\therefore ∠ EFC=∠ ECF. \because$四边形$CEDF$为圆内接四边形,$\therefore ∠ ADG=∠ ECF$. 又$\because ∠ CDE=∠ CFE$,$\therefore ∠ ADG=∠ CDE. \because CD$为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ DFC=90°. \because FC// AB$,$\therefore ∠ FGA=90°$,$\therefore ∠ FGA=∠ ACD. \because AD=AD$,$\therefore △ AGD≌△ ACD(\mathrm{AAS})$,$\therefore DG=CD$,$AC=AG=6. \because ∠ ACB=90°$,$AB=10$,$AC=6$,$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=8$. 设$CD=x$,则$BD=BC-CD=8-x$,$BG=AB-AG=10-6=4$,$DG=CD=x$.
$\because BG^2+DG^2=BD^2$,$\therefore 4^2+x^2=(8-x)^2$,解得$x=3$,即$CD=3.$
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需通过平行线性质、圆周角定理、切线性质及同角的余角相等来推导角相等；第(2)问需结合等腰三角形性质、圆内接四边形性质、全等三角形判定及勾股定理求解直径长度。先利用平行线和圆周角定理得到角的等量关系，再结合切线与直径的直角性质完成第(1)问的证明；第(2)问通过CE=EF得到角相等，结合圆内接四边形性质证明三角形全等，最后用勾股定理列方程计算CD的长。
【解析】
(1)证明：
∵ $CF// AB$，
∴ $∠ B = ∠ FCB$（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ $∠ FCB$与$∠ DEF$都是弧$DF$所对的圆周角，
∴ $∠ FCB = ∠ DEF$（同弧所对的圆周角相等），
∴ $∠ B = ∠ DEF$。
∵ $AC$是$\odot O$的切线，$CD$是$\odot O$的直径，根据切线性质，切线与过切点的半径垂直，得$∠ ACB=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ B = 90°$，
∴ $∠ BAC + ∠ DEF = 90°$。
又
∵ $CD$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ CED=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∴ $∠ DEF + ∠ CEF = 90°$，
∴ $∠ BAC = ∠ CEF$（同角的余角相等）。
(2)解：连接$FD$并延长，交$AB$于点$G$。
∵ $CE=EF$，
∴ $∠ EFC=∠ ECF$（等腰三角形两底角相等）。
∵ 四边形$CEDF$是圆内接四边形，
∴ $∠ ADG=∠ ECF$（圆内接四边形的外角等于内对角），
又
∵ $∠ CDE=∠ CFE$（同弧$CE$所对的圆周角相等），
∴ $∠ ADG=∠ CDE$。
∵ $CD$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ DFC=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∵ $CF// AB$，
∴ $∠ FGA=∠ DFC=90°$（两直线平行，同位角相等），即$∠ FGA=∠ ACD=90°$。
在$△ AGD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ AGD=∠ ACD \\∠ ADG=∠ ADC \\AD=AD\end{cases}$
∴ $△ AGD≌△ ACD$（$\mathrm{AAS}$），
∴ $AG=AC=6$，$DG=CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=10$，$AC=6$，$∠ ACB=90°$，
∴ $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
设$CD=x$，则$DG=x$，$BD=BC-CD=8-x$，$BG=AB-AG=10-6=4$。
在$\mathrm{Rt}△ BGD$中，由勾股定理得：$BG^2 + DG^2 = BD^2$，
即$4^2 + x^2=(8-x)^2$，
展开得：$16+x^2=64-16x+x^2$，
化简得：$16x=48$，解得$x=3$，即$CD=3$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$CD=3$
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的性质与三角形相关知识，需熟练掌握切线、圆周角、圆内接四边形的性质，以及全等三角形判定和勾股定理的应用，逻辑推导步骤较多，对学生综合运用知识的能力要求较高。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问需通过平行线性质、圆周角定理、切线性质及同角的余角相等来推导角相等；第(2)问需结合等腰三角形性质、圆内接四边形性质、全等三角形判定及勾股定理求解直径长度。先利用平行线和圆周角定理得到角的等量关系，再结合切线与直径的直角性质完成第(1)问的证明；第(2)问通过CE=EF得到角相等，结合圆内接四边形性质证明三角形全等，最后用勾股定理列方程计算CD的长。
【解析】
(1)证明：
∵ $CF// AB$，
∴ $∠ B = ∠ FCB$（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ $∠ FCB$与$∠ DEF$都是弧$DF$所对的圆周角，
∴ $∠ FCB = ∠ DEF$（同弧所对的圆周角相等），
∴ $∠ B = ∠ DEF$。
∵ $AC$是$\odot O$的切线，$CD$是$\odot O$的直径，根据切线性质，切线与过切点的半径垂直，得$∠ ACB=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ B = 90°$，
∴ $∠ BAC + ∠ DEF = 90°$。
又
∵ $CD$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ CED=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∴ $∠ DEF + ∠ CEF = 90°$，
∴ $∠ BAC = ∠ CEF$（同角的余角相等）。
(2)解：连接$FD$并延长，交$AB$于点$G$。
∵ $CE=EF$，
∴ $∠ EFC=∠ ECF$（等腰三角形两底角相等）。
∵ 四边形$CEDF$是圆内接四边形，
∴ $∠ ADG=∠ ECF$（圆内接四边形的外角等于内对角），
又
∵ $∠ CDE=∠ CFE$（同弧$CE$所对的圆周角相等），
∴ $∠ ADG=∠ CDE$。
∵ $CD$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ DFC=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∵ $CF// AB$，
∴ $∠ FGA=∠ DFC=90°$（两直线平行，同位角相等），即$∠ FGA=∠ ACD=90°$。
在$△ AGD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ AGD=∠ ACD \\∠ ADG=∠ ADC \\AD=AD\end{cases}$
∴ $△ AGD≌△ ACD$（$\mathrm{AAS}$），
∴ $AG=AC=6$，$DG=CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=10$，$AC=6$，$∠ ACB=90°$，
∴ $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
设$CD=x$，则$DG=x$，$BD=BC-CD=8-x$，$BG=AB-AG=10-6=4$。
在$\mathrm{Rt}△ BGD$中，由勾股定理得：$BG^2 + DG^2 = BD^2$，
即$4^2 + x^2=(8-x)^2$，
展开得：$16+x^2=64-16x+x^2$，
化简得：$16x=48$，解得$x=3$，即$CD=3$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$CD=3$
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的性质与三角形相关知识，需熟练掌握切线、圆周角、圆内接四边形的性质，以及全等三角形判定和勾股定理的应用，逻辑推导步骤较多，对学生综合运用知识的能力要求较高。
【难度系数】
0.5
