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16.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点E,F分别在AB,CD上,且BE=DF=$\frac{3}{2}$.求证:四边形AECF是菱形.
答案
16.证明:
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB=CD=4,AD=BC=2，
∠B=∠D=90°.
∴ AE=AB-BE=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
CF=CD-DF=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$.
在Rt△BCE中,
∵ BC=2,BE=$\frac{3}{2}$，
∴ CE=$\sqrt{BE^2+BC^2}$=$\sqrt{(\frac{3}{2})^2+2^2}$=$\sqrt{\frac{25}{4}}$=$\frac{5}{2}$.
同理可得AF=$\frac{5}{2}$，
∴ AE=CE=CF=AF=$\frac{5}{2}$.
∴ 四边形AECF是菱形.
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AB=CD=4,AD=BC=2，
∠B=∠D=90°.
∴ AE=AB-BE=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
CF=CD-DF=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$.
在Rt△BCE中,
∵ BC=2,BE=$\frac{3}{2}$，
∴ CE=$\sqrt{BE^2+BC^2}$=$\sqrt{(\frac{3}{2})^2+2^2}$=$\sqrt{\frac{25}{4}}$=$\frac{5}{2}$.
同理可得AF=$\frac{5}{2}$，
∴ AE=CE=CF=AF=$\frac{5}{2}$.
∴ 四边形AECF是菱形.
17.如图,在$△ ABC$中,点D,E,F分别在BC,AB,AC边上,且$DE// AC$,$DF// AB$.
(1)如果$∠ BAC=90°$,那么四边形AEDF是
(2)如果AD是$△ ABC$的角平分线,那么四边形AEDF是
(3)如果$∠ BAC=90°$,AD是$△ ABC$的角平分线,那么四边形AEDF是
证明第(3)题结论
(1)如果$∠ BAC=90°$,那么四边形AEDF是
矩
形;(2)如果AD是$△ ABC$的角平分线,那么四边形AEDF是
菱
形;(3)如果$∠ BAC=90°$,AD是$△ ABC$的角平分线,那么四边形AEDF是
正方
形,请证明你的结论.(仅需证明第(3)题结论
答案
17.解:(1)矩 (2)菱
(3)正方
证明:
∵ DE//AC,DF//AB，
∴ 四边形AEDF是平行四边形，
∠ADE=∠DAF.
又
∵ ∠BAC=90°，
∴ 四边形AEDF是矩形.
又
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠DAE=∠DAF，
∴ ∠ADE=∠DAE，
∴ AE=DE，
∴ 四边形AEDF是正方形.
(3)正方
证明:
∵ DE//AC,DF//AB，
∴ 四边形AEDF是平行四边形，
∠ADE=∠DAF.
又
∵ ∠BAC=90°，
∴ 四边形AEDF是矩形.
又
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠DAE=∠DAF，
∴ ∠ADE=∠DAE，
∴ AE=DE，
∴ 四边形AEDF是正方形.
