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9. 规定:十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫作“中高数”,如796 就是一个“中高数”.若十位上的数字为7,则从 3,4,5,6,8,9 中任选两个数,与 7 组成“中高数”的概率是（
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{2}{5}$
D.$\dfrac{3}{5}$
C
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{2}{5}$
D.$\dfrac{3}{5}$
答案
9. C 解析:列表如下：
| 结果\个位\百位 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 3 | \ | 374 | 375 | 376 | 378 | 379 |
| 4 | 473 | \ | 475 | 476 | 478 | 479 |
| 5 | 573 | 574 | \ | 576 | 578 | 579 |
| 6 | 673 | 674 | 675 | \ | 678 | 679 |
| 8 | 873 | 874 | 875 | 876 | \ | 879 |
| 9 | 973 | 974 | 975 | 976 | 978 | \ |
由表格可知,共有30种等可能的结果,其中是“中高数”的结果有12种,所以$P$(与7组成“中高数”)$=\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}$.
| 结果\个位\百位 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 3 | \ | 374 | 375 | 376 | 378 | 379 |
| 4 | 473 | \ | 475 | 476 | 478 | 479 |
| 5 | 573 | 574 | \ | 576 | 578 | 579 |
| 6 | 673 | 674 | 675 | \ | 678 | 679 |
| 8 | 873 | 874 | 875 | 876 | \ | 879 |
| 9 | 973 | 974 | 975 | 976 | 978 | \ |
由表格可知,共有30种等可能的结果,其中是“中高数”的结果有12种,所以$P$(与7组成“中高数”)$=\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}$.
10. 小明同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则掷得的两个点数恰好相邻的概率是
$\dfrac{5}{18}$
.答案
10. $\dfrac{5}{18}$ 解析:列表如下：
| 结果\第二枚\第一枚 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
由表格可知,共有36种等可能的结果,其中掷得的两个点数恰好相邻的结果有$(1,2)$,$(2,1)$,$(2,3)$,$(3,2)$,$(3,4)$,$(4,3)$,$(4,5)$,$(5,4)$,$(5,6)$,$(6,5)$,共10种,所以$P$(掷得的两个点数恰好相邻)$=\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}$.
| 结果\第二枚\第一枚 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
由表格可知,共有36种等可能的结果,其中掷得的两个点数恰好相邻的结果有$(1,2)$,$(2,1)$,$(2,3)$,$(3,2)$,$(3,4)$,$(4,3)$,$(4,5)$,$(5,4)$,$(5,6)$,$(6,5)$,共10种,所以$P$(掷得的两个点数恰好相邻)$=\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}$.
11. (2025·江苏常州二模)若任意选择一对有序整数$(m,n)$,其中$|m| ≤ 1$,$|n| ≤ 3$,每一对这样的有序整数被选择的可能性相同,则关于$x$的方程$x^{2}+nx+m=0$有两个相等实数根的概率是
$\dfrac{1}{7}$
.答案
11. $\dfrac{1}{7}$ 解析:因为$|m| ≤ 1$,$|n| ≤ 3$,且$m,n$都是整数,所以$m$可取的值为$-1,0,1$,$n$可取的值为$-3,-2,-1,0,1,2,3$.因为关于$x$的方程$x^2+nx+m=0$有两个相等的实数根,所以$n^2-4m=0$.列表如下：
| 结果\m
| -1 | 0 | 1 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| -3 | (-1,-3) | (0,-3) | (1,-3) |
| -2 | (-1,-2) | (0,-2) | (1,-2) |
| -1 | (-1,-1) | (0,-1) | (1,-1) |
| 0 | (-1,0) | (0,0) | (1,0) |
| 1 | (-1,1) | (0,1) | (1,1) |
| 2 | (-1,2) | (0,2) | (1,2) |
| 3 | (-1,3) | (0,3) | (1,3) |
由表格可知,共有21种等可能的结果,其中符合$n^2-4m=0$的结果有$(1,-2)$,$(0,0)$,$(1,2)$,共3种,所以$P$(关于$x$的方程$x^2+nx+m=0$有两个相等实数根)$=\dfrac{3}{21}=\dfrac{1}{7}$.
| 结果\m
| -1 | 0 | 1 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| -3 | (-1,-3) | (0,-3) | (1,-3) |
| -2 | (-1,-2) | (0,-2) | (1,-2) |
| -1 | (-1,-1) | (0,-1) | (1,-1) |
| 0 | (-1,0) | (0,0) | (1,0) |
| 1 | (-1,1) | (0,1) | (1,1) |
| 2 | (-1,2) | (0,2) | (1,2) |
| 3 | (-1,3) | (0,3) | (1,3) |
由表格可知,共有21种等可能的结果,其中符合$n^2-4m=0$的结果有$(1,-2)$,$(0,0)$,$(1,2)$,共3种,所以$P$(关于$x$的方程$x^2+nx+m=0$有两个相等实数根)$=\dfrac{3}{21}=\dfrac{1}{7}$.
12. 在某市举办的国学知识挑战赛中,小明晋级了总决赛.比赛过程分两个环节,参赛选手须在每个环节中各抽取一道题目.
第一环节:写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙(分别用 A1,A2,A3,A4 表示);
第二环节:成语听写、诗词对句、经典诵读(分别用 B1,B2,B3 表示).
(1) 请用列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果;
(2) 求小明参加总决赛抽取的题目都是成语题目(成语故事、成语接龙、成语听写)的概率.
第一环节:写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙(分别用 A1,A2,A3,A4 表示);
第二环节:成语听写、诗词对句、经典诵读(分别用 B1,B2,B3 表示).
(1) 请用列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果;
(2) 求小明参加总决赛抽取的题目都是成语题目(成语故事、成语接龙、成语听写)的概率.
答案
12. (1) 列表如下：
| 结果\第二环节\第一环节 | B1 | B2 | B3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A1 | (A1,B1) | (A1,B2) | (A1,B3) |
| A2 | (A2,B1) | (A2,B2) | (A2,B3) |
| A3 | (A3,B1) | (A3,B2) | (A3,B3) |
| A4 | (A4,B1) | (A4,B2) | (A4,B3) |
(2) 由表格可知,共有12种等可能的结果,其中两个环节都是成语题目的结果有2种,所以$P$(小明参加总决赛抽取的题目都是成语题目)$=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.
| 结果\第二环节\第一环节 | B1 | B2 | B3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A1 | (A1,B1) | (A1,B2) | (A1,B3) |
| A2 | (A2,B1) | (A2,B2) | (A2,B3) |
| A3 | (A3,B1) | (A3,B2) | (A3,B3) |
| A4 | (A4,B1) | (A4,B2) | (A4,B3) |
(2) 由表格可知,共有12种等可能的结果,其中两个环节都是成语题目的结果有2种,所以$P$(小明参加总决赛抽取的题目都是成语题目)$=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.
13. 新素养 数据观念 从$\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2},1,2,4$这五个数中任意取出一个数作为反比例函数$y=\dfrac{1}{2kx}$$(k＞0)$中$k$的值,则一次函数$y=-x+1$的图象与反比例函数$y=\dfrac{1}{2kx}(k＞0)$的图象在第一象限的部分没有公共点的概率是 （
A.$\dfrac{1}{5}$
B.$\dfrac{2}{5}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{3}{4}$
C
）A.$\dfrac{1}{5}$
B.$\dfrac{2}{5}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{3}{4}$
答案
13. C 解析:联立方程组$\begin{cases}y=\dfrac{1}{2kx},\\y=-x+1,\end{cases}$消去$y$,得$2kx^2-2kx+1=0$.因为一次函数$y=-x+1$的图象与反比例函数$y=\dfrac{1}{2kx}(k＞0)$的图象在第一象限的部分没有公共点,所以$(-2k)^2-4×2k×1=4k^2-8k＜0$.因为$k＞0$,所以$4k-8＜0$,解得$k＜2$,所以$0＜k＜2$.在$\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2},1,2,4$这五个数中,$k$的可能取值有3个,所以所求概率是$\dfrac{3}{5}$.
14. 亮点原创 如图,A,B是边长为1的小正方形组成的网格中的两个格点,在剩余格点中任意放置点C,恰好能使A,B,C三点构成面积为1的三角形的概率是
$\dfrac{10}{47}$
.答案
14. $\dfrac{10}{47}$ 解析:如图,恰好能使A,B,C三点构成面积为1的三角形的格点共有10个,所以所求概率是$\dfrac{10}{47}$.
15. 新素养 应用意识 将图中的 A 型、B 型、C 型矩形纸片分别放在 3 个盒子中,盒子的形状、大小、质地都相同,再将这 3 个盒子装入一个不透明的袋子中.
(1) 搅匀后从中任意摸出 1 个盒子,求摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率;
(2) 搅匀后先从中任意摸出 1 个盒子,再从余下的两个盒子中任意摸出 1 个盒子,求两次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的概率.(不重叠无缝隙拼接)
(1) 搅匀后从中任意摸出 1 个盒子,求摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率;
(2) 搅匀后先从中任意摸出 1 个盒子,再从余下的两个盒子中任意摸出 1 个盒子,求两次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的概率.(不重叠无缝隙拼接)
答案
15. (1) 由题意,得$P$(摸出的盒子中是 A 型矩形纸片)$=\dfrac{1}{3}$.
(2) 列表如下：
| 结果\第二次\第一次 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | \ | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | \ | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | \ |
由表格可知,共有6种等可能的结果,其中两次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的结果有(A,B),(B,A),(B,C),(C,B),共4种,所以所求概率是$\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
(2) 列表如下：
| 结果\第二次\第一次 | A | B | C |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | \ | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | \ | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | \ |
由表格可知,共有6种等可能的结果,其中两次摸出的盒子中的纸片能拼成一个新矩形的结果有(A,B),(B,A),(B,C),(C,B),共4种,所以所求概率是$\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
