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1. 已知一组数据：31，32，35，37，35，则这组数据的平均数和中位数分别是（
A.34，34
B.35，35
C.34，35
D.35，34
C
）A.34，34
B.35，35
C.34，35
D.35，34
答案
这组数据的平均数是$\frac{1}{5}×(31+32+35+37+35)=\frac{1}{5}×170=34$. 将这组数据从小到大排列为31,32,35,35,37,中位数为第3个数,即35.
解析
【分析】
拿到这道题，我们需要分别求出给定数据的平均数和中位数，思路可以拆成两步走：第一步先回忆算术平均数的计算规则，就是把所有数据相加得到总和，再除以数据的总个数，就能算出平均数；第二步回忆中位数的计算要求，求中位数必须先把所有数据按从小到大（或从大到小）的顺序重新排列，当数据总个数是奇数时，正中间位置的数就是中位数，这里总共有5个数据，排序后取第3位的数就是中位数，最后将得到的两个结果对应选项选出正确答案即可。
【解析】
1. 计算平均数：
这组数据共有5个，代入算术平均数公式$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)$：
$\bar{x}=\frac{31+32+35+37+35}{5}=\frac{170}{5}=34$
2. 计算中位数：
先将原始数据从小到大重新排序，得到序列：31，32，35，35，37
数据总个数为5（奇数），中位数是排序后第$\frac{5+1}{2}=3$位的数，即35。
因此这组数据的平均数为34，中位数为35。
【答案】
C
【知识点】
算术平均数计算，中位数求解
【点评】
本题是初中统计模块的基础题型，核心考察对两个基础统计量定义的掌握程度，最容易出错的点是求解中位数时跳过排序步骤，直接选取未排序原始数据的中间数，本题原始未排序数据的第3位是37，很容易误导粗心的学生出错，只要牢记中位数必须先排序再取值的规则，就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.8
拿到这道题，我们需要分别求出给定数据的平均数和中位数，思路可以拆成两步走：第一步先回忆算术平均数的计算规则，就是把所有数据相加得到总和，再除以数据的总个数，就能算出平均数；第二步回忆中位数的计算要求，求中位数必须先把所有数据按从小到大（或从大到小）的顺序重新排列，当数据总个数是奇数时，正中间位置的数就是中位数，这里总共有5个数据，排序后取第3位的数就是中位数，最后将得到的两个结果对应选项选出正确答案即可。
【解析】
1. 计算平均数：
这组数据共有5个，代入算术平均数公式$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)$：
$\bar{x}=\frac{31+32+35+37+35}{5}=\frac{170}{5}=34$
2. 计算中位数：
先将原始数据从小到大重新排序，得到序列：31，32，35，35，37
数据总个数为5（奇数），中位数是排序后第$\frac{5+1}{2}=3$位的数，即35。
因此这组数据的平均数为34，中位数为35。
【答案】
C
【知识点】
算术平均数计算，中位数求解
【点评】
本题是初中统计模块的基础题型，核心考察对两个基础统计量定义的掌握程度，最容易出错的点是求解中位数时跳过排序步骤，直接选取未排序原始数据的中间数，本题原始未排序数据的第3位是37，很容易误导粗心的学生出错，只要牢记中位数必须先排序再取值的规则，就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.8
2. 某市抽查了某校九年级8个班的学生人数，抽查数据统计如下：52，$52 - m$，52，$54 + m$，54，51，55，54（$0 ＜ m ＜ 3$，$m$ 为整数）. 这组数据的中位数是
53
.答案
∵ 0＜m＜3,
∴ 49＜52−m＜52,54＜54+m＜57,
∴ 将原数据从小到大排列后,处在第4,5位的两个数的平均数为$\frac{52+54}{2}=53$,即中位数为53.
解析
【分析】
首先明确中位数的计算规则：当数据总个数为偶数时，中位数是将数据从小到大排序后，中间两个数的平均值。本题共有8个数据，因此只需要找到排序后第4位和第5位的数，求二者的平均数即可。结合题目给出的0＜m＜3且m为整数的条件，先推导两个带参数的数52-m和54+m的取值区间，不需要算出m的具体值，就能确定所有数的大小顺序，定位到第4、第5位的数，进而算出中位数。
【解析】
解：这组数据总共有8个，属于偶数个数据，因此中位数为将数据从小到大排序后，第4个和第5个数据的平均数。
由已知条件0＜m＜3，且m为整数，推导两个带参数的数的范围：
1. 对52−m：不等式两边同乘-1得-3＜-m＜0，因此52-3＜52−m＜52+0，即49＜52−m＜52；
2. 对54+m：可得54+0＜54+m＜54+3，即54＜54+m＜57。
结合上述范围将所有数据从小到大排列，无论m取1还是2，排在第4位的数都是52，排在第5位的数都是54，因此中位数为：
$\frac{52+54}{2}=53$
【答案】
53
【知识点】
中位数计算，代数式取值范围
【点评】
本题设置了未知参数m，不需要求解m的具体数值，仅通过m的取值范围判断两个带参数数据的大小区间，即可确定排序后中间两个数的数值，重点考察对中位数概念的灵活运用，避免了机械套用排序计算的固化思维。
【难度系数】
0.6
首先明确中位数的计算规则：当数据总个数为偶数时，中位数是将数据从小到大排序后，中间两个数的平均值。本题共有8个数据，因此只需要找到排序后第4位和第5位的数，求二者的平均数即可。结合题目给出的0＜m＜3且m为整数的条件，先推导两个带参数的数52-m和54+m的取值区间，不需要算出m的具体值，就能确定所有数的大小顺序，定位到第4、第5位的数，进而算出中位数。
【解析】
解：这组数据总共有8个，属于偶数个数据，因此中位数为将数据从小到大排序后，第4个和第5个数据的平均数。
由已知条件0＜m＜3，且m为整数，推导两个带参数的数的范围：
1. 对52−m：不等式两边同乘-1得-3＜-m＜0，因此52-3＜52−m＜52+0，即49＜52−m＜52；
2. 对54+m：可得54+0＜54+m＜54+3，即54＜54+m＜57。
结合上述范围将所有数据从小到大排列，无论m取1还是2，排在第4位的数都是52，排在第5位的数都是54，因此中位数为：
$\frac{52+54}{2}=53$
【答案】
53
【知识点】
中位数计算，代数式取值范围
【点评】
本题设置了未知参数m，不需要求解m的具体数值，仅通过m的取值范围判断两个带参数数据的大小区间，即可确定排序后中间两个数的数值，重点考察对中位数概念的灵活运用，避免了机械套用排序计算的固化思维。
【难度系数】
0.6
3. 某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况,随机抽取 50 名学生进行测试,并对成绩 $ x $ (百分制)进行整理,信息如下:
a. 成绩频数分布表:
b. 成绩(单位:分)在 $ 70 ≤ x ＜ 80 $ 这一组的是 70,71,72,72,74,77,78,78,78,79,79,79.
根据以上信息,回答下列问题:
(1) 在这次测试中,成绩的中位数是
(2) 这次测试成绩的平均数是 76.4 分,甲的测试成绩是 77 分,乙说:“甲的成绩高于平均数,所以甲的成绩高于一半学生的成绩.”你认为乙的说法正确吗? 请说明理由.
(3) 请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况给出一条合理的评价.
a. 成绩频数分布表:
b. 成绩(单位:分)在 $ 70 ≤ x ＜ 80 $ 这一组的是 70,71,72,72,74,77,78,78,78,79,79,79.
根据以上信息,回答下列问题:
(1) 在这次测试中,成绩的中位数是
78.5
分,成绩不低于 80 分的人数占测试人数的百分比为44%
.(2) 这次测试成绩的平均数是 76.4 分,甲的测试成绩是 77 分,乙说:“甲的成绩高于平均数,所以甲的成绩高于一半学生的成绩.”你认为乙的说法正确吗? 请说明理由.
(3) 请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况给出一条合理的评价.
答案
(1) 这次测试成绩的中位数是第25,26个数据的平均数,而第25,26个数据的平均数为$\frac{78+79}{2}=78.5$(分),
∴ 这组数据的中位数是78.5分,成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为$\frac{16+6}{50}×100\%=44\%$.
(2) 不正确. 理由:
∵ 甲的成绩77分低于中位数78.5分,
∴ 甲的成绩不可能高于一半学生的成绩.
(3) 测试成绩不低于80分的人数占测试人数的44%,说明该校学生对"航空航天知识"的掌握情况较好(答案不唯一,合理均可).
∴ 这组数据的中位数是78.5分,成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为$\frac{16+6}{50}×100\%=44\%$.
(2) 不正确. 理由:
∵ 甲的成绩77分低于中位数78.5分,
∴ 甲的成绩不可能高于一半学生的成绩.
(3) 测试成绩不低于80分的人数占测试人数的44%,说明该校学生对"航空航天知识"的掌握情况较好(答案不唯一,合理均可).
解析
【分析】
我们可以按步骤梳理解题思路：
1. 解决第(1)问的中位数问题：总共有50个测试成绩，中位数的定义是数据从小到大排序后，第25和第26个数据的平均数。先累加前两组的频数：50≤x＜60共7人，60≤x＜70共9人，前两组总和是16，说明排序后前16个数据都小于70，因此第25、26个数据都落在70≤x＜80这一组里。对照题目给出的该组12个具体成绩，数出对应位置的两个数据是78和79，计算二者的平均数即可得到中位数。计算不低于80分的占比时，把80分及以上两组的频数相加，除以总人数50再乘100%就能得到对应百分比。
2. 判断第(2)问乙的说法是否正确：我们已经算出中位数是78.5，甲的成绩77分小于中位数，说明甲的排名在25名之后，也就是甲的成绩低于至少一半的学生，这里要注意区分平均数和中位数的不同意义，中位数才是代表数据中间水平的统计量。
3. 第(3)问是开放性评价，结合统计得到的整体数据，从掌握情况、待提升方向等角度给出合理表述即可。
【解析】
(1) 本次共抽取50名学生的测试成绩，将所有成绩从小到大排序后，中位数为第25、第26个数据的平均数。
前两组（50≤x＜60、60≤x＜70）的频数之和为$7+9=16$，说明第1~16个数据均小于70，因此第25、第26个数据都落在$70≤x＜80$这一组中。
该组数据从小到大排列为：70,71,72,72,74,77,78,78,78,79,79,79，其中第25个数据是78，第26个数据是79，因此中位数为$\frac{78+79}{2}=78.5$分。
成绩不低于80分的总人数为$16+6=22$，占测试人数的百分比为$\frac{22}{50} × 100\% = 44\%$。
(2) 乙的说法不正确。理由：本次测试成绩的中位数为78.5分，甲的成绩77分小于78.5分，说明甲的成绩低于排序后第25名的成绩，因此甲的成绩低于一半以上学生的成绩，乙的说法错误。
(3) 示例：测试成绩不低于80分的人数占测试人数的44%，仅有7名学生成绩低于60分，说明该校大部分学生对航空航天知识的掌握情况较好，仅少数基础薄弱的学生需要进一步加强相关知识的学习。（答案合理即可）
【答案】
(1) 78.5；44%
(2) 不正确，理由：甲的成绩77分低于中位数78.5分，因此甲的成绩低于一半学生的成绩，乙的说法错误。
(3) 测试成绩不低于80分的人数占测试人数的44%，说明该校学生对"航空航天知识"的掌握情况较好(答案不唯一，合理即可)
【知识点】
中位数计算，频率计算，统计量实际意义
【点评】
本题结合生活实际场景考察统计核心基础知识，重点区分了平均数和中位数的不同代表含义，避免学生混淆两个统计量的适用场景，最后的开放性设问引导学生用统计数据解读实际问题，整体难度适中，能很好检验学生对统计基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7
我们可以按步骤梳理解题思路：
1. 解决第(1)问的中位数问题：总共有50个测试成绩，中位数的定义是数据从小到大排序后，第25和第26个数据的平均数。先累加前两组的频数：50≤x＜60共7人，60≤x＜70共9人，前两组总和是16，说明排序后前16个数据都小于70，因此第25、26个数据都落在70≤x＜80这一组里。对照题目给出的该组12个具体成绩，数出对应位置的两个数据是78和79，计算二者的平均数即可得到中位数。计算不低于80分的占比时，把80分及以上两组的频数相加，除以总人数50再乘100%就能得到对应百分比。
2. 判断第(2)问乙的说法是否正确：我们已经算出中位数是78.5，甲的成绩77分小于中位数，说明甲的排名在25名之后，也就是甲的成绩低于至少一半的学生，这里要注意区分平均数和中位数的不同意义，中位数才是代表数据中间水平的统计量。
3. 第(3)问是开放性评价，结合统计得到的整体数据，从掌握情况、待提升方向等角度给出合理表述即可。
【解析】
(1) 本次共抽取50名学生的测试成绩，将所有成绩从小到大排序后，中位数为第25、第26个数据的平均数。
前两组（50≤x＜60、60≤x＜70）的频数之和为$7+9=16$，说明第1~16个数据均小于70，因此第25、第26个数据都落在$70≤x＜80$这一组中。
该组数据从小到大排列为：70,71,72,72,74,77,78,78,78,79,79,79，其中第25个数据是78，第26个数据是79，因此中位数为$\frac{78+79}{2}=78.5$分。
成绩不低于80分的总人数为$16+6=22$，占测试人数的百分比为$\frac{22}{50} × 100\% = 44\%$。
(2) 乙的说法不正确。理由：本次测试成绩的中位数为78.5分，甲的成绩77分小于78.5分，说明甲的成绩低于排序后第25名的成绩，因此甲的成绩低于一半以上学生的成绩，乙的说法错误。
(3) 示例：测试成绩不低于80分的人数占测试人数的44%，仅有7名学生成绩低于60分，说明该校大部分学生对航空航天知识的掌握情况较好，仅少数基础薄弱的学生需要进一步加强相关知识的学习。（答案合理即可）
【答案】
(1) 78.5；44%
(2) 不正确，理由：甲的成绩77分低于中位数78.5分，因此甲的成绩低于一半学生的成绩，乙的说法错误。
(3) 测试成绩不低于80分的人数占测试人数的44%，说明该校学生对"航空航天知识"的掌握情况较好(答案不唯一，合理即可)
【知识点】
中位数计算，频率计算，统计量实际意义
【点评】
本题结合生活实际场景考察统计核心基础知识，重点区分了平均数和中位数的不同代表含义，避免学生混淆两个统计量的适用场景，最后的开放性设问引导学生用统计数据解读实际问题，整体难度适中，能很好检验学生对统计基础概念的掌握程度。
【难度系数】
0.7
4. 数学老师在统计一个班35人的数学考试成绩时,算出中位数是80分,但后来发现其中一名同学的成绩记录有误,将75分写成了55分,那么实际这次考试成绩的中位数是
80
分.答案
∵ 计算原来35人的数学考试成绩时,算出中位数是80分,
∴ 最中间的成绩是80分. 由于其中一名同学的成绩记录有误,将75分写成了55分,但最中间的成绩还是80分,不受影响,因此实际这次考试成绩的中位数是80分.
解析
【分析】
首先我们先明确中位数的计算逻辑：对于n个从小到大排序的数据，当n是奇数时，中位数是排序后位于正中间的那个数。这道题总共有35名学生的成绩，是奇数，所以中位数是排序后第(35+1)÷2=18位的成绩。已知原本统计时算出的中位数是80，说明原本排序后第18位的数就是80。接下来看修改的成绩：原本错把75记成55，相当于这个数据从55调整为75，两个数值都小于80，调整后这个数据在排序序列里的位置只会向后移动，但始终不会超过第17位（因为第18位已经是80了），所以排序后第18位的数值不会发生任何变化，自然中位数还是80。
【解析】
解：
1. 确定中位数位置：总共有35个成绩，属于奇数个数据，将成绩从小到大排序后，中位数是第$\frac{35+1}{2}=18$个数据，原统计得到中位数为80，说明原排序后第18个数据是80。
2. 分析数据修改的影响：被记录错的成绩原本是75，被误写为55，两个数值均小于80，修正后该成绩在排序序列中的位置只会向后偏移，但始终排在80之前，不会改变第18位数据的取值。
因此修正后实际的中位数仍然是80分。
【答案】
80
【知识点】
中位数的定义
【点评】
本题考察中位数的本质概念，不需要重新完整排序计算所有数据，只需要判断修改的数据是否会影响中间位置的数值即可，容易出现的误区是误以为修改任意数据都会改变中位数，实际上当修改的数值始终处于中位数的同一侧时，中位数不会发生变化，能很好的区分学生是死记硬背中位数计算步骤还是真正理解中位数的含义。
【难度系数】
0.7
首先我们先明确中位数的计算逻辑：对于n个从小到大排序的数据，当n是奇数时，中位数是排序后位于正中间的那个数。这道题总共有35名学生的成绩，是奇数，所以中位数是排序后第(35+1)÷2=18位的成绩。已知原本统计时算出的中位数是80，说明原本排序后第18位的数就是80。接下来看修改的成绩：原本错把75记成55，相当于这个数据从55调整为75，两个数值都小于80，调整后这个数据在排序序列里的位置只会向后移动，但始终不会超过第17位（因为第18位已经是80了），所以排序后第18位的数值不会发生任何变化，自然中位数还是80。
【解析】
解：
1. 确定中位数位置：总共有35个成绩，属于奇数个数据，将成绩从小到大排序后，中位数是第$\frac{35+1}{2}=18$个数据，原统计得到中位数为80，说明原排序后第18个数据是80。
2. 分析数据修改的影响：被记录错的成绩原本是75，被误写为55，两个数值均小于80，修正后该成绩在排序序列中的位置只会向后偏移，但始终排在80之前，不会改变第18位数据的取值。
因此修正后实际的中位数仍然是80分。
【答案】
80
【知识点】
中位数的定义
【点评】
本题考察中位数的本质概念，不需要重新完整排序计算所有数据，只需要判断修改的数据是否会影响中间位置的数值即可，容易出现的误区是误以为修改任意数据都会改变中位数，实际上当修改的数值始终处于中位数的同一侧时，中位数不会发生变化，能很好的区分学生是死记硬背中位数计算步骤还是真正理解中位数的含义。
【难度系数】
0.7
5. ★有甲、乙两个箱子，其中甲箱子内有98个球，分别标记号码1～98，且号码为不重复的整数，乙箱子内没有球. 已知小悦从甲箱子内拿出$m$个球放入乙箱子后，乙箱子内球的号码的中位数为40，若此时甲箱子内剩有$a$个球的号码小于40，$b$个球的号码大于40.
（1）当$m=49$时，求$a$，$b$的值. 判断甲箱子内球的号码的中位数能否为40，并说明理由.
（2）当甲箱子内球的号码的中位数与乙箱子内球的号码的中位数都是$x$时，求$x$的值.
（1）当$m=49$时，求$a$，$b$的值. 判断甲箱子内球的号码的中位数能否为40，并说明理由.
（2）当甲箱子内球的号码的中位数与乙箱子内球的号码的中位数都是$x$时，求$x$的值.
答案
(1) 由题意,得甲箱子内还剩98−49=49(个)球.
∵ 乙箱子内球的号码的中位数为40,
∴ 乙箱子内号码小于40、大于40的球各有(49−1)÷2=24(个).
∴ 甲箱子内号码小于40的球有39−24=15(个),号码大于40的球有49−15=34(个),即a=15,b=34. 甲箱子内球的号码的中位数不能为40. 理由:
∵ a≠b,40号球在乙箱子内,甲箱子内有49个球,不可能有40号球,
∴ 甲箱子内球的号码的中位数不能为40.
(2) 由(1)知,当甲、乙两个箱子内球的号码的中位数相同时,甲、乙两个箱子内球的数量应该都是偶数. 设在甲箱子内球的号码小于x的数量是c个,则大于x的数量也是c个. 设在乙箱子内球的号码小于x的数量是d个,则大于x的数量也是d个.
∴ 在全部的98个球中,号码小于x的数量是(c+d)个,大于x的数量也是(c+d)个,即1~98的中位数是x.
∴ x=$\frac{1}{2}×(49+50)=49.5$.
∵ 乙箱子内球的号码的中位数为40,
∴ 乙箱子内号码小于40、大于40的球各有(49−1)÷2=24(个).
∴ 甲箱子内号码小于40的球有39−24=15(个),号码大于40的球有49−15=34(个),即a=15,b=34. 甲箱子内球的号码的中位数不能为40. 理由:
∵ a≠b,40号球在乙箱子内,甲箱子内有49个球,不可能有40号球,
∴ 甲箱子内球的号码的中位数不能为40.
(2) 由(1)知,当甲、乙两个箱子内球的号码的中位数相同时,甲、乙两个箱子内球的数量应该都是偶数. 设在甲箱子内球的号码小于x的数量是c个,则大于x的数量也是c个. 设在乙箱子内球的号码小于x的数量是d个,则大于x的数量也是d个.
∴ 在全部的98个球中,号码小于x的数量是(c+d)个,大于x的数量也是(c+d)个,即1~98的中位数是x.
∴ x=$\frac{1}{2}×(49+50)=49.5$.
解析
【分析】
首先我们先明确中位数的核心定义：将一组数据从小到大排序后，若数据个数为奇数，中位数是位于正中间的那个数；若数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均值。
解这道题的思路是：
1. 处理第(1)问：首先算出甲箱剩余的球数，已知乙箱有m=49个球，是奇数，中位数为40，说明排序后乙箱第25个球是40，那么乙箱里小于40、大于40的球数量相等，都等于(49-1)/2=24个。接下来统计原本1~98里小于40的总共有39个，大于40的总共有58个，减去被拿到乙箱的对应数量，就能得到甲箱剩余的小于40的a和大于40的b的值。之后判断甲箱中位数能不能为40：甲箱剩余49个球，要中位数是40的话，必须正中间的数是40，但此时40号球已经在乙箱，且甲箱里小于40的球只有15个，排序后第25个球肯定大于40，因此不可能是40。
2. 处理第(2)问：如果两个箱子的中位数都是x，说明两个箱子里小于x的球的总数量，等于大于x的球的总数量，也就是全部98个球的中位数就是x，直接计算1~98这98个数的中位数就能得到x的值。
【解析】
（1）甲箱原有98个球，拿出m=49个放入乙箱后，甲箱剩余球数为：
$98-49=49$（个）
因为乙箱共有49个球，中位数为40，将乙箱球号从小到大排序后，第25个球的号码是40，因此乙箱中号码小于40、大于40的球的数量相等，均为：
$(49-1)÷2=24$（个）
1~98中，号码小于40的球总共有39个，因此甲箱剩余的号码小于40的球数：
$a=39-24=15$
1~98中，号码大于40的球总共有$98-40=58$个，因此甲箱剩余的号码大于40的球数：
$b=58-24=34$
甲箱子内球的号码的中位数不能为40，理由如下：
甲箱剩余49个球，40号球已经被放入乙箱，甲箱中不存在号码为40的球，同时甲箱内小于40的球仅有15个，排序后第25个球的号码必然大于40，因此甲箱内球的号码的中位数不可能为40。
（2）若甲、乙两箱内球的号码的中位数都是x：
对于乙箱，若其中位数为x，说明乙箱内小于x的球数等于大于x的球数；对于甲箱，若其中位数为x，说明甲箱内小于x的球数也等于大于x的球数。
因此全部98个球中，号码小于x的总数量等于号码大于x的总数量，即1~98这组数据的中位数就是x。
98个数据的中位数是排序后第49和第50个数据的平均值，因此：
$x=\frac{1}{2}×(49+50)=49.5$
【答案】
(1) $a=15$，$b=34$，甲箱子内球的号码的中位数不能为40；(2) $x=49.5$
【知识点】
中位数的定义，中位数的计算
【点评】
本题结合分球的实际场景考察中位数的性质，需要跳出直接代公式的惯性思维，理清两组数据中大于、小于中位数的元素数量对应关系，容易出错的点是忽略奇数个、偶数个数据下中位数的不同特征，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
首先我们先明确中位数的核心定义：将一组数据从小到大排序后，若数据个数为奇数，中位数是位于正中间的那个数；若数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均值。
解这道题的思路是：
1. 处理第(1)问：首先算出甲箱剩余的球数，已知乙箱有m=49个球，是奇数，中位数为40，说明排序后乙箱第25个球是40，那么乙箱里小于40、大于40的球数量相等，都等于(49-1)/2=24个。接下来统计原本1~98里小于40的总共有39个，大于40的总共有58个，减去被拿到乙箱的对应数量，就能得到甲箱剩余的小于40的a和大于40的b的值。之后判断甲箱中位数能不能为40：甲箱剩余49个球，要中位数是40的话，必须正中间的数是40，但此时40号球已经在乙箱，且甲箱里小于40的球只有15个，排序后第25个球肯定大于40，因此不可能是40。
2. 处理第(2)问：如果两个箱子的中位数都是x，说明两个箱子里小于x的球的总数量，等于大于x的球的总数量，也就是全部98个球的中位数就是x，直接计算1~98这98个数的中位数就能得到x的值。
【解析】
（1）甲箱原有98个球，拿出m=49个放入乙箱后，甲箱剩余球数为：
$98-49=49$（个）
因为乙箱共有49个球，中位数为40，将乙箱球号从小到大排序后，第25个球的号码是40，因此乙箱中号码小于40、大于40的球的数量相等，均为：
$(49-1)÷2=24$（个）
1~98中，号码小于40的球总共有39个，因此甲箱剩余的号码小于40的球数：
$a=39-24=15$
1~98中，号码大于40的球总共有$98-40=58$个，因此甲箱剩余的号码大于40的球数：
$b=58-24=34$
甲箱子内球的号码的中位数不能为40，理由如下：
甲箱剩余49个球，40号球已经被放入乙箱，甲箱中不存在号码为40的球，同时甲箱内小于40的球仅有15个，排序后第25个球的号码必然大于40，因此甲箱内球的号码的中位数不可能为40。
（2）若甲、乙两箱内球的号码的中位数都是x：
对于乙箱，若其中位数为x，说明乙箱内小于x的球数等于大于x的球数；对于甲箱，若其中位数为x，说明甲箱内小于x的球数也等于大于x的球数。
因此全部98个球中，号码小于x的总数量等于号码大于x的总数量，即1~98这组数据的中位数就是x。
98个数据的中位数是排序后第49和第50个数据的平均值，因此：
$x=\frac{1}{2}×(49+50)=49.5$
【答案】
(1) $a=15$，$b=34$，甲箱子内球的号码的中位数不能为40；(2) $x=49.5$
【知识点】
中位数的定义，中位数的计算
【点评】
本题结合分球的实际场景考察中位数的性质，需要跳出直接代公式的惯性思维，理清两组数据中大于、小于中位数的元素数量对应关系，容易出错的点是忽略奇数个、偶数个数据下中位数的不同特征，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
