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1. 一题多解 已知数据 $x_1,x_2,···,x_{10}$ 的平均数是 $m$，$x_{11},x_{12},···,x_{30}$ 的平均数是 $n$，则 $x_1,x_2,···,$ $x_{30}$ 的平均数为（
A.$m+n$
B.$\dfrac{m+2n}{3}$
C.$\dfrac{m+3n}{4}$
D.$\dfrac{m+n}{2}$
B
）A.$m+n$
B.$\dfrac{m+2n}{3}$
C.$\dfrac{m+3n}{4}$
D.$\dfrac{m+n}{2}$
答案
解法一：
∵ 数据 $x_1,x_2,\dots,x_{10}$ 的平均数为 $m$，
∴ $x_1+x_2+\dots+x_{10}=10m$。
∵ $x_{11},x_{12},\dots,x_{30}$ 的平均数为 $n$，
∴ $x_{11}+x_{12}+\dots+x_{30}=20n$。
∴ $x_1,x_2,\dots,x_{30}$ 的平均数=$\frac{10m+20n}{30}=\frac{m+2n}{3}$。
解法二：$m×\frac{10}{10+20}+n×\frac{20}{10+20}=\frac{m+2n}{3}$。
∵ 数据 $x_1,x_2,\dots,x_{10}$ 的平均数为 $m$，
∴ $x_1+x_2+\dots+x_{10}=10m$。
∵ $x_{11},x_{12},\dots,x_{30}$ 的平均数为 $n$，
∴ $x_{11}+x_{12}+\dots+x_{30}=20n$。
∴ $x_1,x_2,\dots,x_{30}$ 的平均数=$\frac{10m+20n}{30}=\frac{m+2n}{3}$。
解法二：$m×\frac{10}{10+20}+n×\frac{20}{10+20}=\frac{m+2n}{3}$。
解析
【分析】
我们要计算30个数据的整体平均数，核心思路是紧扣平均数的定义：平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数。第一步可以先分别求出前10个数据的总和、后20个数据的总和，相加得到30个数据的总求和，再除以总数据数30就能算出结果；也可以用加权平均数的思路，两组数据的权重分别是各自的数量占总数量的比例，直接代入加权平均数公式计算，两种方法都能快速得到答案，计算时要注意数清楚第二组数据的个数是20而非10，避免计算错误。
【解析】
解法一：利用算术平均数定义求解
1. 已知$x_1,x_2,\dots,x_{10}$共10个数据的平均数是$m$，根据算术平均数定义，可得这10个数据的总和：
$x_1+x_2+\dots+x_{10}=10m$
2. 已知$x_{11},x_{12},\dots,x_{30}$共$30-10=20$个数据的平均数是$n$，同理可得这20个数据的总和：
$x_{11}+x_{12}+\dots+x_{30}=20n$
3. 30个数据的总和为$10m+20n$，总数据个数为30，因此整体平均数为：
$\bar{x}=\frac{10m+20n}{30}=\frac{m+2n}{3}$
解法二：利用加权平均数公式求解
两组数据的权重分别为第一组数量占总数量的比例$\frac{10}{30}$，第二组数量占总数量的比例$\frac{20}{30}$，代入加权平均数公式：
$\bar{x}=m×\frac{10}{30}+n×\frac{20}{30}=\frac{m}{3}+\frac{2n}{3}=\frac{m+2n}{3}$
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】算术平均数，加权平均数
【点评】本题属于基础的平均数计算题型，设置了两种解题路径，既可以从最基础的平均数定义出发分步推导，也可以直接用加权平均数的权重规则快速计算，易错点是误将第二组20个数据当成10个，错算得到$\frac{m+n}{2}$误选D，解题时先确认两组数据的数量就能避免失误。
【难度系数】
0.8
我们要计算30个数据的整体平均数，核心思路是紧扣平均数的定义：平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数。第一步可以先分别求出前10个数据的总和、后20个数据的总和，相加得到30个数据的总求和，再除以总数据数30就能算出结果；也可以用加权平均数的思路，两组数据的权重分别是各自的数量占总数量的比例，直接代入加权平均数公式计算，两种方法都能快速得到答案，计算时要注意数清楚第二组数据的个数是20而非10，避免计算错误。
【解析】
解法一：利用算术平均数定义求解
1. 已知$x_1,x_2,\dots,x_{10}$共10个数据的平均数是$m$，根据算术平均数定义，可得这10个数据的总和：
$x_1+x_2+\dots+x_{10}=10m$
2. 已知$x_{11},x_{12},\dots,x_{30}$共$30-10=20$个数据的平均数是$n$，同理可得这20个数据的总和：
$x_{11}+x_{12}+\dots+x_{30}=20n$
3. 30个数据的总和为$10m+20n$，总数据个数为30，因此整体平均数为：
$\bar{x}=\frac{10m+20n}{30}=\frac{m+2n}{3}$
解法二：利用加权平均数公式求解
两组数据的权重分别为第一组数量占总数量的比例$\frac{10}{30}$，第二组数量占总数量的比例$\frac{20}{30}$，代入加权平均数公式：
$\bar{x}=m×\frac{10}{30}+n×\frac{20}{30}=\frac{m}{3}+\frac{2n}{3}=\frac{m+2n}{3}$
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】算术平均数，加权平均数
【点评】本题属于基础的平均数计算题型，设置了两种解题路径，既可以从最基础的平均数定义出发分步推导，也可以直接用加权平均数的权重规则快速计算，易错点是误将第二组20个数据当成10个，错算得到$\frac{m+n}{2}$误选D，解题时先确认两组数据的数量就能避免失误。
【难度系数】
0.8
2. 一题多解 某校举行了中考体育模拟考试，其中九年级（3）班的成绩如下表：
则九年级（3）班的平均成绩为
则九年级（3）班的平均成绩为
48
分.答案
解法一：九年级(3)班的平均成绩为
$\frac{50×5+49×8+48×7+47×6+46×6}{5+8+7+6+6}=48$(分).
解法二：$50×\frac{5}{5+8+7+6+6}+49×\frac{8}{5+8+7+6+6}+48×\frac{7}{5+8+7+6+6}+47×\frac{6}{5+8+7+6+6}+46×\frac{6}{5+8+7+6+6}=48$(分).
$\frac{50×5+49×8+48×7+47×6+46×6}{5+8+7+6+6}=48$(分).
解法二：$50×\frac{5}{5+8+7+6+6}+49×\frac{8}{5+8+7+6+6}+48×\frac{7}{5+8+7+6+6}+47×\frac{6}{5+8+7+6+6}+46×\frac{6}{5+8+7+6+6}=48$(分).
解析
【分析】
要计算该班的平均成绩，我们可以从加权平均数的两种常用思路入手：
思路1：先统计全班的总人数，再计算所有学生的成绩总和，用总成绩除以总人数，即可得到平均成绩，这是加权平均数的基础计算形式。
思路2：先计算每个分数对应的人数占全班总人数的比例（即权重），将每个分数乘以它对应的权重后相加，最终求和的结果就是平均成绩，这是从权重占比的角度计算加权平均数。
两种思路都可以得到正确结果，计算时注意对应好成绩和人数，避免计算错误即可。
【解析】
首先计算全班总人数：
总人数 = 5 + 8 + 7 + 6 + 6 = 32人
解法一：先计算全班总成绩，再除以总人数
总成绩 = 50×5 + 49×8 + 48×7 + 47×6 + 46×6
= 250 + 392 + 336 + 282 + 276
= 1536分
平均成绩 = 1536 ÷ 32 = 48分
解法二：通过权重计算加权平均数
各成绩对应的权重分别为$\frac{5}{32}$、$\frac{8}{32}$、$\frac{7}{32}$、$\frac{6}{32}$、$\frac{6}{32}$
平均成绩 = $50×\frac{5}{32} + 49×\frac{8}{32} + 48×\frac{7}{32} + 47×\frac{6}{32} + 46×\frac{6}{32}$
= $\frac{250+392+336+282+276}{32}$
= $\frac{1536}{32}$ = 48分
【答案】
48
【知识点】
加权平均数，算术平均数
【点评】
本题是加权平均数的基础应用题，通过一题多解的设计帮助学生从不同维度理解平均数的本质，解题的易错点是计算总成绩和总人数时出现数值对应错误、求和计算失误，整体属于统计模块的基础题型，掌握加权平均数的定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
要计算该班的平均成绩，我们可以从加权平均数的两种常用思路入手：
思路1：先统计全班的总人数，再计算所有学生的成绩总和，用总成绩除以总人数，即可得到平均成绩，这是加权平均数的基础计算形式。
思路2：先计算每个分数对应的人数占全班总人数的比例（即权重），将每个分数乘以它对应的权重后相加，最终求和的结果就是平均成绩，这是从权重占比的角度计算加权平均数。
两种思路都可以得到正确结果，计算时注意对应好成绩和人数，避免计算错误即可。
【解析】
首先计算全班总人数：
总人数 = 5 + 8 + 7 + 6 + 6 = 32人
解法一：先计算全班总成绩，再除以总人数
总成绩 = 50×5 + 49×8 + 48×7 + 47×6 + 46×6
= 250 + 392 + 336 + 282 + 276
= 1536分
平均成绩 = 1536 ÷ 32 = 48分
解法二：通过权重计算加权平均数
各成绩对应的权重分别为$\frac{5}{32}$、$\frac{8}{32}$、$\frac{7}{32}$、$\frac{6}{32}$、$\frac{6}{32}$
平均成绩 = $50×\frac{5}{32} + 49×\frac{8}{32} + 48×\frac{7}{32} + 47×\frac{6}{32} + 46×\frac{6}{32}$
= $\frac{250+392+336+282+276}{32}$
= $\frac{1536}{32}$ = 48分
【答案】
48
【知识点】
加权平均数，算术平均数
【点评】
本题是加权平均数的基础应用题，通过一题多解的设计帮助学生从不同维度理解平均数的本质，解题的易错点是计算总成绩和总人数时出现数值对应错误、求和计算失误，整体属于统计模块的基础题型，掌握加权平均数的定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
3. [2024 福建中考]已知 A,B 两地都只有甲、乙两类普通高中学校.在一次普通高中学业水平考试中，A 地甲类学校有考生 3000 人，数学平均分为 90 分；乙类学校有考生 2000 人，数学平均分为 80 分.
(1) 求 A 地考生的数学平均分.
(2) 若 B 地甲类学校考生的数学平均分为 94 分，乙类学校考生的数学平均分为 82 分，据此，能否判断 B 地考生的数学平均分一定比 A 地考生数学平均分高？若能，请给予证明；若不能，请举例说明.
(1) 求 A 地考生的数学平均分.
(2) 若 B 地甲类学校考生的数学平均分为 94 分，乙类学校考生的数学平均分为 82 分，据此，能否判断 B 地考生的数学平均分一定比 A 地考生数学平均分高？若能，请给予证明；若不能，请举例说明.
答案
(1) 由题意，得 A 地考生的数学平均分为 $90×\frac{3000}{3000+2000}+80×\frac{2000}{3000+2000}=86$(分).
(2) 不能.举例如下:如 B 地甲类学校有考生 1 000 人,乙类学校有考生 3 000 人,则 B 地考生的数学平均分为 $94×\frac{1000}{1000+3000}+82×\frac{3000}{1000+3000}=85$(分). $\because 85＜86,\therefore$ 不能判断 B 地考生的数学平均分一定比 A 地考生数学平均分高(答案不唯一,只要学生能作出正确判断,并且所举的例子能说明其判断即可).
(2) 不能.举例如下:如 B 地甲类学校有考生 1 000 人,乙类学校有考生 3 000 人,则 B 地考生的数学平均分为 $94×\frac{1000}{1000+3000}+82×\frac{3000}{1000+3000}=85$(分). $\because 85＜86,\therefore$ 不能判断 B 地考生的数学平均分一定比 A 地考生数学平均分高(答案不唯一,只要学生能作出正确判断,并且所举的例子能说明其判断即可).
解析
【分析】
这道题核心考察加权平均数的计算逻辑，解题思路如下：
1. 第(1)问求A地整体数学平均分，不能直接将甲乙两类学校的平均分取算术平均，要明确加权平均数的计算规则：整体平均分等于所有考生的总得分除以考生总人数，也等价于两类学校各自的平均分乘以对应人数占总人数的权重后求和，代入A地已知的人数和对应平均分即可算出结果。
2. 第(2)问判断B地平均分是否一定更高，要注意题目没有给出B地甲类、乙类学校的考生人数，也就是两类学校的平均分对应的权重是不确定的，加权平均数的结果会随权重变化，因此无法直接判定B地整体平均分一定更高，只需要构造一个B地的人数组合，计算出的整体平均分小于A地的86分，即可完成举例说明。
【解析】
(1) 用加权平均数公式计算A地平均分：
A地甲类考生权重为$\frac{3000}{3000+2000}$，乙类考生权重为$\frac{2000}{3000+2000}$，代入得：
$90×\frac{3000}{3000+2000}+80×\frac{2000}{3000+2000}=86$（分）
(2) 不能判定B地考生的数学平均分一定比A地高，举例验证：
取B地甲类学校考生1000人，乙类学校考生3000人，总考生数为$1000+3000=4000$人，代入加权平均数公式计算：
$94×\frac{1000}{1000+3000}+82×\frac{3000}{1000+3000}=85$（分）
因为$85＜86$，说明存在B地平均分低于A地的情况，因此无法判断B地考生的数学平均分一定比A地高。
【答案】
(1) A地考生的数学平均分为86分；
(2) 不能，举例：B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，此时B地考生数学平均分为85分，小于A地的86分，说明无法判定B地考生的数学平均分一定比A地高（答案不唯一，符合要求即可）。
【知识点】
加权平均数，权重的意义
【点评】
本题是加权平均数的基础实际应用题，重点考察学生对加权平均数中“权重”概念的理解，易错点是忽略B地两类学校考生人数未知、权重不固定的条件，直接对两类学校的平均分取算术平均得出错误结论，题目引导学生理解计算整体平均分时，各部分的占比会直接影响最终结果，贴合生活实际场景。
【难度系数】
0.8
这道题核心考察加权平均数的计算逻辑，解题思路如下：
1. 第(1)问求A地整体数学平均分，不能直接将甲乙两类学校的平均分取算术平均，要明确加权平均数的计算规则：整体平均分等于所有考生的总得分除以考生总人数，也等价于两类学校各自的平均分乘以对应人数占总人数的权重后求和，代入A地已知的人数和对应平均分即可算出结果。
2. 第(2)问判断B地平均分是否一定更高，要注意题目没有给出B地甲类、乙类学校的考生人数，也就是两类学校的平均分对应的权重是不确定的，加权平均数的结果会随权重变化，因此无法直接判定B地整体平均分一定更高，只需要构造一个B地的人数组合，计算出的整体平均分小于A地的86分，即可完成举例说明。
【解析】
(1) 用加权平均数公式计算A地平均分：
A地甲类考生权重为$\frac{3000}{3000+2000}$，乙类考生权重为$\frac{2000}{3000+2000}$，代入得：
$90×\frac{3000}{3000+2000}+80×\frac{2000}{3000+2000}=86$（分）
(2) 不能判定B地考生的数学平均分一定比A地高，举例验证：
取B地甲类学校考生1000人，乙类学校考生3000人，总考生数为$1000+3000=4000$人，代入加权平均数公式计算：
$94×\frac{1000}{1000+3000}+82×\frac{3000}{1000+3000}=85$（分）
因为$85＜86$，说明存在B地平均分低于A地的情况，因此无法判断B地考生的数学平均分一定比A地高。
【答案】
(1) A地考生的数学平均分为86分；
(2) 不能，举例：B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，此时B地考生数学平均分为85分，小于A地的86分，说明无法判定B地考生的数学平均分一定比A地高（答案不唯一，符合要求即可）。
【知识点】
加权平均数，权重的意义
【点评】
本题是加权平均数的基础实际应用题，重点考察学生对加权平均数中“权重”概念的理解，易错点是忽略B地两类学校考生人数未知、权重不固定的条件，直接对两类学校的平均分取算术平均得出错误结论，题目引导学生理解计算整体平均分时，各部分的占比会直接影响最终结果，贴合生活实际场景。
【难度系数】
0.8
4. 新情境 生活实际 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪为80元，每单抽成3元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元.假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并记录其100天的送餐单数，得到如下频数表.
甲公司送餐员送餐单数频数表
|送餐单数|38|39|40|41|42|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|天 数|10|40|30|10|10|
乙公司送餐员送餐单数频数表
(1) 求甲公司送餐员的日平均工资.
(2) 某人拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日平均工资的角度考虑，那么他应该选择去哪家公司应聘？请说明理由.
甲公司送餐员送餐单数频数表
|送餐单数|38|39|40|41|42|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|天 数|10|40|30|10|10|
乙公司送餐员送餐单数频数表
(1) 求甲公司送餐员的日平均工资.
(2) 某人拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日平均工资的角度考虑，那么他应该选择去哪家公司应聘？请说明理由.
答案
(1) 甲公司送餐员日平均送餐单数为 $38×\frac{10}{100}+39×\frac{40}{100}+40×\frac{30}{100}+41×\frac{10}{100}+42×\frac{10}{100}=39.7,\therefore$ 甲公司送餐员的日平均工资为 $80+3×39.7=199.1$(元).
(2) 应该选择去乙公司应聘. 理由:乙公司送餐员的日平均工资为$\frac{1}{100}×[38×5×10+39×5×20+40×5×20+(40×5+1×7)×40+(40×5+2×7)×10]=202.2$(元).
$\because 199.1＜202.2,\therefore$ 仅从日平均工资的角度考虑,这个人应该选择去乙公司应聘.
(2) 应该选择去乙公司应聘. 理由:乙公司送餐员的日平均工资为$\frac{1}{100}×[38×5×10+39×5×20+40×5×20+(40×5+1×7)×40+(40×5+2×7)×10]=202.2$(元).
$\because 199.1＜202.2,\therefore$ 仅从日平均工资的角度考虑,这个人应该选择去乙公司应聘.
解析
【分析】
解题思路：首先处理第(1)问，甲公司的日工资规则是底薪80元加每单3元抽成，我们可以先根据甲公司的送餐单数频数表，用加权平均数算出送餐员的日平均送餐单数，再代入工资公式计算日平均工资，这样计算会更简便。然后处理第(2)问，需要先根据乙公司的分段工资规则：40单及以内每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，先明确不同送餐单数对应的日工资，再结合乙公司的频数表，用加权平均的方法算出乙公司送餐员的日平均工资，最后将两家的日平均工资对比，选择平均工资更高的公司即可。
【解析】
(1) 甲公司总统计天数为$10+40+30+10+10=100$天，先计算日平均送餐单数：
$38×\frac{10}{100}+39×\frac{40}{100}+40×\frac{30}{100}+41×\frac{10}{100}+42×\frac{10}{100}=39.7$
结合甲公司日工资规则，可得甲公司送餐员的日平均工资为：
$80+3×39.7=199.1 \mathrm{元}$
(2) 乙公司总统计天数为$10+20+20+40+10=100$天，结合乙公司分段工资规则，计算乙公司送餐员的日平均工资：
$\frac{1}{100}×[38×5×10+39×5×20+40×5×20+(40×5+1×7)×40+(40×5+2×7)×10]=202.2 \mathrm{元}$
对比两家平均工资可得$199.1＜202.2$，说明乙公司的日平均工资更高。
【答案】
(1) 甲公司送餐员的日平均工资为199.1元。
(2) 应该选择去乙公司应聘。理由：乙公司送餐员的日平均工资为202.2元，高于甲公司的199.1元，仅从日平均工资的角度考虑，这个人应该选择去乙公司应聘。
【知识点】
加权平均数计算，样本估计总体，统计方案决策
【点评】
本题结合外卖送餐员应聘的真实生活情境，考查加权平均数的实际应用，解题核心是匹配不同公司的分段工资规则，准确计算不同送餐量对应的日收入，再结合频数计算平均工资，最终通过对比做出合理选择，题目难度适中，侧重考查学生用统计知识解决实际问题的能力，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先处理第(1)问，甲公司的日工资规则是底薪80元加每单3元抽成，我们可以先根据甲公司的送餐单数频数表，用加权平均数算出送餐员的日平均送餐单数，再代入工资公式计算日平均工资，这样计算会更简便。然后处理第(2)问，需要先根据乙公司的分段工资规则：40单及以内每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，先明确不同送餐单数对应的日工资，再结合乙公司的频数表，用加权平均的方法算出乙公司送餐员的日平均工资，最后将两家的日平均工资对比，选择平均工资更高的公司即可。
【解析】
(1) 甲公司总统计天数为$10+40+30+10+10=100$天，先计算日平均送餐单数：
$38×\frac{10}{100}+39×\frac{40}{100}+40×\frac{30}{100}+41×\frac{10}{100}+42×\frac{10}{100}=39.7$
结合甲公司日工资规则，可得甲公司送餐员的日平均工资为：
$80+3×39.7=199.1 \mathrm{元}$
(2) 乙公司总统计天数为$10+20+20+40+10=100$天，结合乙公司分段工资规则，计算乙公司送餐员的日平均工资：
$\frac{1}{100}×[38×5×10+39×5×20+40×5×20+(40×5+1×7)×40+(40×5+2×7)×10]=202.2 \mathrm{元}$
对比两家平均工资可得$199.1＜202.2$，说明乙公司的日平均工资更高。
【答案】
(1) 甲公司送餐员的日平均工资为199.1元。
(2) 应该选择去乙公司应聘。理由：乙公司送餐员的日平均工资为202.2元，高于甲公司的199.1元，仅从日平均工资的角度考虑，这个人应该选择去乙公司应聘。
【知识点】
加权平均数计算，样本估计总体，统计方案决策
【点评】
本题结合外卖送餐员应聘的真实生活情境，考查加权平均数的实际应用，解题核心是匹配不同公司的分段工资规则，准确计算不同送餐量对应的日收入，再结合频数计算平均工资，最终通过对比做出合理选择，题目难度适中，侧重考查学生用统计知识解决实际问题的能力，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.8
