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【例】（第二十五届全国初中应用物理竞赛复赛）某校科技小组为培养某种热带植物制作了一个小型温室，其内部有一个恒温加热器. 当温室外温度为$10\ °\mathrm{C}$时，温室内温度为$22\ °\mathrm{C}$；当温室外温度为$16\ °\mathrm{C}$时，温室内温度为$27\ °\mathrm{C}$. 假定温室内加热器与室内间、室内与室外间的热量传递与温度差成正比.
(1)求该温室中加热器的温度；
(2)为节省能源，科技小组的同学对该温室进行了适当的保温改造，使室内向室外热传递的热量减少了$20\%$. 那么，当户外温度为$10\ °\mathrm{C}$的情况下，求室内温度.
解析：(1)设加热器的温度为$t$，温室内加热器与室内传递的热量与温度差的比例系数为$k_{1}$，室内与室外间传递的热量与温度差的比例系数为$k_{2}$，第一种情况为$k_{1}(t-22\ °\mathrm{C})=k_{2}(22\ °\mathrm{C}-10\ °\mathrm{C})···$①，第二种情况为$k_{1}(t-27\ °\mathrm{C})=k_{2}(27\ °\mathrm{C}-16\ °\mathrm{C})···$②，①、②两式联立可得，$t=82\ °\mathrm{C}$，$\dfrac{k_{1}}{k_{2}}=\dfrac{1}{5}$. (2)设室内温度为$t_{1}$，则有$k_{1}(82\ °\mathrm{C}-t_{1})=k_{2}(t_{1}-10\ °\mathrm{C})(1-20\%)$，解得室内温度$t_{1}=24.4\ °\mathrm{C}$.
答案：(1)$82\ °\mathrm{C}$ (2)$24.4\ °\mathrm{C}$
(1)求该温室中加热器的温度；
(2)为节省能源，科技小组的同学对该温室进行了适当的保温改造，使室内向室外热传递的热量减少了$20\%$. 那么，当户外温度为$10\ °\mathrm{C}$的情况下，求室内温度.
解析：(1)设加热器的温度为$t$，温室内加热器与室内传递的热量与温度差的比例系数为$k_{1}$，室内与室外间传递的热量与温度差的比例系数为$k_{2}$，第一种情况为$k_{1}(t-22\ °\mathrm{C})=k_{2}(22\ °\mathrm{C}-10\ °\mathrm{C})···$①，第二种情况为$k_{1}(t-27\ °\mathrm{C})=k_{2}(27\ °\mathrm{C}-16\ °\mathrm{C})···$②，①、②两式联立可得，$t=82\ °\mathrm{C}$，$\dfrac{k_{1}}{k_{2}}=\dfrac{1}{5}$. (2)设室内温度为$t_{1}$，则有$k_{1}(82\ °\mathrm{C}-t_{1})=k_{2}(t_{1}-10\ °\mathrm{C})(1-20\%)$，解得室内温度$t_{1}=24.4\ °\mathrm{C}$.
答案：(1)$82\ °\mathrm{C}$ (2)$24.4\ °\mathrm{C}$
答案
(1)$82\ °\mathrm{C}$ (2)$24.4\ °\mathrm{C}$
解析：(1)设加热器的温度为$t$，温室内加热器与室内传递的热量与温度差的比例系数为$k_{1}$，室内与室外间传递的热量与温度差的比例系数为$k_{2}$，第一种情况为$k_{1}(t-22\ °\mathrm{C})=k_{2}(22\ °\mathrm{C}-10\ °\mathrm{C})···$①，第二种情况为$k_{1}(t-27\ °\mathrm{C})=k_{2}(27\ °\mathrm{C}-16\ °\mathrm{C})···$②，①、②两式联立可得，$t=82\ °\mathrm{C}$，$\dfrac{k_{1}}{k_{2}}=\dfrac{1}{5}$. (2)设室内温度为$t_{1}$，则有$k_{1}(82\ °\mathrm{C}-t_{1})=k_{2}(t_{1}-10\ °\mathrm{C})(1-20\%)$，解得室内温度$t_{1}=24.4\ °\mathrm{C}$.
解析：(1)设加热器的温度为$t$，温室内加热器与室内传递的热量与温度差的比例系数为$k_{1}$，室内与室外间传递的热量与温度差的比例系数为$k_{2}$，第一种情况为$k_{1}(t-22\ °\mathrm{C})=k_{2}(22\ °\mathrm{C}-10\ °\mathrm{C})···$①，第二种情况为$k_{1}(t-27\ °\mathrm{C})=k_{2}(27\ °\mathrm{C}-16\ °\mathrm{C})···$②，①、②两式联立可得，$t=82\ °\mathrm{C}$，$\dfrac{k_{1}}{k_{2}}=\dfrac{1}{5}$. (2)设室内温度为$t_{1}$，则有$k_{1}(82\ °\mathrm{C}-t_{1})=k_{2}(t_{1}-10\ °\mathrm{C})(1-20\%)$，解得室内温度$t_{1}=24.4\ °\mathrm{C}$.
1. (上海市第31届大同杯初中物理竞赛复赛)如图所示是一种热交换器.这种热交换器由上下两个矩形管道构成,管道之间夹有一层由特殊材料制成的导热板(图中深色部分),该热交换器与外界无热交换.当温度不同的两种流体分别沿图示箭头方向从上、下管道流过时,流体通过导热板进行热交换,在管道中的流体温度只沿长度$l$方向变化,而导热板各处的上下两表面始终保持相同的温差.已知:矩形管道长、宽、高分
别为$l$、$b$、$h$,导热板单位面积的导热功率为
$P=k \Delta T$(其中,$k$为与导热板材料、厚度有关
的系数,$\Delta T$为板上下两面温差),不考虑板的
热胀冷缩.
(1)当有两种密度均为$\rho$、比热容均为$c$的冷、
热流体,分别以速度$v$从冷流体入口和热流体
入口(图中未画出)进入上下管道,并分别从冷
流体出口(图中未画出)和热流体出口流出.热
流体与冷流体在进入管道时的温差为$\Delta T_1$,求
冷、热流体流出后的温差$\Delta T_1'$.
(2)若$k$与导热板厚度成反比,则当导热板厚
度增大为原来的2倍时,采取怎样的措施可以
保证冷、热流体流出后的温差$\Delta T_2$保持不变?
(3)试举出一个生产、生活中应用到此类热交
换器的装置或设备.
别为$l$、$b$、$h$,导热板单位面积的导热功率为
$P=k \Delta T$(其中,$k$为与导热板材料、厚度有关
的系数,$\Delta T$为板上下两面温差),不考虑板的
热胀冷缩.
(1)当有两种密度均为$\rho$、比热容均为$c$的冷、
热流体,分别以速度$v$从冷流体入口和热流体
入口(图中未画出)进入上下管道,并分别从冷
流体出口(图中未画出)和热流体出口流出.热
流体与冷流体在进入管道时的温差为$\Delta T_1$,求
冷、热流体流出后的温差$\Delta T_1'$.
(2)若$k$与导热板厚度成反比,则当导热板厚
度增大为原来的2倍时,采取怎样的措施可以
保证冷、热流体流出后的温差$\Delta T_2$保持不变?
(3)试举出一个生产、生活中应用到此类热交
换器的装置或设备.
答案
1.(1)$\Delta T_1'=\frac{c\rho h \Delta T_1 v -k \Delta T l}{c\rho h v}$
(2)可以将$\Delta T$变为$2\Delta T$或者将$l$变为$2l$
(3)这种流体热交换器的常见应用有空调、热水器,以及化工厂的换热器等
[解析](1)冷热两种流体的密度均为$\rho$,比热容是$c$,以速度$v$流进矩形管道;流体通过一次管道的时间为$t=\frac{l}{v}$,冷流体或热流体通过一次管道的体积为$V=hbl$,所以通过一次管道的冷流体或热流体的质量为$m=\rho V=\rho hbl$,热流体和冷流体进入管道时的温度差为$\Delta T_1$,即此时二者之间有热传递,即热流体要放出的热量为$Q_{\mathrm{进}}=cm\Delta T_1 =c\rho hbl \Delta T_1$,导热板的上下表面积为$S=bl$,所以通过导热板整个面积的热量为$Q=PtS=k\Delta T \frac{l}{v}bl=\frac{kb\Delta T l^2}{v}$,冷、热流体流出后的温度差为$\Delta T_1'$,则冷、热流体流出时传递的热量$Q_{\mathrm{出}}=cm\Delta T_1'=c\rho hbl \Delta T_1'$,通过一次管道的整体分析:$Q_{\mathrm{进}}=Q+Q_{\mathrm{出}}$,代入则有$c\rho hbl \Delta T_1=\frac{kb\Delta T l^2}{v}+c\rho hbl \Delta T_1'$,解得$\Delta T_1'=\frac{c\rho h \Delta T_1 v -k \Delta T l}{c\rho h v}$.
(2)由(1)知:冷、热流体流出后的温差$\Delta T_1'=\frac{c\rho h \Delta T_1 v -k \Delta T l}{c\rho h v}$,由于$k$与导热板厚度成反比,当导热板厚度变为原来2倍,那么$k$变为$\frac{k}{2}$,要让上式保持不变,可以将$\Delta T$变为$2\Delta T$或者将$l$变为$2l$.
(3)这种流体热交换器的常见应用有空调、热水器,以及化工厂的换热器等.
(2)可以将$\Delta T$变为$2\Delta T$或者将$l$变为$2l$
(3)这种流体热交换器的常见应用有空调、热水器,以及化工厂的换热器等
[解析](1)冷热两种流体的密度均为$\rho$,比热容是$c$,以速度$v$流进矩形管道;流体通过一次管道的时间为$t=\frac{l}{v}$,冷流体或热流体通过一次管道的体积为$V=hbl$,所以通过一次管道的冷流体或热流体的质量为$m=\rho V=\rho hbl$,热流体和冷流体进入管道时的温度差为$\Delta T_1$,即此时二者之间有热传递,即热流体要放出的热量为$Q_{\mathrm{进}}=cm\Delta T_1 =c\rho hbl \Delta T_1$,导热板的上下表面积为$S=bl$,所以通过导热板整个面积的热量为$Q=PtS=k\Delta T \frac{l}{v}bl=\frac{kb\Delta T l^2}{v}$,冷、热流体流出后的温度差为$\Delta T_1'$,则冷、热流体流出时传递的热量$Q_{\mathrm{出}}=cm\Delta T_1'=c\rho hbl \Delta T_1'$,通过一次管道的整体分析:$Q_{\mathrm{进}}=Q+Q_{\mathrm{出}}$,代入则有$c\rho hbl \Delta T_1=\frac{kb\Delta T l^2}{v}+c\rho hbl \Delta T_1'$,解得$\Delta T_1'=\frac{c\rho h \Delta T_1 v -k \Delta T l}{c\rho h v}$.
(2)由(1)知:冷、热流体流出后的温差$\Delta T_1'=\frac{c\rho h \Delta T_1 v -k \Delta T l}{c\rho h v}$,由于$k$与导热板厚度成反比,当导热板厚度变为原来2倍,那么$k$变为$\frac{k}{2}$,要让上式保持不变,可以将$\Delta T$变为$2\Delta T$或者将$l$变为$2l$.
(3)这种流体热交换器的常见应用有空调、热水器,以及化工厂的换热器等.
