1. 亮点原创 《中国诗词大会》节目的热播进一步激起了人们对古诗词的喜爱. 现有以下四句古诗词:① 月是故乡明;② 人迹板桥霜;③ 沉舟侧畔千帆过;④ 山雨欲来风满楼. 甲、乙两名同学从中各任意选取了一句写在了纸上,则他们选取的诗句恰好相同的概率为（）

A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{2}$

1. B

2. (2023·四川宜宾)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作,书中记录了计算圆弧长度的“会圆术”. 如图,$\overset{\frown}{AB}$是以点$O$为圆心,$OA$为半径的圆弧,$N$为$AB$的中点,点$M$在$\overset{\frown}{AB}$上,且$MN ⊥ AB$."会圆术"给出$\overset{\frown}{AB}$的长度$l$的近似值计算公式:$l \approx AB+\dfrac{MN^{2}}{OA}$. 当$OA=4$,$∠ AOB=60^{ \circ }$时,$l$的值约为（）

A.$11-2\sqrt{3}$
B.$11-4\sqrt{3}$
C.$8-2\sqrt{3}$
D.$8-4\sqrt{3}$

2. B 解析:连接 OM,ON. 因为 $OA=OB,∠AOB=60°$,所以 $△ OAB$ 为等边三角形,所以 $AB=OA=4$. 因为 $N$ 为 $AB$ 的中点,所以 $AN=\dfrac{1}{2}AB=2,ON⊥ AB$,所以 $∠ONA=90°$,所以 $ON=\sqrt{OA^2-AN^2}=2\sqrt{3}$. 因为 $MN⊥ AB$,所以 $O,N,M$ 三点共线. 因为 $OM=OA=4$,所以 $MN=OM-ON=4-2\sqrt{3}$,所以 $l\approx4+\dfrac{(4-2\sqrt{3})^2}{4}=11-4\sqrt{3}$.

3. “清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂”，提到清明，很多人会第一时间想起杜牧的这首诗，其实古诗中与清明相关的佳句还有很多.5名同学比赛在相同的时间内背诵与清明相关的古诗，最后的结果(单位:首)如下:4,8,9,8,6,则这5名同学在相同的时间内背诵古诗数量的平均数是首.

3. 7

4. 为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出. 如图,该场馆底面为一个圆形,其半径是 10 m,从点 A 到点 B 有一笔直的栏杆,圆心 O 到栏杆 AB 的距离是5 m,观众在阴影区域里观看演出. 若每平方米可以坐 3 名观众,则该场馆最多可容纳名观众同时观看演出.$(π $取$3.14,\sqrt{3}$取$1.73)$

4. 184 解析:过点 $O$ 作 $OC⊥ AB$ 于点 $C$,则 $AC=\dfrac{1}{2}AB,∠OCA=90°$. 因为圆心 $O$ 到栏杆 $AB$ 的距离是 5 m,所以 $OC=5\ \mathrm{m}$. 因为$\odot O$ 的半径是 10 m,所以 $OA=10\ \mathrm{m}$,所以 $AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,所以 $AB=2AC=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,所以 $S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}AB· OC=25\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$. 因为 $OC=\dfrac{1}{2}OA$,所以 $∠OAB=30°$. 因为 $OA=OB$,所以 $∠OBA=∠OAB=30°$,所以 $∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=120°$, 所 以 $S_{\mathrm{扇形}OAB}=\dfrac{120π×10^2}{360}=\dfrac{100π}{3}(\mathrm{m}^2)$,所以 $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{△ OAB}=(\dfrac{100π}{3}-25\sqrt{3})\mathrm{m}^2\approx61.4\ \mathrm{m}^2$. 因为 $3×61.4\approx184$(名),所以该场馆最多可容纳 184 名观众同时观看演出.

5. 山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，也是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史(面条在东汉称之为“煮饼”). 厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度 $y(\mathrm{m})$ 是面条横截面面积 $S(\mathrm{mm}^2)$ 的反比例函数，其图象经过 $A(4,32),B(a,80)$ 两点.
(1) 求 $y$ 关于 $S$ 的函数表达式；(不要求写出自变量的取值范围)
(2) 求 $a$ 的值，并解释它的实际意义；
(3) 若某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过 $0.8\ \mathrm{mm}^2$，则这根面条的总长度至少为多少？

5. (1) 设 $y$ 关于 $S$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{k}{S}$. 把点 $A(4,32)$代入 $y=\dfrac{k}{S}$,得 $32=\dfrac{k}{4}$,解得 $k=128$,所以 $y$ 关于 $S$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{128}{S}$.
(2) 把点 $B(a,80)$代入 $y=\dfrac{128}{S}$,得 $80=\dfrac{128}{a}$,解得 $a=1.6$. 经检验,$a=1.6$ 是原方程的解. $a$ 的实际意义:当面条的总长度为 80 m 时,面条的横截面面积为 $1.6\ \mathrm{mm}^2$.
(3) 在 $y=\dfrac{128}{S}$ 中,令 $S=0.8$,得 $y=160$. 因为当 $S＞0$ 时,$y$ 随 $S$ 的增大而减小,所以这根面条的总长度至少为 160 m.