1. (教材例题变式)(2024·福建)如图,已知点 A、B 在$\odot O$上,$∠ AOB=72^{\circ }$,直线 MN 与$\odot O$相切,切点为 C,且 C 为$\overset{\frown}{AB}$的中点,则$∠ ACM$的度数为（）

A.$18^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$36^{\circ }$
D.$72^{\circ }$

1. A 解析:$\because C$ 为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ AOB=72°,\therefore ∠ AOC=∠ BOC=36°.\because OA=OC,\therefore ∠ ACO=∠ OAC=72°.\because$直线MN与$\odot O$相切,切点为$C,\therefore ∠ OCM=90°,\therefore ∠ ACM=∠ OCM-∠ ACO=90°-72°=18°.$

【分析】
要解决本题，需结合圆的弧中点性质、等腰三角形性质和切线的性质逐步推导：首先利用弧中点平分圆心角得到∠AOC的度数，再由等腰三角形内角和算出∠ACO，最后根据切线与半径垂直的性质，通过角的和差求出∠ACM的度数。
【解析】
1. 因为C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据“等弧对应的圆心角相等”，已知$∠ AOB=72°$，所以$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×72°=36°$。
2. 因为OA、OC都是$\odot O$的半径，故OA=OC，$△ OAC$为等腰三角形，根据等腰三角形内角和定理，$∠ ACO=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
3. 由于直线MN与$\odot O$相切于点C，根据“圆的切线垂直于过切点的半径”，可得$OC⊥ MN$，即$∠ OCM=90°$。
4. 因此$∠ ACM=∠ OCM-∠ ACO=90°-72°=18°$。
【答案】
A
【知识点】
圆的切线性质；圆心角与弧的关系；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆的基础变式题，核心考查圆的切线性质、圆心角与弧的对应关系及等腰三角形的角度计算，步骤清晰，侧重对圆基本性质的应用，难度较低。
【难度系数】
0.6

2. 如图，$AC$是$\odot O$的切线，$B$为切点，连接$OA$、$OC$。若$∠ A=30°$，$AB=2\sqrt{3}$，$BC=4$，则$OC$的长为（）

A.$2\sqrt{5}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$5$
D.$\sqrt{13}$

2. A 解析:如图,连接$OB$,$\because AC$是$\odot O$的切线,$B$为切点,$\therefore OB⊥ AC,\because ∠ A=30°,AB=2\sqrt{3},\therefore OB=2,\because BC=4,\therefore OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=2\sqrt{5}.$

【分析】
要解决本题，需利用圆的切线性质构造直角三角形，结合直角三角形的三角函数和勾股定理计算线段长度。首先，根据切线性质，切线垂直于过切点的半径，连接OB后可得OB⊥AC，形成两个直角三角形；再在Rt△OAB中，结合已知的∠A和AB长度求出OB；最后在Rt△OBC中用勾股定理算出OC。
【解析】
连接OB，
∵AC是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AC，即∠OBA=∠OBC=90°。
在Rt△OAB中，∠A=30°，AB=2√3，
由三角函数定义：tanA = OB/AB，
则OB = AB·tan30° = 2√3 × (√3/3) = 2。
在Rt△OBC中，OB=2，BC=4，
根据勾股定理：OC = √(OB² + BC²) = √(2² + 4²) = √20 = 2√5。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质、直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题考查切线性质及直角三角形的计算，核心是利用切线性质构造直角三角形，结合三角函数和勾股定理求解，属于基础几何计算题，难度适中。
【难度系数】
0.5

3. (2025·安徽) 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的弦，$PB$ 与 $\odot O$ 相切于点 $B$，圆心 $O$ 在线段 $PA$ 上. 已知$∠ P=50^{ \circ }$，则 $∠ PAB$ 的度数为.

3. $20°$ 解析:如图,连接$OB. \because PB$与$\odot O$相切于点$B$,$\therefore PB⊥ OB,\therefore ∠ OBP=90°. \because ∠ P=50°,\therefore ∠ POB=90°-∠ P=40°,\therefore ∠ PAB=\frac{1}{2}∠ POB=20°.$

【分析】要解决这道题，需结合圆的切线性质和圆周角定理：首先，PB是⊙O的切线，连接过切点B的半径OB，根据切线性质可得OB⊥PB；再结合△OBP的内角和算出圆心角∠POB；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠PAB的度数。
【解析】连接OB。
∵ PB与⊙O相切于点B，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴ OB⊥PB，即∠OBP=90°。
在△OBP中，∠P=50°，根据三角形内角和为180°，得∠POB=180°−∠OBP−∠P=180°−90°−50°=40°。
∵ ∠PAB是弧PB所对的圆周角，∠POB是弧PB所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠PAB=½∠POB=½×40°=20°。
【答案】20°
【知识点】切线的性质、圆周角定理
【点评】本题是圆的基础计算题，核心是切线性质与圆周角定理的结合应用，辅助线的作法是解题关键，难度适中，属于学生应掌握的常规题型。
【难度系数】0.6

4. 如图,$OA$是$\odot O$的半径,$BC$是$\odot O$的弦,$OA ⊥ BC$于点$D$,$AE$是$\odot O$的切线,交$OC$的延长线于点$E$.若$∠ AOC=45^{ \circ }$,$BC=2$,则线段$AE$的长为.

4. $\sqrt{2}$ 解析:$\because OA$是$\odot O$的半径,$AE$是$\odot O$的切线,$\therefore ∠ OAE=90°. \because ∠ AOC=45°,OA⊥ BC,\therefore △ CDO$和$△ EAO$是等腰直角三角形,$\therefore OD=CD,OA=AE. \because OA⊥ BC,\therefore CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1,\therefore OD=1,\therefore OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2},\therefore AE=OA=OC=\sqrt{2}.$

【分析】
要解决这道题，需结合切线的性质、垂径定理和等腰直角三角形的性质逐步推导：首先利用切线性质得到OA⊥AE，再由OA⊥BC，根据垂径定理求出弦BC的一半长度CD；接着在△CDO中，结合∠AOC=45°，判断其为等腰直角三角形，算出半径OC（即OA）的长度；最后在等腰直角三角形EAO中，得到AE=OA，从而求出AE的长。
【解析】
1. 因为AE是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，所以OA⊥AE，即∠OAE=90°。
2. 已知OA⊥BC，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得CD = ½BC。因为BC=2，所以CD=½×2=1。
3. 在△CDO中，∠ODC=90°，∠AOC=45°，所以△CDO是等腰直角三角形，因此OD=CD=1。
4. 由勾股定理，OC=√(OD² + CD²)=√(1² +1²)=√2。由于OC和OA都是⊙O的半径，故OA=OC=√2。
5. 在△EAO中，∠OAE=90°，∠AOE=45°，所以△EAO是等腰直角三角形，因此AE=OA=√2。
【答案】
√2
【知识点】
切线的性质、垂径定理、等腰直角三角形
【点评】
本题综合运用圆的相关性质与等腰直角三角形的性质，解题关键是通过垂径定理得到弦的一半，再结合特殊角度求出半径，进而得到切线长度，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5

5. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,$C$为$\odot O$上的一点,$AD$与过点$C$的切线互相垂直,垂足为$D$,$AD$交$\odot O$于点$E$,连接$AC$,求证:$AC$平分$∠ DAB$.

5. 证明:连接$OC$.
$\because CD$为$\odot O$的切线,$\therefore OC⊥ CD,\therefore ∠ OCD=90°. \because AD⊥ CD,\therefore ∠ ADC=90°,\therefore ∠ OCD+∠ ADC=180°,\therefore AD// OC,\therefore ∠ DAC=∠ OCA. \because OA=OC,\therefore ∠ OCA=∠ OAC,\therefore ∠ DAC=∠ OAC$,即$AC$平分$∠ DAB.$

【分析】要证明AC平分∠DAB，需证∠DAC=∠OAC。已知CD是⊙O的切线，根据切线性质连接OC，可得OC⊥CD；结合AD⊥CD，可推出AD//OC，进而得到∠DAC=∠OCA；再利用OA=OC（半径相等），结合等腰三角形底角相等的性质，通过等量代换即可完成证明。
【解析】连接OC。
∵ CD为⊙O的切线，
∴ OC⊥CD（圆的切线垂直于过切点的半径），
∴ ∠OCD=90°。
∵ AD⊥CD，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠OCD + ∠ADC = 180°，
∴ AD//OC（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠DAC = ∠OCA（两直线平行，内错角相等）。
∵ OA=OC（⊙O的半径相等），
∴ ∠OCA=∠OAC（等腰三角形两底角相等），
∴ ∠DAC=∠OAC，
即AC平分∠DAB。
【答案】AC平分∠DAB，证明如上。
【知识点】切线的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】本题是圆中证明角平分线的典型基础题，关键是利用切线性质构造平行线，结合等腰三角形性质完成角的等量代换，逻辑清晰，侧重几何性质的综合应用。
【难度系数】0.5

6. 在以点 O 为圆心的两个同心圆中,小圆的半径为 2,大圆的弦 AB 与小圆交于点 C、D,$AC=CD$,且$∠ COD=60°$.
(1)求大圆的半径.
(2)若大圆的弦 AE 与小圆切于点 F,求 AE 的长.

6. (1)如图,连接$OA. \because OC=OD$且$∠ COD=60°,\therefore △ OCD$为等边三角形,$\therefore CD=OD=OC=2. \because AC=CD,\therefore AD=4$且$OC=\frac{1}{2}AD,\therefore CO=CA=CD,\therefore A、O、D$在以点$C$为圆心、$CO$的长为半径的圆上,$\therefore ∠ AOD=90°,\therefore OA=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,$\therefore$大圆的半径为$2\sqrt{3}$.
(2)如图,连接$OF. \because$大圆的弦$AE$与小圆切于点$F$,$\therefore OF⊥ AE,\therefore AF=\frac{1}{2}AE$. 在$\mathrm{Rt}△ AFO$中,$AF=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-2^2}=2\sqrt{2},\therefore AE=4\sqrt{2}.$

【分析】
第(1)问：先利用小圆半径及∠COD=60°，判定△OCD为等边三角形，得到CD的长度；结合AC=CD求出AD的长度，再通过几何关系推导∠AOD=90°，最后用勾股定理计算大圆半径。第(2)问：根据切线性质得到OF⊥AE，结合垂径定理得AF=½AE，再在直角三角形中用勾股定理算出AF，进而求出AE的长度。
【解析】
(1) 连接OA。
∵ OC=OD（小圆半径），∠COD=60°，
∴ △OCD是等边三角形，
∴ CD=OC=OD=2。
又
∵ AC=CD，
∴ AC=2，AD=AC+CD=4。
由几何关系可知OC=½AD，故∠AOD=90°。
在Rt△AOD中，OA=√(AD² - OD²)=√(4² - 2²)=2√3，即大圆半径为2√3。
(2) 连接OF。
∵ AE与小圆切于点F，
∴ OF⊥AE（切线垂直于过切点的半径），
根据垂径定理，AF=½AE。
在Rt△AFO中，OF=2，OA=2√3，
∴ AF=√(OA² - OF²)=√[(2√3)² - 2²]=2√2，
∴ AE=2AF=4√2。
【答案】
(1) 大圆的半径为2√3；(2) AE的长为4√2。
【知识点】
圆的切线性质、等边三角形判定、勾股定理
【点评】
本题结合同心圆性质，综合考查多个几何定理的应用，解题关键是合理添加辅助线，利用几何关系推导边长与角度，难度适中。
【难度系数】
0.4